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一消元法二矩阵的初等变换五小结六思考第五节矩阵的初等变换与秩三矩阵的秩四应用举例课前复习1、矩阵的逆2、分块对角矩阵1）2）3）若4）若则则3、线性方程组的几种形式4、与的乘法引例求解线性方程组一、消元法解线性方程组④①②③解④①②③①②③④①②③③①①④②③④①②③③②②④②④①②③③③④即其中ｃ为任意常数.总结1、上述解方程组的方法称为高斯消元法．2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程．3、这三种变换均可逆.4、方程组的变换可以看成矩阵的变换.1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换.（1）互换两行：（2）数乘某行：（3）倍加某行：二、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.ERTECTET初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换定义经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作等价关系的性质：具有上述三条性质的关系就称为等价．（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.定理利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为标准形矩阵.三、矩阵的秩1、子阵与阶子式将矩阵的某些行和列划去（可以只划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做矩阵的子矩阵.中，任取行列在矩阵位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵的一个定义定义阶子式.矩阵共有个阶子式.最低阶为阶，最高阶为阶.如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见而在这个矩阵中,都是矩阵的子矩阵.2、矩阵的秩定义（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.（1）性质：（2）（3）（4）阶方阵，（5）其中（6）最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，定义阶方阵，为满秩阵.，则称定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数，则称为降秩阵.定义所有与等价的矩阵的集合称为一个等价类.注：（１）所有矩阵可以划分为一个等价类.（３）化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，仅能用初等行变换，而化为标准形矩阵时，初等行变换和初等列变换均可使用.（４）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一.（５）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵.（２）同型同秩矩阵等价.例１解计算A的3阶子式，用定义求矩阵的秩并非易事，后面

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