2022-2023学年广东省汕头市高一下册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市高一下册期中数学模拟试题（含解析）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果.【详解】由，得，因为，所以，故选：B2.若复数，则（）A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】由复数除法几何意义求复数的模.【详解】由.故选：B3.已知等边三角形的边长为2，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由数量积的运算性质即可求解.【详解】因为三角形是等边三解形，，所以.故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式求解．【详解】,故选：C5.已知实数满足，则下列各项中一定成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由对数的单调性可得，由不等式的性质可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据对数的运算可判断C；根据指数与幂函数的单调性可判断D.【详解】因为，所以.所以，故A错误；因为，所以，因为，所以在上不单调，故B错误；因为，所以，所以，故C错误；因为，所以在上单调递减，所以.又在上单调递增，所以，所以，故D正确.故选:D.6.定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据，令，可求得，再根据函数的对称性可得及，再令，可求得，即可得出答案.【详解】解：因为函数满足，所以，所以，又的图象关于直线对称，所以，且，则，所以，所以，无法求出.故选：A.7.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为70°，80°，则、的高度差约为（）A.10米 B.9.72米 C.9.40米 D.8.62米【正确答案】C【分析】先根据题意建立三角形模型，再根据三角形的知识求解即可.【详解】解：根据题意画出如图的模型，则，，，所以，，所以，所以在中，（米）故选：C.本题考查解三角形的实际应用问题，考查数学建模能力，是基础题.8.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由题意可得，再根据的单调区间，列出不等式组求解即可.【详解】因为，，所以，又因为在上单调递减，所以，,解得：，因为，故，而，故，故.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与的夹角的余弦值为B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则【正确答案】AD【分析】根据夹角公式的坐标运算判断A；根据投影向量的计算公式判断B；设与垂直的单位向量的坐标为,根据平面向量的模及垂直向量的坐标运算判断C；根据共线定理判断D.【详解】设与的夹角为，则，故A正确；在方向上的投影向量为，故B错误；设与垂直的单位向量的坐标为,则，解得或，所以与垂直单位向量的坐标为或，故C错误；若向量与向量共线，设,因不共线，所以，解得，故D正确.故选：AD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.在上为增函数C.若的值域为D.方程有且仅有两个解【正确答案】ACD【分析】由函数的定义域可判断B；根据函数在上的单调性可判断A；由函数的图象可判断CD.【详解】的定义域为，故B错误；作出的图象如图所示：在上单调递增，且,所以，故A正确；当，，由图可知的值域为，故C正确；由图可知，的图象与的图象有两个交点，所以方程有且仅有两个解，故D正确.故选:ACD.11.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.曲线的对称轴为，D.将图象向左平移个单位后得到的图象【正确答案】ABC【分析】根据题意得到A正确，根据周期得到，根据得到，根据得到，B正确，计算对称轴得到C正确，根据平移法则得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，故，，且在的单调递减区间上，，则，，故，又，故，，正确；对选项C：，由，解得，，正确；对选项D：图像向左平移个单位得到：，错误.故选：ABC12.如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则取值可能为（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短及最大值求解即可.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则有，如图，当三点共线时，则即为的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：，因，所以为等边三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得.

则即为的最小值,A选项错误，B选项正确.当在中点，C选项正确;当在点处时，的最大值为D选项错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________.【正确答案】2【分析】根据扇形的周长和面积公式，结合弧长公式进行求解即可.【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，因为扇形的周长是4，面积是1，所以，因此扇形的圆心角的弧度数是，故14.已知正实数满足，则的最小值为__________.【正确答案】##【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故15.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．【正确答案】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高，据此可得圆台的体积.故答案为.关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.16.已知为的外心，若，则最小值___________.【正确答案】【分析】利用外心的性质，向量的数量积运算得到，再利用余弦定理求出，利用基本不等式求最值.【详解】∵为的外心，若，∴,∴，∴,即，即，∴,当且仅当时取等号，∴的最小值为.故答案为:.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知，且（1）求的值；（2）若，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合诱导公式可得，根据同角三角函数关系可得，再由两角差的正切公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，得到，根据平方关系可得，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，又因为，所以，因此，所以.【小问2详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，即.18.已知，是方程的两个根（1）证明；（2）若复数满足，求最小值.【正确答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）根据求根公式求出，根据复数的乘法运算及求模公式即可证明；（2）设复数在复平面内所对的点分别，由题意可得点在线段的垂直平分线上，从而可求解.【小问1详解】由复数范围内，实系数方程的求根公式得，不妨有，，.【小问2详解】设复数在复平面内所对点分别，则，因为满足，则点在线段的垂直平分线上，即直线，又，复数在复平面内所对应点为，故当且仅当线段垂直轴时，最小值为.19.已知命题：“，不等式恒成立”为真命题．（1）求实数取值的集合；（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意，设，由恒成立可知，利用二次函数的性质结合条件即可求解；（2）根据题意，分析可得是的真子集，化简得，利用真子集的关系即可求解.【小问1详解】法一：设，若，恒成立，则，解得或，即；法二：设，则的对称轴为，，当时，，或，或，当时，，或.综上所述，；法三：，当时，，恒成立，，当时，，恒成立，，综上所述，.【小问2详解】根据题意，若是的必要不充分条件，则是的真子集，，，或，或..20.在中，角的对边分别为，若，且（1）求；（2）求边上高的最大值.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用替换等式中的“2”，由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求解；（2）的面积，要求边上高的最大值，即求的面积最大值，利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求解的面积最大值.【小问1详解】因为，由正弦定理得，即，故，因为，故.【小问2详解】因为的面积，所以要求边上高的最大值，即求的面积最大值.由余弦定理得，即，则，当且仅当时取等号，故的面积，所以边上高的最大值为.21.有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上；方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点.（1）按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.【正确答案】（1），最大值为；（2），方案1【分析】（1）由图1得到，进而得到，得到矩形的面积,再利用三角函数的性质求解；（2）由图2设得到，，得到矩形的面积为：，再利用三角函数性质求解.【小问1详解】解：由图1知：，则，所以矩形的面积为：，，，，，，当，即，矩形面积取得最大值为；【小问2详解】由图2知：设，则，

，所以矩形的面积为：，，，，，，当，即，矩形面积取得最大值为；因为，所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形；22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【正确答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.【详