第一节函数极限与连续

第一节函数极限与连续第1页，课件共25页，创作于2023年2月

第一章二、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数第2页，课件共25页，创作于2023年2月元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束第3页，课件共25页，创作于2023年2月表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束第4页，课件共25页，创作于2023年2月无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:机动目录上页下页返回结束第5页，课件共25页，创作于2023年2月是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,

若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束第6页，课件共25页，创作于2023年2月定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或第7页，课件共25页，创作于2023年2月定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量第8页，课件共25页，创作于2023年2月(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域：

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束第9页，课件共25页，创作于2023年2月例4.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束第10页，课件共25页，创作于2023年2月2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束第11页，课件共25页，创作于2023年2月(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有机动目录上页下页返回结束第12页，课件共25页，创作于2023年2月(4)周期性且则称为周期函数,若称

l

为周期(一般指最小正周期).周期为

注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束第13页，课件共25页，创作于2023年2月3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:第14页，课件共25页，创作于2023年2月2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数第15页，课件共25页，创作于2023年2月(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射第16页，课件共25页，创作于2023年2月定义.则当由上述映射链可定义由D

到Y

的复设有映射链记作合映射,时,或机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.第17页，课件共25页，创作于2023年2月(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u

称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第18页，课件共25页，创作于2023年2月机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:第19页，课件共25页，创作于2023年2月4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数

.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.机动目录上页下页返回结束第20页，课件共25页，创作于2023年2月非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束第21页，课件共25页，创作于2023年2月例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束第22页，课件共25页，创作于2023年2月内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构

作业

P134、5、6(1),(3)、8、

9(1),(3)、10(1),(3)2.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束第23页，课件共25页，创作于2023年2月且备用题证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数