专题01 空间向量及其运算（原卷版）

专题01空间向量及其运算题型1：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．12．给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个题型2：空间向量的数乘运算与几何表示4．下列各式计算正确的是（

）A．B．C．D．5．在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（

）

A． B．C． D．6．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（

）．A． B． C． D．题型3：空间向量的加减运算与几何表示7．下列等式中，正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．48．如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（）

A．B．C． D．9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则（

）A．B．C． D．10．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．11．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______．题型4：空间向量的共线判定12．已知，，且，那么________.13（多选）．下列说法错误的是（

）A．在平面内共线的向量在空间不一定共线B．在空间共线的向量在平面内不一定共线C．在平面内共线的向量在空间一定不共线D．在空间共线的向量在平面内一定共线14．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则__________.15．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．题型5：由空间向量共线求参数16．已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（

）A．0 B． C． D．17．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．18．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．19．已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为___________.题型6：空间共线向量定理的推论及应用20．在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°21（多选）．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上题型7：判定空间向量共面22．下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．23（多选）．下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）24．当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定25．下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面题型8：空间向量共面求参数26．已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．127．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．题型9：空间共面向量定理的推论及应用28．在四棱锥中，已知底面为矩形，底面，.若分别为的中点，经过三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（

）A． B． C． D．229．已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．330．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．31．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（

）A． B． C． D．32．已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面题型10：空间向量数量积的有关概念33．在正四面体ABCD中，与的夹角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°34．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．35（多选）．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．36．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（

）A． B． C． D．37．已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．38．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________.题型11：空间向量的数量积39．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（

）A． B． C．1 D．40．在三棱锥中，为的中点，则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．341．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）

A． B．C． D．42．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B． C． D．43．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．题型12：由空间向量的夹角求参数范围44．已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．题型13：空间向量数量积的应用45．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）A． B．. C． D．46．平行六面体中，，，则的长为（）A．10 B． C． D．47．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（

）A．B．C．D．48．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．49．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到的距离都等于2给出以下结论:①；②;③；④，其中正确结论的序号________.题型15：空间向量数量积的动点问题50．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．不相等的两个空间向量的模必不相等2．在长方体中，等于（

）A． B． C． D．3．已知三棱柱，点为线段的中点，则（

）A． B．C． D．4．已知正方体的棱长为1，设，，，则（

）.A．0 B．3 C． D．5．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（

）A．0个 B．3个 C．6个 D．9个6．已知空间向量，，，，则（

）A． B． C． D．7．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．8．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（

）．A．B．C．D．9．有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．310．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为．其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个11．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（）A．1 B． C． D．12．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题13．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（

）A． B．C． D．14．（多选题）下列命题中不正确的是（

）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量，，满足，则∥D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．=3-2C． D．16．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是A． B．C．一定不与垂直 D．17．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．18．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为三、填空题19．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．①；②；③；④．20．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为________．21．平行六面体中，，，，，则向量的模长__________.22．已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.四、解答题23．根据如图的平行六面体，化简下列各式：(1)；(2).24．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.(1)；(2).25．如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．26．如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：(1)，，，四点共面；(2)平面平面ABCD．27．已知平行六面体，，，，，设，，；（1）试用、、表示；（2）求的长度；28．如图，在三棱