专题01 空间向量及其运算（解析版）

专题01空间向量及其运算题型1：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.2．给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】②可举出反例，①③④⑤可用向量的概念进行判断【解析】对于①，，故①为真命题；对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题；对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题；对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题；对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C3．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.【解析】

对于①，，，，与是一对相反向量，①正确；对于②，，，又，与不是相反向量，②错误；对于③，，，，，,与是一对相反向量，③正确；对于④，，，又，与是一对相反向量，④正确.故选：C.题型2：空间向量的数乘运算与几何表示4．下列各式计算正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项．【解析】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确．故选：D．5．在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解.【解析】因为为的中点，为的中点，所以.故选：A.6．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.【解析】故选：A题型3：空间向量的加减运算与几何表示7．下列等式中，正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解.【解析】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确；因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确；因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确；因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确.所以①②③④正确，则正确的个数为4.故选：D.8．如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算即可得答案.【解析】如图所示，连接，则，

，所以.故选：C.9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的加减法结合已知直接求解【解析】连接，因为为的中点，所以，所以，故选：A10．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【解析】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．11．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______．【答案】【分析】先求出，解三角形求出,即可得到答案.【解析】因为M、G分别是BC、CD的中点，所以.所以.在中，.由余弦定理得：.在中，.所以.故答案为：.题型4：空间向量的共线判定12．已知，，且，那么________.【答案】【分析】由已知中，，且，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在，使，构造方程组求出，x，y后，即可求出答案.【解析】解：，，又，则存在，使，即，解得，，，，故答案为：.13．下列说法错误的是（

）A．在平面内共线的向量在空间不一定共线B．在空间共线的向量在平面内不一定共线C．在平面内共线的向量在空间一定不共线D．在空间共线的向量在平面内一定共线【答案】ABC【分析】由在平面内共线的向量在空间一定共线判断AC，由在空间共线的向量在平面内一定共线判断BD.【解析】A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确.故选：ABC14．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则__________.【答案】/22.5【分析】利用向量平行，计算即可求解.【解析】因为向量，分别是直线的方向向量，且，所以，所以，解得：，所以，故答案为：.15．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【解析】解：，又与过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．题型5：由空间向量共线求参数16．已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用向量共线列方程即可求解.【解析】因为知，，所以.因为，则，解得：.故选：B．17．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．【答案】【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.【解析】，，，三点共线，存在实数，使得，即，，解得：．故答案为：.18．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．【答案】/－0.5【分析】作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒【解析】如图，连接，，则点E在上，点F在上，易知，且，∴，即，∴．故答案为：19．已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为___________.【答案】/【分析】由向量的模的计算公式得，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.【解析】解：，，，则，所以，所以，故.由于使成立的正数有且只有一个，故关于以为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故，解得，当时，故舍去，则.故的范围是唯一一个实数，故答案为：.题型6：空间共线向量定理的推论及应用20．在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据题意，可知，再结合正四面体的性质即可求解.【解析】由题意，可得，所以．故选：C.21．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【解析】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．题型7：判定空间向量共面22．下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【解析】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C,，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确.故选：D.23．下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）【答案】ABC【分析】三个向量中如果两个向量共线或者其中一个向量可以用其他两个向量进行表示可以判定三个向量共面.【解析】选项A中，设，则解得故存在实数使得，因此共面.选项B中，选项C中.故B，C中三个向量也共面.选项D中，设，则显然无解，故不共面.故选：ABC.24．当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定【答案】A【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.【解析】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，所以与共面.故选：A.25．下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面【答案】D【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答.【解析】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.故选：D题型8：空间向量共面求参数26．已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，即可求出实数．【解析】，三向量共面，可设，即，，解得．故选：D．27．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【解析】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.题型9：空间共面向量定理的推论及应用28．在四棱锥中，已知底面为矩形，底面，.若分别为的中点，经过三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而根据四点共面得存在实数使得，进而得，即为棱的三等分点靠近点，再将问题转化为边长为的长方体的外接球半径即可.【解析】解：根据题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以，，，设，则，因为经过三点的平面与侧棱相交于点，所以四点共面，所以存在实数使得，即，所以，解得，所以，即为棱的三等分点靠近点，四棱锥的顶点均在球的半径与边长为的长方体的外接球半径相同，因为边长为的长方体的外接球半径为，所以四棱锥的外接球的半径为故选：B29．已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据空间向量的共面定理可求的值.【解析】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；由题意，所以；所以，解得.故选：B.30．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【解析】由与三点共面以及，可得，，所以.故选：C.31．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【解析】空间一点满足，若四点共面，则选项A：.判断错误；选项B：.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：.判断错误.故选：C32．已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.题型10：空间向量数量积的有关概念33．在正四面体ABCD中，与的夹角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°【答案】D【分析】根据正三角内角为求解.【解析】由正四面体每个面都是正三角形可知，故选：D34．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量.【解析】四棱锥如图所示，底面是矩形，∴，底面，底面，∴，过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，故选：B35．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【解析】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD36．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【解析】对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；对于③，设、的夹角为，则，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.37．已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．【答案】【分析】利用向量投影的概念可求得结果.【解析】由题意可知，在方向上投影的模为故答案为：.38．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________.【答案】2【分析】利用投影的定义计算然后求模即可.【解析】解：空间向量在向量方向上的投影为，所以投影的模为.故答案为：.题型11：空间向量的数量积39．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算法则可得，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求【解析】由图形可得，所以，由正方体性质可得，所以，所以，又，与方向相反，所以.故选：B.

40．在三棱锥中，为的中点，则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可.【解析】因为，所以，，，因为，.故选：C.

41．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.【解析】依题意，由，，故,所以．故选:A．42．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【解析】因为，所以．故选:C43．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将转化为，转化为，由三棱锥是正三棱锥可知，，即可将转化为，转化为，结合勾股定理即可求解．【解析】为正三棱椎，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.

题型12：由空间向量的夹角求参数范围44．已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】根据题意得出且与不共线，根据数量积公式列出不等式并排除向量反向时的值，即可得出答案.【解析】由题意可知，，且与不共线．由，解得．若与共线，则，即，则，与方向相反需要舍去，因此实数的取值范围为．故答案为：题型13：空间向量数量积的应用45．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）A． B．. C． D．【答案】D【分析】由的定义以及模长的计算，由数量积的定义即可求解.【解析】设,则，过作平面，则为三角形的外心，所以，进而,由于与共线，且方向相同，则，故选：D

46．平行六面体中，，，则的长为（）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．【解析】如图，

由题知，,，，.，，即的长为.故选：B47．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据数量积的运算律及余弦定理得到，再根据数量积的定义求出.【解析】因为，所以.故选：B.题型14：空间向量数量积的综合问题48．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．【答案】1【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.【解析】由题意得，，则,故答案为：1.49．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，S到的距离都等于2给出以下结论:①；②;③；④，其中正确结论的序号________.【答案】②③【分析】利用向量的加法减法的几何意义判断①②；利用向量数量积的定义判断③④【解析】①.判断错误；②.判断正确；③四棱锥中，，则则.判断正确；④中，，则则.判断错误故答案为：②③题型15：空间向量数量积的动点问题50．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．【解析】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，．，，．点在线段上运动，，且．，，∵，∴，即，故答案为：．一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】C【分析】根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.【解析】A：零向量与它的相反向量相等，故错误；B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；故选：C2．在长方体中，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【解析】如图，可得，，所以.故选：B3．已知三棱柱，点为线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算求解即可【解析】解：在三棱柱，点为线段的中点，则，所以，故选：D4．已知正方体的棱长为1，设，，，则（

）.A．0 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得结果.【解析】利用向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质，可得.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的线性运算和向量的模长的求法，属于基础题.5．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（

）A．0个 B．3个 C．6个 D．9个【答案】B【分析】根据相等向量的定义判断.【解析】由图形可知，.故选：B6．已知空间向量，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两边平方结合条件可得，再由夹角公式可得解.【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选：D.【点睛】本题主要考查了利用空间向量数量积求向量夹角，属于基础题.7．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.【解析】当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：，所以、、.根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.故选：C8．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（

）．A．B．C．D．【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量数量积的性质直接判断即可.【解析】、、两两垂直，则可得、、，且、、、、，A、B、D选项均正确，故选：C．9．有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【解析】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．故选：A10．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为．其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】B【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可【解析】解：对于①，所以①正确；对于②，，所以②正确；对于③，因为∥,分别为面的对角线，所以,所以与的夹角为，所以③错误故选：B【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题11．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据cos，cos，和||＝||可得••．故而••（）＝0，得出．【解析】∵cos，cos，，∴，∵||＝||，∴••，∴••（）＝0，∴．∴sin，sin1．故选：A12．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【解析】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B二、多选题13．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解析】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋.故选：BD.14．（多选题）下列命题中不正确的是（

）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量，，满足，则∥D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ【答案】ABD【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C【解析】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，故选：ABD15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．=3-2C． D．【答案】ABD【分析】根据空间中四点A，B，C，D共面的充要条件，逐一判断可得选项.【解析】解：根据空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且，对于A：因为，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；对于B：因为=3-2，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；对于C：因为，所以，所以向量共面，即四点A，B，C，D共面，对于D：因为，所以，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面.故选：ABD.16．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是A． B．C．一定不与垂直 D．【答案】BD【分析】根据数量积的性质判断，根据三角形的性质判断，根据向量的垂直判断，根据向量的运算满足平方差公式判断．【解析】是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误，，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确，可能成立，错误，向量的运算满足平方差公式，，正确，故选：．17．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根据图像，利用向量的线性运算法则，分别验算四个选项即可求解.【解析】由已知得，，分析各个选项：对于A，利用向量的四边形法则，，A错；对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得，B对；对于C，因为点在线段上，且，所以，，所以，，C错；对于D，，D对故选：BD【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题18．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则而，所以A正确.=0,所以B正确.向量,显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.三、填空题19．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．①；②；③；④．【答案】②④【分析】利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果.【解析】对于①，；对于②，；对于③，；对于④，.故答案为：②④.20．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为________．【答案】【分析】利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值.【解析】因为，故，所以即，故.故答案为：.21．平行六面体中，，，，，则向量的模长__________.【答案】【解析】画出图形，根据条件得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【解析】如图所示，四棱柱中，，，，且，所以，所以.故答案为：.22．已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.【答案】【分析】设中点为，可得，由向量线性运算可求得，由平面向量数量积定义和运算法则可求得，进而得到.【解析】为的重心，设中点为，，，，，.故答案为：.四、解答题23．根据如图的平行六面体，化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，及相反向量的定义即可求解；（2）由向量减法法则及即可求解.【解析】（1）在平行六面体中，因为，，所以；（2）在平行六面体中，因为，所以.24．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.(1)；(2).【答案】(1)，作图答案见解析(2)，作图答案见解析【分析】利用空间向量的线性运算求解.【解析】（1）解：；向量如图所示.（2）因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点.所以，，所以.向量如图所示.25．如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，.【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.【解析】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，因为平面，面，可得，所以，因为，所以，所以.（2）由