导波光学中的导征方程

导波光学中的导征方程

1正多边形截面滤波器各种光波场的微波模式和单光束方程是导波光学中的一个重要问题。其中平板波导和圆截面波导已经得到了比较充分地研究,但对正多边形截面波导的研究,一直没有简便有效的方法。Marcatili方法、逐点匹配方法、变分法、离散时域差分法,计算量均很大;微扰法通用性强,但规范边界的选取很随意。本文以正六边形为例,提出用内切圆和外接圆来逼近波导的正六边形截面,得到的结果作为正六边形波导的近似。2计算半径、长丝率图1所示为截面为正六边形的波导。作该正多边形的内切圆和外接圆,将原有的两个区域分布的折射率变为三个区域分布的折射率,半径和折射率分别表示为{r1=√32r2r2=R,{n1,r＜r1n2=n1+n32,r1≤r≤r2n3,r＞r2其中,r1为正多边形的内切圆半径,r2是正多边形的外接圆半径,R是正多边形顶点到中心的距离,n1是正多边形截面内的折射率,也是内切圆截面以内的折射率,n3是正多边形截面外的折射率,也是外接圆截面以外的折射率,n2是内切圆和外接圆之间介质的折射率,取n1、n3的平均值。半径和折射率表示如图2所示。圆形截面波导的电磁场模式易于得到,TE模的特征方程为1UJ′0J0+1WΚ′0Κ0=0,其中,U=√(n21k2-β2)r1,W=√(β2-n22k2)r1,J0,Κ0分别为零阶贝塞尔函数和零阶虚宗量汉克函数。3ezr,的电子鼻电子参数的确定以波导传播方向为Z轴方向,用柱坐标表示的亥姆霍兹方程:d2Ezdr2+1rdEzdr+1r2d2Ezdφ2+(n2ik2-β2)Ez=0其中,Ez表示电磁场沿传播方向Z轴的分量,r是圆柱坐标的半径,φ是圆柱坐标的角度变量,ni是介质层的折射率,β是传播常数,k是光波在真空的波矢。其中,i=1,2,3,分别代表3个区域序号。由于自然边界条件,Ez(r,φ+2π)=Ez(r,φ),Ez可以写为Ez(r,φ)=Ez(r)eimφ,代入亥姆霍兹方程,得到:r2d2Ezdr2+rdEzdr+[(n2ik2-β2)r2-m2]Ez=0(1)其中,m取整数。这是一个规范的Bessel方程,在圆截面波导内,m可以取任意整数。由于我们研究的实际波导为正p边形,由自然边界条件:Ez(r,2πp)=Ez(r,φ)因此有Ez(r)eim(φ+2πp)=Ez(r)eimφ,于是eim2πp=1,所以m2πp=l2π,即m=lp,这里l取整数,说明在正p边形截面波导中,电磁场模式的阶数m只能取p的整数倍。由式(1)的解,得出在3个区域中解的表达式:{Ez(r,φ)=a0Jm(√n21k2-β2r)eimφΗz(r,φ)=a1Jm(√n21k2-β2r)eimφ,r≤r1{Ez(r,φ)=b0Jm(√n22k2-β2r)eimφ+c0Ym(√n22k2-β2r)eimφΗz(r,φ)=b1Jm(√n22k2-β2r)eimφ+c1Ym(√n22k2-β2r)eimφ,r1≤r≤r2{Ez(r,φ)=d0Κm(√β2-n23k2r)eimφΗz(r,φ)=d1Κm(√β2-n23k2r)eimφ,r≥r2这里Ez,Hz分别表示电场、磁场沿传播方向Z轴的分量,Jm,Ym,Km分别为m阶贝塞尔函数、诺埃曼函数、和第二类虚宗量贝塞尔函数。4b求各截面元参数的开展—特征方程由Eφ,Hφ与Ez,Hz关系:Eφ=iω2μ0ε-β2(βr∂Ez∂φ+ωμ0∂Ηz∂r)(2)Ηφ=iω2μ0ε-β2(-ωε∂Ez∂φ+βr∂Ηz∂φ)(3)这里,Eφ、Hφ分别表示电场及磁场在截面切线方向分量,ω是光波频率,ε是介质的介电常数。由式(2)、(3)可以得出:其中,a0,a1,b0,b1,c0,c1,d0,d1为常系数。A(r)=[-mβJm(U1r)U12riωμ0U1Jm(U1r)U12-iωε0n12U1J′m(U1r)U12-mβJm(U1r)U12rJm(U1r)00Jm(U1r)]B(r)=[-mβJm(U2r)U22r-mβYm(U2r)U22r-iωε0n22U2J′m(U2r)U22-iωε0n22U2Y′m(U2r)U22Jm(U2r)Ym(U2r)00]⋅[iωμ0U2J′m(U2r)U22iωμ0U2Y′m(U2r)U22-mβJm(U2r)U22r-mβU2Y′m(U2r)U2200Jm(U2r)Ym(U2r)]这里,U12=n12k2-β2,U22=n22k2-β2,W32=β2-n32k2。Jm为m阶贝塞尔函数,Ym为m阶纽曼函数,β为传播常数。C(r)=(mβΚm(W3r)W32r-iωμ0W3Κm(W3r)W32iωε0n32W3Κ′m(W3r)W32mβΚm(W3r)W32rΚm(W3r)00Κm(W3r))下面求r=r2与r=r1处电磁场分量的关系。(eφhφezhz)r=r2=B(r2)(b0c0b1c1)=B(r2)B-1(r1)(eφhφezhz)r=r1在r=r2处,分界面两边电磁场分量相等。因此C(r2)(d0d1)=B(r2)B-1(r1)(eφhφezhz)r=r1=B(r2)B-1(r1)A(r1)(a0a1)于是,式中,A(r1)是系数矩阵A在r1处的取值,B(r1),B(r2)是矩阵B在r1和r2处的取值,B-1(r1)是矩阵B(r1)的逆矩阵,C(r2)是矩阵C在r2处的取值。特征方程即系数行列式为零:|B(r2)B-1(r1)A(r1),C(r2)|=0(4)5te0n模材料的终止由于行列式(4)十分复杂,为方便计,我们只考虑m=0的TE模。由参考文献知,特征方程(4)中,TE0n模的截止条件q42=0,TE模的远离截止条件为q22=0。用Mathematica3.0编程计算,在m=0时,得出TE0n的各个模截止时的β值