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脉冲预防接种下sirs传染病模型的再生数

感染是由原生动物(病毒、立克次体、细菌、螺旋体等)和寄生虫(原生动物或蠕虫)感染的一种具有传染性的疾病。历史上,传染病和寄生虫给人类带来了巨大的灾难。例如,欧洲在600年前爆发的黑死病(即害虫)让欧洲有一半人死亡,死亡率最高,每天有10000多人。14.19世纪,欧洲再次受到黑死病的影响。这一次,欧洲对欧洲人口产生了巨大的破坏。这种疾病大约在欧洲造成了13.1%的人口。在中国历史上,害虫、霍乱和番禺病泛滥。疟疾、疟疾、黑热病和梅毒等广泛存在,给人们的生活带来了严重的灾难。然而,改革开放以来,随着国际贸易和文化交流的发展、环境的恶化、病原体和传播方式的抗药性的增加,许多新的传染病(如抗病性、肺结核、脑炎、登甲热等)的传播和传播发生了恶化,并开始传播。一些新的流行疾病也非常强烈,尤其是假性流行病,如累积病毒、寄生虫、登甲热等。此外,新的传染病也非常强烈,尤其是假性流行病,已成为国内外的中心,引起了中国政府和who(世界卫生组织)的注意。因此,在研究传染病动力学模型方面发挥着重要意义。关于传染病传播的数学模型研究是从En′ko(1889)开始的,作为奠基性的工作是1927年Kermark和Mekendrick的工作.他们将总人口分为易感者(S),染病者(I)和恢复者(R)三类,利用动力学的方法建立了SIR传染病模型,并对其传播规律和流行趋势进行了研究.早期的传染病模型大多假设种群总数为常数或者渐近常数,在某些条件下是合理的,如:疾病在种群中传播速度很快且在短期内没有出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡、环境封闭等.但在实际问题中,不论是动物还是植物的数量总是随着外界扰动而发生波动.因此,假设总人口大小为常数是不合理的,需要研究总人口具有种群动力学的传染病模型.关于这类模型已被Anderson和May(1979)在实验室所验证,McNeill(1976)也研究疾病对人类总人口的影响.从数学上看,这类模型的研究更加困难,因为总人口的变化增加了方程的维数.在传染病模型里,一般把总人口N分为易感者类S,染病者类I和恢复者类R.一个SIRS类模型,它表示易感者被染病者传染成为染病者个体,染病者具有免疫后从感染者类移出变为恢复者.恢复者渐渐失去免疫力后又变为易感者类.假设在t时刻易感者类、染病者类和移出者类数量分别为S(t),I(t)和R(t),则三者之和等于总人口N(t).即S(t)+I(t)+R(t)=N(t).传染病模型里有一个非常重要的项,称之为传染率,它的一般形式为βC(N)(S/N)I.这里βC(N)被称之为接触率(每次接触必传染)即单位时间内一个染病者与他人接触的次数C(N)乘以每次接触被传染的概率β.S/N是易感者在总人口中所占的比例,βC(N)(S/N)是一个染病者在单位时间内传染病人的平均数量,从而在单位时间内所有染病者传染的病人总数为βC(N)(S/N)I即传染率.传染病模型里还有一个重要阈值参数称为基本再生数:在没有染病者的人群中,进入一个染病者,该患者在他(她)的病程内传染的病人数,称之为基本再生数.注意,当在没有染病者的人群中时,人群处于平衡状态,此时,设总人口数量为N=K,易感者的数量为S=S0,当有一个染病者进入时,在单位时间内传染的平均人数为βC(K)(S0/K);设染病者的病程为T,则按定义可推得基本再生数为βC(K)(S0/K)×T.当总人口在变化时,总人口N(t)一般满足连续动力学模型这里B(N)和D(N)是N的连续函数,取不同的表达形式反映不同的人口动力学情况.如取B(N)=bN,D(N)=dN,它表示人口的出生和死亡都与人口的数量成正比,比例系数分别为b和d.此时相应的人口动力学模型称之为指数出生和死亡模型.如取B(N)=A,D(N)=dN,它表示人口中有一个常数输入率A和一个与人口成正比的死亡率dN,相应的人口动力学模型称之为常数输入和指数死亡模型.取B(N)=bN-(b-d)aN2,D(N)=dN+(b-d)(1-a)N2,则相应的人口动力学模型称之为满足Logistic方程的人口动力学模型.在传染病中,若考虑到因病死亡,则相应的人口动力学方程变为根据不同的传染率,不同的人口动力学以及有无因病死亡等因素可以建立不同的传染病模型.关于传染病模型研究目前已取得很多成果,所用方法有构造Liapunov函数法\,极限方程理论\,矩阵理论\,分支理论\,K序单调系统理论\,中心流形理论等.H.W.Hethcote,J.Mena-lorca分别研究了具有常数迁入和传染率是双线性的SIRS模型、具有常数迁入和标准传染率的SIRS模型,具有指数出生和死亡,传染率是标准的且无垂直传染的SIRS模型,具有指数出生和死亡且传染率是双线性的SIRS模型,并具有饱和传染率的SIRS模型.除具有指数出生和死亡且传染率是双线性的SIRS模型和具有饱和传染率的SIRS模型外,都得到了各自模型的基本再生数和有关的阈值参数,并利用稳定性理论证明了各个平衡点的稳定性.关于传染病模型的研究进展可参阅文献.前面已介绍了许多传染病模型及其研究进展,但是,所涉及的模型都是常微分方程或时滞微分方程.而有些传染病模型用具有脉冲的微分方程描述更符合实际.如:为了对传染病进行控制,常常在给定的时间点进行预防接种,因此,所建立的传染病模型就是脉冲微分方程.关于具有脉冲的传染病模型,目前的研究还是刚刚起步,所见的研究工作还很少,而且也很不完整.目前所见主要是M.G.Roberts,R.R.Kao和B.Shulgin,L.Stone等人的工作.M.G.Roberts,R.R.Kao研究了出生具有脉冲的SI传染病模型,给出了无病周期解的存在性和局部稳定性.B.Shulgin,L.Stone等人研究了具有脉冲预防接种的SIR模型,得到了基本再生数,并证明了无病周期解的局部渐近稳定性.作者考虑了具有连续预防接种和脉冲预防接种且传染率是标准的SIRS传染病模型,在连续预防接种和脉冲预防接种下,分别给出了SIRS传染病模型基本再生数.在连续预防接种下,利用广义Dulac函数方法证明了无病平衡点和正平衡点的全局渐近稳定性.对脉冲预防接种下的SIRS传染病模型,首次证明了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性.1地方病平衡e+-si,fps的计算考虑传染率是标准的且预防接种是连续的SIRS模型{˙S=bΝ-λ(SΙ/Ν)+θΙ+eR-(μ+p)S,˙Ι=λ(SΙ/Ν)-(μ+ε+c+θ)Ι,˙R=cΙ+pS-(μ+e)R.(1)总人口Ν满足方程˙Ν=(b-μ)Ν-εΙ.(2)式中b为出生率;λ为接触率;θ为从染病者到易感者的转移率;c为从染病者到恢复者的转移率;e为失去免疫率;μ为自然死亡率;ε为因病死亡率;p为预防接种率.令s=S/N,i=I/N,r=R/N,可行区域为Ω={s≥0,i≥0,r≥0,s+i+r=1},则方程(1)变为{˙s=b-bs-ps+er+θi-(λ-ε)si,˙i=-(b+ε+c+θ)i+λsi+εi2,˙r=-(b+e)r+ci+ps+εir.(3)这里s+i+r=1,方程(3)总存在无病平衡点E0=(b+eb+e+p,0,b+eb+e+p).定义Ω0=Ω-E0,设R0=λb+ε+c+θ×b+eb+e+p.(4)令f1,f2,f3分别代表方程(3)中第一、第二、第三的右端的表达式.由s+i+r=1得f1(s,i)=b+e-(b+e+p)s-(e-θ)i+(ε-λ)si,f1(s,r)=b+θ-(b+p+θ+λ-ε)s+er+(λ-ε)sr+(λ-ε)s2,f2(s,i)=-(b+ε+c+θ)i+λsi+εi2,f2(i,r)=-(b+ε+c+θ-λ)i-λir+(ε-λ)i2,f3(s,r)=c-(c-p)s-(b+e+c-ε)r-εrs-εr2,f3(i,r)=p-(b+e+p)r+(c-p)i+εir.引理1讨论的是方程(3)中地方病平衡点E+=(s*,i*,r*)存在的唯一性.引理1若R0<1,则方程(3)只有无病平衡点E0,没有地方病平衡点E+;若R0>1,则方程(3)除有无病平衡点E0外还存在唯一的地方病平衡点E+.证明无病平衡点的存在是显然的,下面主要证明关于地方病平衡点的存在性.由方程(5),(6)得到由方程(3)可知平衡点E+=(s*,i*,r*)满足方程把(8)的第一和第二个方程相加得(λ-ε)s*i*=b(1-s*-r*)+θi*+ci*+εi*r*.由此可得λ-ε>0.因此,关于函数F(i*)的抛物线方程开口是向上的.而且F(0)=λ(b+e)-(b+e+p)(b+ε+c+θ)=(b+e+p)(b+ε+c+θ)(R0-1),F(1)=-λp-(b+c+θ)(b+e+p)+ε(b+c+θ)-λ(c-p)=-λp-(b+c+θ)(b+e+p-ε)-λc+λp=-λc-(b+c+θ)(b+e+p-ε).情形1.b+e+p-ε>0.此时有F(1)<0,故当R0>1时,有F(0)>0,从而获得方程F(i*)=0在(0,1)内有唯一的正解.当R0<1时,有F(0)<0,从而获得方程F(i*)=0在(0,1)内无正解,即当R0<1时,方程(3)只有无病平衡点E0,没有地方病平衡点E+.当R0>1时,方程(3)有唯一的地方病平衡点E+.情形2.b+e+p-ε<0,此时有(b+e+p)/ε<1,因为F(b+e+pε)=-λ[p+(b+e+p)(c-p)ε]=-λ[p(1-b+e+pε)+c(b+e+p)ε]<0.(9)所以,可以断言:在区间((b+e+p)/ε,1)内,方程F(i*)=0无解.事实上,若方程F(i*)=0在区间((b+e+p)/ε,1)内有解i*,则i*必满足方程(6),因为1>i*>(b+e+p)/ε,所以方程(6)的右端是负的,而左端是正的,这是一个矛盾.所以当R0>1时,有F(0)>0,从而由(9)获得方程F(i*)=0在(0,1)内有唯一的正解.当R0<1时,我们有F(0)<0,从而由(9)获得方程F(i*)=0在(0,1)内无正解,即当R0<1时,方程(3)只有无病平衡点E0,没有地方病平衡点E+.当R0>1时,方程(3)有唯一的地方病平衡点E+.为了证明平衡点的稳定性,需要介绍广义的Bendixson-Dulac定理.定理1设f:R3→R3是一个Lipschitz连续的向量场,Γ(t)是有向光滑曲面S⊂R3的边界曲线,它是闭的、分段光滑的;若g:R3→R3在S的某邻域光滑,且对一切t满足g(Γ(t))⋅f(Γ(t))≤0(≥0),(Curlg)⋅n≥0(≤0),在S上.而且在S上有一些点满足这里是曲面上的单位法向量,则Γ(t)不可能由系统的轨线组成,Γ(t)的方向与n成右手系.利用定理1可证明下面的结论.引理2系统(3)在不变区域Ω内没有周期解、同宿轨和定向异宿轨.证明证明主要利用定理1.设g(s,i,r)=(g1(s,i,r),g2(s,i,r),g3(s,i,r))是一个定义在Ω内的一个紧子集上分段光滑的向量场,而且满足条件g⋅f=0且Curlg⋅(111)<0,在Ω0=Ω-∂Ω上这里∂Ω是Ω的边界,f=(f1f2f3)在Ω0上是Lipschitz连续的向量场.则可断言方程(3)没有周期解、同宿轨和定向异宿轨.事实上,取g=g1+g2+g3,这里g1(i,r)=(0-f3(i,r)/irf2(i,r)/ir),g2(s,r)=(f3(s,r)/sr0-f1(s,r)/sr),g3(s,i)=(-f2(s,i)/sif1(s,i)/si0).则有g=(g1g2g3)=(f3(s,r)sr-f2(s,i)sif1(s,i)si-f3(i,r)irf2(i,r)ir-f1(s,r)sr).经计算可得∂g3∂i-∂g2∂r=ε-λr-pr2i-c-pr2,∂g1∂r-∂g3∂s=-csr2+c-pr2-εs-b+θs2r-es2+λ-εr,∂g2∂s-∂g1∂i=-b+es2i+es2-θs2+εs,Curlg⋅(111)=-cis+(b+θ)ri+ps2+(b+e)r2+θr2is2r2i.显然,此式在Ω0上是负的.因此,由定理1知,在Ω0内没有周期解、同宿轨和定向异宿轨.又因为Ω是不变集,且因为s˙(0,i,r)=b+er+θi>0,所以Ω的边界不是方程(3)异宿轨.因此在Ω=Ω0∪∂Ω上没有周期解、同宿轨和定向异宿轨.引理3对方程(3)无病平衡点E0,当R0<1时,E0是局部渐近稳定的.R0>1时E0是不稳定的.证明无病平衡点E0的稳定性是方程(3)在E0的Jacobi矩阵的特征值决定的J|{E0}=(-(b+e+p)θ-e+(ε-λ)(b+e)b+e+p00(b+ε+c+θ)(R0-1)00c-p-(b+e+p)),显然,矩阵的三个特征值分别为-(b+e+p),(b+ε+c+θ)(R0-1),-(b+e+p).因此,当R0<1时,E0是局部渐近稳定的.当R0>1时,E0是不稳定的.综上所述,由引理1获得:当R0<1时,方程(3)只有唯一的平衡点E0,由引理2可知方程(3)没有周期解,由引理3可得:当R0<1时,E0是局部渐近稳定的,进而获得以下定理.定理2对方程(3)无病平衡点E0,当R0<1时,E0是全局渐近稳定的.R0>1时,E0是不稳定的.定理3当R0>1时,方程(3)的地方性平衡点E+在Ω0内是全局渐近稳定的.集合Q={(s,i,r)∈Ω:i=0}是不变集,从Q出发的解都趋向于E0,从初值(s0,i0,r0)(i0≠0)出发的解都趋向于E+.证明当R0>1时,由引理1知地方性平衡点E+是存在唯一的.又因为s+i+r=1,所以只须考虑下面的系统正平衡点的稳定性.{i˙=-(b+ε+c+θ-λ)i-λir+(ε-λ)i2,r˙=p-(b+e+p)r+(c-p)i+εir.(10)令Ω1={(i,r)|i≥0,r≥0,i+r≤1},系统(10)在Ω1内有唯一的正平衡点(i*,r*),该平衡点的稳定性是由下面的Jacobian矩阵决定J|(i*,r*)=(λ-(b+ε+θ+c)-λr*-2(λ-ε)i-λi*c-p+εr*-(b+e+p)+εi*),由方程f2(i,r)=0可得λ-(b+ε+θ+c)-λr*-2(λ-ε)i*=-(λ-ε)i*<0,由方程f3(i,r)=0可得-(b+e+p)+εi*=-ci*r*-pr*(1-i*)<0,从而得trace(J|(i*,r*))=-(λ-ε)i*-ci*r*-pr*(1-i*)<0,经计算可得det(J|(i*,r*))=i*{λ(b+e+c)-ε(b+e+p)-ε(λ-ε)i*+ελr}.(11)由上面的分析可知:当R0>1时,方程(7)有两个正根,其中在区间(0,1)的根i*是较小的根.因此,由方程(7)有i*<λ(b+e)-(b+e+p)(b+ε+c+θ)ε(λ-ε).(12)因为R0>1,所以知道式(17)的右端是正的.把式(12)代入式(11)得det(J|(i*,r*))>i*{λ(b+e+c)-ε(b+e+p)-λ(b+e)+(b+e+p)(b+c+ε+θ)+ελr*}.(13)整理(13)的右端可得det(J|(i*,r*))>i*{λc+(b+e+p)(b+e+c)+ελr*}>0.因此,由Hurwitz定理可得:正平衡点(i*,r*)是局部渐近稳定的.进而由引理1和引理2及Poincare-bendixson定理得到:在Ω0内,方程(3)的正平衡点是全局渐近稳定的.定义R1={b/μ若R0≤1,b/(μ+εi*)若R0>1.由方程(2)获得Ν˙(t)=(b-μ-εi*)Ν.(14)由方程(14),显然可以获得定理4.定理4当R1>1时,总人口N(t)是单调增加且最终趋向无穷大,当R1=1时,总人口N(t)保持不变,R1<1总人口N(t)最终趋向于零.2预防接种类型l系统(1)考虑了具有连续接种的SIRS模型,当接种不是以连续的方式,而是以脉冲的方式进行时,可把系统(1)修改为传染率是标准的脉冲预防接种SIRS模型{S˙=bΝ-λSΙ/Ν+θΙ+eR-μS,t≠tn,Ι˙=λSΙ/Ν-(μ+ε+c+θ)Ι,tn+1=tn+Τ,R˙=cΙ-(μ+e)R.(15){S(t+)=(1-p)S(t-),t=tn,Ι(t+)=Ι(t-),n=0,1,2,\:R(t+)=R(t-)+pS(t-).(16)令N(t)=S(t)+I(t)+R(t),由方程(15),(16)得到关于N(t)的方程Ν′(t)=(b-μ)Ν-εΙ.(17)方程(15),(16)中的tn代表预防接种时间点,T是两次接种的时间间隔即周期,是一个正的常数.令s=S/N,i=I/N,r=R/N,则方程(15),(16),(17)相应变为{s˙=b-bs+er+θi-(λ-ε)si,t≠tn,i˙=-(b+ε+c+θ)i+λsi+εi2,tn+1=tn+Τ,r˙=-(b+e)r+ci+εir.(18){s(t+)=(1-p)s(t-),t=tn,i(t+)=i(t-),n=0,1,2,\:r(t+)=r(t-)+ps(t-).(19)Ν′(t)=(b-μ-εi)Ν.(20)因为s+i+r=1,所以仅须考虑方程{i˙=-(b+ε+c+θ)i+λi(1-i-r)+εi2,t≠tn,r˙=-(b+e)r+ci+εir,tn+1=tn+Τ.(21){i(t+)=i(t-),t=tn,r(t+)=r(t-)+p[1-i(t-)-r(t-)],n=0,1,2,\:.(22)2.1求解ne-tn的相关函数研究无病周期解的存在性就是寻找当i=0时满足方程(21)和(22)的T周期解.注意到,当i=0时,方程(21)和(22)变为{r˙=-(b+e)r,t≠tn,r(t+)=r(t-)+p[1-r(t-)],t=tn.(23)方程(23)在区间tn≤t≤tn+1上的解为r(t)={r(t+)exp{-(b+e)(t-tn)},tn≤t<tn+1,r(tn-1+)=p+(1-p)r(tn+1-),t=tn+1.(24)令r(t+n+1)=rn+1,则由方程(24)得到rn+1=p+(1-p)rnexp{-(b+e)Τ}.设F:rn→rn+1是一个映射,满足rn+1=F(rn)=p+(1-p)rnexp{-(b+e)Τ}.(25)该映射有唯一的不动点r0=F(r0)=pexp{(b+e)Τ}exp{(b+e)Τ}-1+p,因为|dF(rn)dr|rn=r0=(1-p)exp{-(b+e)Τ}<1,所以,不动点r0是稳定的.从而可得序列{rn}必定收敛于r0.由映射F有不动点可导出系统(24)有周期解,即方程(21)和(22)有无病的T周期解(i˜(t),r˜(t))其中r˜(t)={pe(b+e)Τe(b+e)Τ+p-1exp{-(b+e)(t-tn)},tn≤t<tn+1,r0,t=tn+1.i˜(t)=0.2.2脉冲微分正则化考虑无病周期解(i˜(t),r˜(t))的稳定性,首先考虑该周期解的局部稳定性.令i(t)=i˜(t)+x(t),r(t)=r˜(t)+y(t),在t≠tn时,方程(21)关于周期解(i˜(t),r˜(t))的线性化系统为x˙=x[-(b+ε+c+θ)+λ-2λi˜(t)-λr˜(t)+2εi˜(t)]-λi˜(t)y,y˙=x[c+εr˜(t)]+[-(b+e)+εi˜(t)]y.(26)设Φ(t)是方程(26)的基解矩阵,且满足dΦdt=(λ-(b+ε+c+θ)-λr˜(t)0c+εr˜(t)-(b+e))Φ(t).(27)Φ(0)=I,I单位矩阵,解矩阵方程(27)得Φ(t)=(φ11(t)0φ21(t)φ22(t)).式中φ11(t)=exp{[λ-(b+ε+c+θ)]t-λ∫0tr˜(s)ds},φ22(t)=exp{-(b+e)t},φ21(t)=exp{-(b+e)t}∫0t[c+εr˜(s)]φ11(s)exp{(b+e)s}ds.当t=tn时,由方程(22)获得(x(tn+)y(tn+))=(10-p1-p)(x(tn-)y(tn-)).令Μ=(10-p1-p)Φ(Τ)=(φ11(Τ)0-pφ11(Τ)+(1-p)φ21(Τ)(1-p)exp{-(b+e)Τ}),由Fioquet定理得到:无病周期解稳定的充分必要条件是矩阵M的特征值的模小于1,即只须φ11(T)<1,也就是1Τ∫0Τr˜(t)dt>1-b+ε+c+θλ,或利用s˜(t)=1-r˜(t)等价的写为1Τ∫0Τs˜(t)dt<b+ε+c+θλ.(28)定义R2=∫0Τs˜(t)dtΤ×λb+ε+c+θ=λb+ε+c+θ×[Τ(b+e)-p][eΤ(b+e)-1]+Τ(b+e)pΤ(b+e)[eΤ(b+e)-1+p].则由此可得定理5.定理5当R2<1时,则系统(21)和(22)的无病T周期解(s˜(t),0,r˜(t))是局部渐近稳定的.考虑无病周期解(s˜(t),0,r˜(t))的全局稳定性.首先介绍脉冲微分不等式.引理4考虑如下的脉冲微分不等式{m˙(t)≤p(t)m(t)+q(t),t≠tk,m(tk)≤dkm(tk-))+bk,k∈N.这里p(t),q(t)∈C[R+,R],dk≥0,bk是常数.假设(i)序列{tk}满足0≤t0<t1<t2<\:,而且limk→∞tk=∞;(ii)m(t)∈PC′[R+,R]而且m(t)是在tk处左连续,则利用引理4证明无病周期解的全局稳定性.由方程(18),(19)得{s˙=b+e-(b+e)s-(e-θ)i-(λ-ε)si,t≠tn,i˙=-(b+ε+c+θ)i+λsi+εi2,tn+1=tn+Τ.(29){s(t+)=(1-p)s(t-),t=tn,i(t+)=i(t-),n=0,1,2,\:.(30)为了讨论方便,做基本假设λ≥ε以及e≥θ,因为λ是传染率,ε是因病死亡率,因病死亡率自然不会大于传染率,所以λ≥ε这个假设是非常自然的,注意到当θ=0时,就是通常的SIRS模型,所以该假设不算太强.在以上假设下有下面的定理.定理6当R2<1时,则系统(21)和(22)的无病周期解T(s˜(t),0,r˜(t))是全局渐近稳定的.证明由定理5知,只需证明:当R2<1时,系统(29)和(30)的任一解都趋向于(s˜(t),0).首先,证明当R2<1时,有limt→∞i(t)=0.分别由(29),(30)的第一个方程得s˙(t)≤b+e-(b+e)s,t≠tn,s(t+)=(1-p)s(t-),t=tn.(31)对方程(31)应用引理4得s(t)≤r1(t)+1-pexp{Τ(b+e)(1+[tΤ])-(b+e)t}exp{Τ(b+e)}-1+p.(32)这里r1(t)=exp{-(b+e)t}{s(0+)(1-p)[t/Τ]-(1-p)[t/Τ]+1(exp{Τ(b+c)}-1)exp{Τ(b+e)}-1+p}.把(32)代入(29)的第二个方程可得i′(t)≤i{λ-(b+ε+c+θ)+λr1(t)-pλexp{Τ(b+e)(1+[t/Τ])-(b+e)t

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