第一讲 什么是数学建模

第一讲什么是数学建模第1页，课件共36页，创作于2023年2月例1高跟鞋问题女孩子都爱美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？第2页，课件共36页，创作于2023年2月穿高跟鞋是为了身高在视觉上得到增加，但是身高越高看起来越美吗？理解问题第3页，课件共36页，创作于2023年2月由黄金分割原理，我们不妨假定，当人的下肢和身高的比为0.618时，看起来最美。合理化假设设某人身高为h厘米，下肢长l厘米，高跟鞋的鞋跟为x厘米。第4页，课件共36页，创作于2023年2月转化为数学问题穿上高跟鞋后，身高为h+x厘米，下肢长l+x厘米。得到一个关于x的一次方程：第5页，课件共36页，创作于2023年2月问题的求解解该一次方程，得：第6页，课件共36页，创作于2023年2月问题的检验以身高168CM，下肢长为102CM的人为例，其所穿鞋的鞋跟高度与好看程度的关系可由下表说明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８第7页，课件共36页，创作于2023年2月问题的检验又如，按照上述模型，身高153CM，下肢长为92CM的女士，应穿鞋跟高为6.6CM的高跟鞋显得比较美。第8页，课件共36页，创作于2023年2月评价和应用由此看来，女孩们爱穿高跟鞋是有科学依据的，也使人联想到为什么人们观看芭蕾舞的时候有一种美的感受，可当你看踩高翘表演时就没有这种感觉。这下女生知道应该如何选择合适的高跟鞋了吧！第9页，课件共36页，创作于2023年2月例2乌鸦能喝到水吗？小学课文：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢？乌鸦看见旁边有许多小石子，想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。可是，乌鸦真的能喝到水吗？第10页，课件共36页，创作于2023年2月第11页，课件共36页，创作于2023年2月显然水的体积大于空隙的体积，乌鸦才能喝到水。因此我们可以从几何体积计算的角度，重新认识乌鸦喝水问题。理解问题不难想象，当乌鸦把各种各样的小石子扔到瓶子里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子之间的空隙较大，而瓶子里的水又较少，那么乌鸦即使将瓶子填满也无法喝到水。那么瓶子里到底应当有多少水，乌鸦才能喝到水呢？第12页，课件共36页，创作于2023年2月显然该问题与瓶子和石子的形状及其排列方式有关，为简单起见我们假设：合理化假设图1瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。乌鸦投进的石子是大小相同的球体。瓶子中摆放的方法如图1所示第13页，课件共36页，创作于2023年2月瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨设为n倍（显然，如果不是整数倍的话，那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝到水）石头内部渗进的水忽略不计。合理化假设第14页，课件共36页，创作于2023年2月转化为数学问题一个边长为n*a的正方体中放入n3个边长为a的球，求其空隙部分的体积占总体积的比例。第15页，课件共36页，创作于2023年2月问题的求解下面我们首先证明球体的大小与球体占据正方体空间的总和无关，为此我们设瓶中仅放入一个最大的球体（假如能放入的话）如图2所示。

图2第16页，课件共36页，创作于2023年2月由于图1中有n3个小正方体，而每个小正方体与图2的情况相同，每个小球都内切于一个小正方体。设大立方体的体积为V，其内切球体积为V球，小立方体的体积为Vi，小球的体积为Vi球，显然：

由等比定理得：

第17页，课件共36页，创作于2023年2月由此可知球的大小与所占空间总和无关，于是容易计算出球体所占空间体积与瓶子体积比为

即空隙部分的体积与瓶子体积比约为48%。这表明，按上述条件，当瓶中的水不足瓶子容积的48%时，乌鸦将难以喝到水。第18页，课件共36页，创作于2023年2月评价和应用假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是计算麻烦些，读者可举一实例验证之）上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算，但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们考虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益，这正是数学所需要解决的问题。第19页，课件共36页，创作于2023年2月第20页，课件共36页，创作于2023年2月例3航行问题用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第21页，课件共36页，创作于2023年2月基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第22页，课件共36页，创作于2023年2月我们用数学方法解决以上3个实际问题的过程，其实就是数学建模的过程对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第23页，课件共36页，创作于2023年2月数学建模的一般步骤模型准备模型假设建立模型模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第24页，课件共36页，创作于2023年2月模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中建立模型用数学的语言、符号描述问题发挥想像力尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤第25页，课件共36页，创作于2023年2月模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤第26页，课件共36页，创作于2023年2月数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)现实世界数学世界表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践第27页，课件共36页，创作于2023年2月本课程的任务和内容《生活中的数学智慧》用尽量简单的数学知识，通过建立数学模型，来解决大家生活中的一些经常碰到的实际问题，从而开拓大家善于发现问题的数学眼光和培养善于思考问题的数学大脑。在本课程里你将接触到以下问题：用一定量的水，怎样洗衣服才能洗得更干净？外出的时候，关掉饮水机更省电吗？刚烧开的水在室温下过多久能喝？为什么北方人家的窗户要用双层玻璃？第28页，课件共36页，创作于2023年2月怎样分配代表席位最合理？怎样计算每月房贷的还款数额？你有一笔钱，怎样储蓄可以获得最大利益？家具怎样才能搬进门？怎样设计最佳的电梯运行方案？怎样布置输油管道最合理？怎样让有限的资源发挥最大的作用？怎样减肥效果好？等诸如此类的问题。第29页，课件共36页，创作于2023年2月全国大学生数学建模竞赛为了锻炼大学生应用数学解决问题的能力，我国每年举办全国大学生数学建模竞赛。竞赛每年九月举行，在指定网站公布竞赛题，参赛选手届时通过网络下载并完成题目。三人一组报名参加，72小时合作完成一个题目。共四题，本科A、B中选1题，专科C,D中选1题。解答过程写成论文提交。一般要用计算机软件编写程序计算出结果。可以查阅图书及网络等资料，但要保证自己的独创性，不能与他人雷同。第30页，课件共36页，创作于2023年2月我院从2006年开始参加全国大学生数学建模竞赛，共获得江苏省赛区一等奖1项，二等奖2项，三等奖3项。2006年刘万里、胡育、仇唐兵省二等奖2007年仇唐兵、李兆兵、万丽娜省三等奖2008年万丽娜、潘才林、许磊省二等奖2008年冯士霞、祁金花、赵日亮省三等奖2009年王宏之、缪振中、皋乾省三等奖2010年周洁、钟阳阳、陈荣荣省一等奖《生活中的数学智慧》成绩优秀者，可参加全国大学生数学建模竞赛。第31页，课件共36页，创作于2023年2月题目：四月是菠萝上市的季节，大家都知道，吃菠萝前要削皮去籽。削皮去籽的方法有多种，有些人从菠萝上部削到下部，有些人从左往右一圈一圈地削，水果店的人一般是斜着削，削完后菠萝上留下的是一条条螺线，这是一个很有艺术性的刨削过程。你认为哪种削菠萝的方法最好，能否从数学角度证明你的结论？请写出你的结论，并尽量详细地将自己的思考过程以及问题解答过程书写下来。数学建模水平测试第32页，课件共36页，创作于2023年2月各位同学，本次调查是匿名的，不作为课程成绩的依据，下面各题没有对错之分，请你根据自己在数学学习中的真实情况，选择合适的选项，谢谢你的配合。1．你认为学习高等数学很重要吗?（）A.非常重要B.比较重要C.一般D.学不学无所谓2．你认为数学与你的日常生活联系有多大?（）A．密切相关B．比较密切C．一般D.没联系3.你认为数学与专业课有多大联系?（）A．密切相关B.比较密切C.一般D.没联系4．你学习数学的主要目的是什么?（）A．探索知识，充实自己B．掌握专业知识，谋求就业发展C．将来继续深造有用D．毫无目的,应付考试而已数学学习情况调查第33页，课件共36页，创作于2023年2月5.我认为学好数学对我来说：（）A.很有价值B．价值一般C．价值很小D．毫无价值6.你认为可以用数学方法、数学知识解决实际问题吗?（）A.非常同意B.同意C.有点同意D.不同意7.你曾经用过数学方法、数学知识解决实际问题吗?（）A.经常B.多次C.偶尔D.从没有8.你觉得学了数学的收获有多大?（）A.很大B.比较大C.有一点收获D.没收获9．我的数学学习中成败的经验情况（）A．成功多B．失败多C．两者差不多D．不知道10．我认为数学学业方面的成败主要取决于（）A．自身努力程度B．学习任务的难度C．学校教育质量D．数学学习能力

第34页，课件共36页，创作于2023年2月11．我认为数学教材对我学习数学的驱动作用A．显然存在B.存在但不显然C.不存在D．不确定12．我认为促使我探究数学的主要原因是（）A．爱好B．兴趣C.好奇D．与原有知识矛盾13．我的数学老师对学生：（）A．很关心，呵护B．比较关心C．一点点关心D．漠然14．我的数学老师主导情绪状态是：（）A．热情、投入B．平静温和C．冷漠不悦D．易怒生气15．我对我的数学老师是：（）A．尊敬爱戴B．敬畏C．感情平平D．憎恨讨厌第35页，课件共36页，创作于2023年2月16．我在学习数学一般情绪状态为：（）A．快乐感兴趣B