2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国甲卷)文

2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)

文科

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1.(2021•全国甲•文1)设集合M={l,3,5,7,9},N={x|2x>7}4ijMfW=()

A.{759}B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9)D.{1,3,57,9}

|命题意图|本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力.

解析|B:•例={1,3,5,7,9},N={Y|X>3，

.：M。%={5,7,9}.故选区

2.(2021・全国甲•文2)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年

收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

0.14

0.10

2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5

收入/万元

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

|命题意图|考查频率分布直方图，用样本估计总体，考查数据分析与处理能力.

［解析］C该她农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)x1=6%,A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)x1=10%,B正确;

该地农户家庭年收入的平均值为

0.02x3+0.04x4+0.1x5+0.14x6+0.2x7+0.2x8+0.1x9+0.1x10+0.04x11+0.02x12+0.02x13+0.02x14

=7.68,C不正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)x1=64%,D正确.

3.(2021•全国甲•文3)已知(l-i)2z=3+2i,贝！|z=()

A.d|i

C.-3f+iD.~3i

命题意图|考查复数的运算,考查运算求解能力.

函|B由题意得2=串=一=-1+|1

----------（Li）/-212

4.（2021•全国甲•文4）下列函数中是增函数的为（）

X.j[x}=-xB：/（x）=（|）

C.fix^x2D.y（x）=Vx

|命题意图|本题考查函数的单调性，考查了学生的直观想象、数形结合的能力.

|解析|D借助函数的图形可知，对于A,函数单调递减，不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函

数单调递减，不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性，不合题意;对于D,根据幕函数的性质可知，

函数在其定义域内为增函数，符合题意.故选D.

5.（2021•全国甲•文5）点（3,0）到双曲线（一*1的一条渐近线的距离为（）

|命题意图|本题考查双曲线的几何性质，考查了学生的数形结合及基本运算能力.

解析|A由题意，双曲线的一条渐近线方程为尸%,即3x-4y=0,点（3,0）到该渐近线的距离为

『3-4x01=:故选A.

^32+（-4）2

6.（2021•全国甲・文6）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据乙和小数记录法的数据V满足L=5+lg忆已知某

同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（'源句.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

|命题意图|考查函数模型，指数、对数的运算及应用，考查数学建模及运算求解能力.

|解析|C由题意L=5+lgV,当L=4.9时，有4.9=5+lgV,lgV=-0.1,V=^T=扁々7159~0-8-

7.（2021•全国甲•文7）在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥

A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

ABCD

命题意图I考查三视图,考查空间想象能力.

解析|D由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中，相应的侧视图为D.

8.(2021•全国甲■文8)在△ABC中，已知B=120°4c=内工8=2,则8C=()

A.lB.V2C.V5D.3

命题意画本题考查用余弦定理解三角形，考查了学生的基本运算能力.

解析D设BC=x,由余弦定理得19=4+/-2*2^85120°，解得x=3或x=-5(舍).故选D.

9.(2021•全国甲•文9)记S”为等比数列｛斯｝的前n项和.若.=4,54=6,则*=()

A.7B.8C.9D.10

命题意画本题考查了学生的基本运算能力及数学探究与创新能力.

解析|A设等比数列的公比为q,由题意知好1.

根据等比数列的性质可知,S2,S4$,S6-S4成等比数列,即⑸42)2=S2(S6s4),

2

：^2=4,54=6,.：(6-4)=4(S6-6),

解得$6=7.故选A.

10.(2021•全国甲•文10)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

|命题意图|本题考查了学生的逻辑推理能力、分析问题与解决问题能力.

|解析|C将3个1和2个0随机排成一行，共有

11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有

01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法，故所求的概率为2=0.6,故选C.

11.（2021・全国甲•文11）若aG（0,］）,tan2a=会冷，则tana=（）

若D.苧

A-玄

命题意图本题考查三角恒等变换,考查逻辑推理能力、数学运算能力.

瓯A由题意鬻=cosa2sinacosacosa:，因为司。母,所以cosa＞。,所以蔑=短，解得

2-sina'l-2sin2a2-sina'

simx=],则cosa二，所以lana=^.

12.(2021・全国甲・文⑵设/U)是定义域为R的奇函数，且川+x)X-x).若小3=全则/(|)=()

愉题意图|本题考查函数的奇偶性与周期性,考查了学生的抽象思维及逻辑思维能力.

§¥]c：7U）是奇函数，•尔-x）=-/U）.

-7（x+1）y-X）,,1）=V（x）,

贝|危+2）=%+1）或0，

所以函数段）的周期为2,则・媳）=/（2-3=/（-§="攵选C.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2021・全国甲・文13）若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a-b=l,则|b|=.

|命题意图|本题考查平面向量模的运算，考查了学生的基本运算能力.

解析|3e由|a-b|2=a2-2a-b+b2,得25=9-2x1+巾匕解得|b|=3式.

14.（2021.全国甲.文14）己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30阳则该圆锥的侧面积

为.

|命题意图|本题考查圆锥体积与侧面积的计算，考查了学生的空间想象能力及基本运算能力.

|解析1397r设圆锥的高为力,母线长为/,

则，x62・/i=30it,解得〃=|,则/=A/62+炉=，，所以圆锥的侧面积为兀x6x学=39兀.

15.（2021•全国甲•文15）已知函数於）=2cos（tox+9）的部分图象如图所示，则,詹）=.

命题意图|本题考查三角函数性质及应用，考查了学生的读图识图能力及分析问题与解决问题的能力.

廨郴国设於）的最小正周期为T,由图形可知,『=詈一1则7=兀,所以＜0=2.

由2cos（手+<p）=2,得单=?+2kn,kGZ,

所以J（x）-2cos（2x-，），

贝।尼）=2cos"-百.

16.（2021・全国甲•文16）已知人出为椭圆C:最+21的两个焦点，尸，。为C上关于坐标原点对称的两

1b4

点，且IPQI=IEBl,则四边形PF1QF2的面积为.

|命题意图|本题考查椭圆的标准方程、几何性质，考查逻辑推理、数学运算能力.

|解析根由题意得a=4,b=2,c=26,

则|PQ|=|FF2l=4Vl

：10QI=|0ai=|0F2|=26,

.：QFI_LQF2,即四边形PBQB为矩形.

：1。尸1|+|。尸2|=2=8,|。~|2+|。尸2|2=内尸2|2=48,

,：IQQHQF2|=j(IQQ|+IQF2|)2-(|QQ|2+|QF2|2)]=8,即四边形尸BQB的面积为8.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

(2021・全国甲•文17)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机

床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-bc)2

附:收=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(群》k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

鳗童画本题考查了统计与概率中的独立性检验，考查数据分析与数学运算能力.

网(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为黑=*

乙机床生产的产品中一级品的频率为黑=|.

(2)由题意K2的观测值

.n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

_400x(150x80-120x50)2

200x200x270x130

^10.256>6.635.

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.(12分)

(202卜全国甲•文18)记S,为数列｛%｝的前〃项和，已知%>0/2=30,且数列｛房｝是等差数列.证明:｛%｝

是等差数列.

I命题意图I本题考查等差数列的通项公式、前”项和公式,考查逻辑推理能力、数学的运算求解能力.

画二医是等差数列,“2:30,

,♦-JS]~J4al-7a、7a1，

即数列｛图｝的公差为风.

•：6?=V^i+(〃-l)V^T="V^i，

即S"=/“i.当〃22时,S”=/ai,

Sa-i=("-l)2ai,

则22

an=Sn-Sn.\=nai-(n-1)«i=(2n-1)a\,

当n-\时，由斯=(2〃-1)。|得ai=(2xl-l)ai=ai,

,:斯=(2"-l)ai,〃WN*,.：｛④｝是等差数列.

19.(12分)

(2021•全国甲•文19)已知直三棱柱A8C-A出G中，侧面A488为正方形/B=BC=2,E,F分别为AC和

CG的中点,

(1)求三棱锥F-EBC的体积；

(2)已知。为棱AS上的点，证明

|命题意图|本题考查空间几何体中线线垂直、空间几何体的体积，考查直观想象与数学运算能力.

(1嫡在直三棱柱ABC-AiSG中

平面

VBF±A]Bi,BB]nBF=B,BBt,BF<z^^)BCCiBi,.：4BiJ_BCC\B\."/AB//A\B\,

.：AB_L平面BCCB,.：ABLBC.

：NB=4C,.：AC=V22+22=2近,

.：CE^=BE.

•:CF=*C=，B=F.EBCWSAEBCXCF=3X|XV2XV2xl=l

(2悔明如图，连接4E,取BC中点M,连接

:,EM分别为AC,BC中点，.：EM〃A8.

又AB〃A向，.：4Bi〃EM,

则点Ai,S,M,E四点共面，故DEu平面ABME.

又在侧面BCCB中,AFCB公AMBB”

•；NFBM=NMBiB.

又NMB|8+/B|MB=90°,

.：NFBM+NBiMB=90；.：BF，MBi.

又8凡平面.：BF_L平面A}B\ME,.".BFLDE.

20.(12分)

(2021・全国甲•文20)设函数段)=a2*+ox-31nx+l,其中a>0.

(1)讨论火x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图象与x轴没有公共点，求。的取值范围.

检题意画本题考查利用导数研究函数的单调性及函数交点问题，考查逻辑推理与数学运算能力.

网(1):7(x)=a2/+ax-31nA■+(0,+oo),

.\f(x)-2a2x+a-^

_2a2x2+ax-3_(ax-l)(2ax+3)

x~x*

.:当XG(O,0时/a)<o；

当XG&+8)时/(X)>0,.：函数兀v)在(0,以上单调递减，在&+8)上单调递增.

(2)：)，=/a)的图象与x轴没有公共点，

.：函数於)在(0,+00)上没有零点，

由(1)可得函数式x)在(0,£)上单调递减，在&+8)上单调递增，.兆)=3-3%=3+31na>O,.：lna>-

1,

.：〃，,即实数a的取值范围是+co).

21.(12分)

(2021•全国甲•文21)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线l:x=l交C于P,Q两点，且OP

，0。,已知点M(2,0),且OM与/相切.

(1)求C,。例的方程；

⑵设4,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2AA3均与。M相切，判断直线A2Al与。M的位置关系，并说

明理由.

|命题意图|本题考查抛物线方程、直线与圆的位置关系,考查逻辑推理与数学运算能力.

网(1)由题意设抛物线的标准方程为VuZpx/〉。,当x=l时,y2=2p,y=壬J^.

「OPJ_O0,.：历=1,即2P=1,

・：抛物线的标准方程为)r=x,

0M的方程为(x・2)2+y2=l.

(2)设人1(。2,。)也(从力),43(/«).

即x-(a+b)y+ab=0,

:'直线4A2与OM相切,

,_\2+ab\__

①

Jl+(a+与2

1

IAXA3-y-a--^：(x-a)=>x-(a+c)y+ac=Q,'i.A1A3与OM相切,

.|2+ac|_]

②

Jl+(a+c)2

.:仇C是方程7M+@=1,

Jl+(a+x)2

即(H-Df+Zq%-“2+3=0的两根.

又匕2A3*S+c)y+bc=o,

.：圆心(2,0)到直线S小的距离d=I|2+bC'=?2+11-■.

Jl+fb+c)2Va4+2a2+l

.：”与。例的半径相等,即直线403与。例相切.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(10分)【选修I:坐标系与参数方程】

(2021.全国甲•文22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点/轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为〃=2&cos0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足方=而，写出P的轨迹G的参数方程，

并判断C与G是否有公共点.

|命题意图|本题考查极坐标与参数方程、轨迹的参数方程，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力.

网⑴由p2=2y/2pcos0,^x1+y1=2'j2x,

即(x-VI)2+y2=2.

(2)设P(x,y),M(xo,yo),

由4P=VZ折，得(x-l,y)=&(xo-l,yo),

口n_缶4V2_V2y

即无0='"^~+1-5，泗二方~，

又点M在C上，所以(争>|鱼+1'+俘y)=2,即(x+或-3>+y2=4.

则G是以(3-企,0)为圆心,2为半径的圆，

所以Cl的参数方程为卜=2c°sO,oweW2兀.两圆的圆心分别为(e,0),(3-企,0),半径分别

(y=2sin%

为企和2,两圆心的距离是3-2或，半径之差为2-或，显然3-2>/2<2-V2,

所以两圆内含，两圆没有公共点.

23.(10分)【选修4一5:不等式选讲】

(2021・全国甲•文23)已知函数於)=|x-2|,g(x)=|2x+3H2x-l|.

(1)画出y=7(x)和y=g(x)的图象；

⑵若yU+q)与g(x),求a的取值范围.

|命题意图|本题考查绝对值不等式，考查逻辑推理、数学运算能力.

圈⑴危尸此音;

-4，xW-|,

31

g(x)=<4x+2,-；<x<-,

(2)取临界状态，设

,711

知於+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数於+a)=|x-(2-〃)|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-aW],即。2彳

时於+。)2g(x)成立.

所以〃£出,+00）.

2021年高考数学甲卷（文）查缺补漏表

题题查缺补

考查要点学科能力学科素养

型号漏

集合的基本运算（交集）、一元一次不

1运算求解能力数学运算

等式的解法

利用频率分布直方图求频率及估计

2数据处理能力数据分析

样本的平均数

3复数的乘法、除法运算运算求解能力数学运算

4基本函数的图象和单调性数形结合能力直观想象

双曲线的儿何性质及点到直线的距

5运算求解能力数学运算

离

选择6对数与指数的相互转化运算阅读理解能力、运算求解能力数学运算

题空间几何体三视图的正视图与侧视

7抽象概括能力、空间想象能力直观想象

图

s解三角形中余弦定理的应用运算求解能力数学运算

等比数列求和公式及等比数列的性

9运算求解能力及探究创新能力数学运算

质

10古典概型的概率问题分析问题与解决问题的能力数学抽象、数学运算

11同角三角函数关系及二倍角公式运算求解能力数学运算

抽象思维能力、逻辑思维能力及运数学抽象、数学运算及

12抽象函数的奇偶性与周期性

算求解能力逻辑推理

13向量模的运算运算求解能力数学运算

14圆锥的体积与侧面积空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算

填空

读图识图能力、分析问题与解决问

15三角函数的图象及周期逻辑推理、数学运算

题题的能力

数学探究与创新能力、运算求解能

16椭圆的定义及几何性质直观想象、数学运算

力

17频率及独立性检验数据处理能力、运算求解能力数据分析•、数学运算

18S“与的关系及等差数列的判定推理论证能力、运算能力