2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编16 圆含详解

专题16圆

一、圆的基本性质

1.（2021•江苏无锡市）用半径为50,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

2.（2021•江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为cm2.

3.（2021•江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2,母线长为3,则这个圆锥的侧面积为.

4.（2021.江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。，则它的侧面展开图面积为

二、圆锥与扇形

5.（2021.江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：

1.则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

6.（2021•江苏南京市）如图，A3是。0的弦，C是4B的中点，OC交AB于点D.若A3=8cm,C£>=2cm,则。O

的半径为cm.

7.（2021.江苏常州市）如图，8C是。。的直径，A8是。。的弦.若NAOC=60。，则N0A3的度数是（）

oA

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.（2021•江苏宿迁市）如图，在RSABC中，ZABC=9Q°,NA=32。，点8、C在。。上，边A&AC分别交。。于

D、E两点，点8是CO的中点，则/ABE=

9.（2021•江苏盐城市）如图，在。。内接四边形48C。中,若ZA8C=100。，则ZADC=

10.（2021.江苏连云港市）如图，OA、。8是。。的半径，点C在0。上，4408=30。，NOBC=40°,则NQ4C=

11.（2021•江苏南京市）如图，小GB,”C,/£UE是五边形AB8E的外接圆的切线，则

ZBAF+NCBG+ZDCH+NEDI+ZAEJ=°.

12.（2021•江苏徐州市）如图，A3是。。的直径，点C、。在。。上，若NADC=58。，则NB4C=O

A

13.（2021•江苏连云港市）如图，正方形ABCO内接于。0,线段MN在对角线8。上运动，若。。的面积为2兀,MN=1,

则AAMN周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

14.（2021.江苏常州市）如图，在R/AABC中，ZACB=90°,Z.CBA=30°,AC=1,力是AB上一点（点。与点4不

重合）.若在心AA8C的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范

围是•

15.（2021•江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段3c=2,使用作图工具作/1MC=3（）。，尝试操作后思考：

（1）这样的点A唯一吗？

（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦，，学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），....小

华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

图1图2备用图

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为;

②AABC面积的最大值为；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为4,

请你利用图1证明NBAO30。；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形A3C。的边长AB=2,BC=3,点、P

4

在直线8的左侧，Ji.tanZDPC=-.

①线段PB长的最小值为；

2

②若^则线段PD长为.

三、圆的切线

16.（2021.江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8,5）,OA与x轴相切，点P在y轴正半

轴上，PB与。A相切于点B.若NAPB=30。，则点P的坐标为一.

17.（2021.江苏南京市）如图，已知P是。。外一点.用两种不同的方法过点P作。。的一条切线.要求:

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

18.（2021•江苏南通市）如图，A8为0。的直径，C为。。上一点，弦4E的延长线与过点C的切线互相垂直，垂

足为D,ZCAD=35°,连接BC.

A

(1)求DB的度数；

(2)若AB=2,求EC的长.

19.(2021•江苏盐城市)如图，。为线段户8上一点，以。为圆心。8长为半径的。。交PB于点A,点C在。。上,

连接PC,^^PC2=PAPB.

(1)求证：PC是。。的切线；

AT

(2)若A8=3P4,求熬的值.

nC

20.(2021•江苏无锡市)如图，四边形A8CO内接于0O,AC是。。的直径，AC与BD交于点E,尸8切。。于点

B.

(1)求证：NPBA=NOBC；

(2)若？PBA20?,ZACD=40°,求证：YOABWCDE.

21.(2021•江苏宿迁市)如图，在放AAOB中，ZAOB=90°,以点O为圆心，OA为半径的圆交A8于点C,点。

在边08上，且C£>=BO.

(1)判断直线C。与圆。的位置关系，并说明理由；

24

(2)已知tanNDOC=—,AB=40,求。。的半径.

7

A

22.(2021.江苏苏州市)如图，四边形A8C。内接于。。，Z1=Z2,延长BC到点E,使得CE=",连接EO.

(1)求证：BD=ED；

(2)若43=4,BC=6,ZABC=60°,求tanNDCB的值.

23.(2021.江苏扬州市)如图，四边形A8C。中，ADHBC,44)=90。，CB=CD,连接BO,以点B为圆心，BA

长为半径作。8,交8。于点E.

(1)试判断CO与OB的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=26,ZBCD=60°,求图中阴影部分的面积.

24.(2021•江苏连云港市)如图，R/AABC中，NABC=90。，以点C为圆心，C8为半径作。C,。为。C上一点,

连接A。、CD,AB=AD,AC平分

(1)求证：AO是G»C的切线；

(2)延长40、8c相交于点E,若%求tan/R4c的值.

25.（2021•江苏泰州市）如图，在。。中，A8为直径，尸为AB上一点，PA=l,PB=m（帆为常数，且〃?>0）.过

点尸的弦CZ）_LA8,。为8c上一动点（与点8不重合），AHLQD,垂足为4.连接A。、BQ.

①求证：Z（940=60°；

②求铛•的值；

DH

（2）用含小的代数式表示线，请直接写出结果;

（3）存在一个大小确定的。O,对于点。的任意位置，都有BQ2-2Q/+P82的值是一个定值，求此时/Q的度数.

26.（2021•江苏苏州市）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABC。是正方形，容器乙的底

面"G"是矩形.如图②，已知正方形A8C。与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABC。外切于一个半径为5米

的圆。，矩形EFG”内接于这个圆0,EF=2EH.

（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？

（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米〃J、时，4

小时后.把容器甲的注水流量增加〃立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲

的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变.直到两个容器的水位高度相同，停

止注水.在整个注水过程中，当注水时间为1时，我们把容器甲的水位高度记为偏，容器乙的水位高度记为他，设

hH，已知/?（米）关于注水时间，（小时）的函数图像如图③所示，其中MN平行于横轴.根据图中所给信

息，解决下列问题：

①求。的值；

②求图③中线段PN所在直线的解析式.

图③

专题16圆

一、圆的基本性质

1.（2021•江苏无锡市）用半径为50,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

【答案】y

【分析】

先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解.

【详解】

12(hrx50100%

;扇形的弧长=

1803

...圆链的底面半径=*+2兀=?.

故答案是：—.

【点睛】

本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键.

2.（2021•江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为

【答案】100万

【分析】

根据圆柱体的主视图为边长为10。”的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积.

【详解】

解：•.•果罐的主视图是边长为的正方形，为圆柱体，

圆柱体的底面直径和高为

工侧面积为10Gl0=100万，

故答案为：100万.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到儿何体的相关数据.

3.（2021•江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2,母线长为3,则这个圆锥的侧面积为

【答案】6万

【分析】

根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面

积公式求解.

【详解】

解：该圆锥的侧面积=；x2兀X2X3=6TT.

故答案为67r.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥

的母线长.

4.（2021・江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。，则它的侧面展开图面积为

【答案】487t

【分析】

首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可.

【详解】

解：•底面圆的半径为4,

二底面周长为8兀，

.•.侧面展开扇形的弧长为8兀，

设扇形的半径为r,

；圆锥的侧面展开图的圆心角是120°,

解得：r=I2,

侧面积为兀x4x]2=48兀，

故答案为：487c.

【点睛】

考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大.

二、圆锥与扇形

5.（2021•江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：

1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】C

【分析】

设OB=x,则0A=3x,BC=2x,根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解.

【详解】

解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD,OB=OC,

:圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,

设OB=x,则0A=3x,BC=2x,

二圆的面积=7t(3x)2=9⑪2,正方形的面积=g(2x『=2%2,

.•.9口%=14,即：圆的面积约为正方形面积的14倍，

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键.

6.(2021•江苏南京市)如图，A8是。0的弦，C是AB的中点，OC交AB于点、。.若A3=8cm,CO=2cm,则。。

的半径为cm.

【答案】5

【分析】

连接。4,由垂径定理得4O=4cm,设圆的半径为R,根据勾股定理得到方程出=4?+(R-2>,求解即可

【详解】

解：连接0A,

是AB的中点，

OC1AB

：.AD=-AB=4cm

2

设。。的半径为七

8=2cm

OD=OC-CD=(R-2)cm

在RfAftW中，OA2=AD2+OD2,即R2=42+(R-2)2,

解得，R=5

即。。的半径为5cm

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出0C是AB的垂直平分线是解答此题的关键.

7.(2021.江苏常州市)如图，8C是。。的直径，AB是。。的弦.若NAOC=60。，则N0A3的度数是()

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】

先根据平角的定义求出/AOB,再根据等腰三角形的性质求解，即可.

【详解】

解：VZAOC=60°,

/.ZAOB=180°-60o=120°,

'：OA=OB,

：.4）AB=NOBA=（180°-120°）+2=30°,

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键.

8.（2021•江苏宿迁市）如图，在RSA8C中，ZABC=90°,NA=32。，点2、C在O。上，边A3、AC分别交0。于

D、E两点，点8是CO的中点，则NABE=

【答案】13。

【分析】

如图，连接。C,先证明N8OC=ZBCQ,再证明=利用三角形的外角可得：

NBDC=ZA+ZACD=ZA+ZA8E,再利用直角三角形中两锐角互余可得：2NBDC=90。-2（ZA+ZABE）,再解方程

可得答案.

【详解】

解：如图，连接。C,

•.•8是C。的中点,

:.BD=BC/BDC=ZBCD,

•;DE=DE,

:.ZABE=ZACD,

ZBDC^ZA+ZACD=ZA+NABE,

ZABC=90°,ZA=32°,

2NBDC=9()O-2(ZA+ZABE),

ZABE=45°-ZA=45°-32°=13°.

B

D

故答案为：13。.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键.

9.（2021.江苏盐城市）如图，在。。内接四边形A8CO中，若NABC=1OO。，则ZAT>C=°.

【分析】

根据圆内接四边形的性质计算出ZADC=18O。-/ABC=8O。即可.

【详解】

解：是。。的内接四边形，ZABC=100°,

ZABC+ZADC=180°,

ZADC=180°-ZABC=180°-100°=80°.

故答案为80.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质.

10.（2021•江苏连云港市）如图，OA、08是。。的半径，点C在OO上，ZAOB=30°,ZOBC=40°,则NQ4C=

【答案】25

【分析】

连接OC,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到/80C=100。,求出NAOC,根据等腰三角形的性质计算.

【详解】

解：连接oc,

：.ZOCB=ZOBC=40°,

：.ZBOC=180°-40°x2=100°,

NAOC=100°+30°=130°,

OC=OA,

：.ZOAC=ZOCA=25°,

故答案为：25.

【点睛】

本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.

11.(2021•江苏南京市)如图，小GB,〃C,/rUE是五边形AB8E的外接圆的切线，则

ZBAF+NCBG+ZDCH+NEDI+ZAEJ=°.

【答案】180。

【分析】

由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半.

【详解】

如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，

则ZOAB+NOBC+ZOCD+AODE+ZOE4

=AOBA+NOCB+ZODC+ZOED+ZOAE

=-(5-2)xl80°=270°

ZBAF+ZCBG+NDCH+ZEDI+ZAEJ

=5x90°-(NOAB+NOBC+ZOCD+NODE+ZOE4)

=450°-270°

=180°.

故答案为：180。.

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式（"-2）x180。"为多边形的边数），由半径相等可得”等边对等角”,

正确的理解题意作出图形是解题的关键.

12.（2021•江苏徐州市）如图，A8是OO的直径，点C、。在。。上，若NADC=58。，则4AC=

【答案】32

【分析】

由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90。然后根据三角形内角和即可求出ZB4C的度数.

【详解】

ZADC=58°,

：.ZABC=ZADC=5S°,

又「AB是直径，

ZACB=90°,

ZBAC=90°-58°=32°.

故答案为：32.

【点睛】

此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径

所对圆周角的性质.

13.（2021•江苏连云港市）如图，正方形A3CO内接于。0,线段在对角线80上运动，若。。的面积为2兀，肱V=l,

则AAMN周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算.

【详解】

如图所示，

(1)N为BD上一动点、,A点关于线段BO的对称点为点C,连接CN,则CN=AN,过A点作CN的平行线AG,

过C点作3。的平行线CG,两平行线相交于点G,AG与3D相交于点M.

-.■CN//MG,NM//CG,

四边形CNMG是平行四边形

MG=CN

MG=AN

则C...AMN=AN+AM+NM=MG+AM+1

(2)找一点V,连接CNL则CW'=AN，，过G点作CN，的平行线MG,连接AAT则

QAMw=4M+AM'+N'M'=AN'+AA7'+CG=AN'+AM'+=4N'+AM'+1.

此时/W+4M+1vAV+AAT+I

•Q<Q

•.JAMN&匕AMN

(1)中AAMN周长取到最小值

•••四边形CMWG是平行四边形

NCNM=ZNMA

■■■四边形ABC£>是正方形

CO=OA,AC±BD

又•••NCNM=ANMA,ZNOC=ZMOA,CO=OA

CNO*AOM(AAS)

ON=OM

XvACABD

ANAM

AAW是等腰三角形

S=7ir=2TT,则圆的半径厂=&,

OM」MN=Lxl=L

222

AM2=r2+OM2=(V2)2+^='

AM=-

2

3

••・。班=5x2+1=4

故选：B.

【点睛】

本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法.关键是要找到AAMN周长取最小值时M、N的位置.

14.（2021•江苏常州市）如图，在R〃ABC中，ZAC8=90。,NC84=30。,AC=1,。是45上一点（点。与点A不

重合）.若在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的三个顶点，则A。长的取值范

围是.

4

【答案】y<AD<2

【分析】

以AQ为直径，作。。与BC相切于点M,连接。M,求出此时AD的长；以A。为直径，作。。，当点Z）与点B

重合时，求出AD的长，进入即可得到答案.

【详解】

解：以为直径，作。。与8C相切于点M,连接OM,则0ML8C,此时，在此△回（7的直角边上存在3个不同

的点分别和点A、。成为直角三角形，如图，

*/在RsABC中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,

：.AB=2,

.o-ano_OM_1

•・sin30=------=一,

OB2

设OM=x,贝ijAO=x,

24

.•.AQ=2x—二一,

33

以AO为直径，作。。，当点。与点8重合时，如图，此时A氏A8=2,

・・・在心6c的直角边上存在4个不同的点分别和点A、。成为直角三角形的三个顶点，则4。长的取值范围是：-

3

<AD<2.

,4

故答案是：y<AD<2.

【点睛】

本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键.

15.（2021•江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段5c=2,使用作图工具作N8AC=30。，尝试操作后思考：

（1）这样的点4唯一吗？

（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦，，学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点8、C除外），....小

华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

图1图2备用图

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；

②AA8c面积的最大值为；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A,

请你利用图1证明ZBA,C>30°；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形A3C。的边长A3=2,BC=3,点、P

4

在直线的左侧，且tanZDPC=§.

①线段P8长的最小值为；

2

②若5/8=3$,。，则线段长为-

【答案】（1）①2；②6+2;（2）见解析；（3）①同一5；②述

44

【分析】

（1）①设。为圆心，连接BO,CO,根据圆周角定理得到NBOC=60。，证明△OBC是等边三角形，可得半径；

②过点。作BC的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于。，以2c为底，则当A与。重合时，△ABC的面积最大，

求出。£,根据三角形面积公式计算即可；

（2）延长交圆于点D,连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；

（3）①根据tanZDPC=；,连接P。，设点。为尸。中点，以点。为圆心，为半径画圆，可得点P在优弧

CPD±,连接8Q,与圆。交于P,可得8p即为8P的最小值，再计算出BQ和圆。的半径，相减即可得到BP；

②根据AO,CD和5/6=三5.枚,推出点P在/ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CFLPO,垂足

为F,解直角三角形即可求出QP.

【详解】

解：(1)①设。为圆心，连接B。，CO,

'：NBAC=30。,

ZBOC=60°,又OB=OC,

:.△OBC是等边三角形，

0B=0C=BC=2,即半径为2；

②；△ABC以为底边，BC=2,

，当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，

如图，过点。作BC的垂线，垂足为E,延长E0,交圆于

：.BE=CE=l,DO=BO=2,

OE-yjBO2-BE2-6，

：.DE=45+2,

.♦.△ABC的最大面积为:X2X(&+2)=6+2；

(2)如图，延长84,交圆于点。，连接C£),

•.•点。在圆上,

：.ZBDC=ZBAC,

'：ZBA'C=ZBDC+ZA'CD,

：.NBA'C>NBDC,

：.ZBA'C>ZBAC,即NBA'C>30°：

图1

3

(3)①如图，当点P在8C上，且「。二不时，

2

VZPCD=90°,AB=CD=29AD=BC=3f

CD4

.\tanADPC=-=-,为定值，

连接PD，设点。为P。中点，以点Q为圆心，/?。为半径画圆，

4

.••当点P在优弧CPD上时，加连接8Q,与圆。交于产,

此时BP即为8P的最小值，过点。作QELBE,垂足为E,

•••点Q是中点，

.•.点E为PC中点，即QE=；C£>=1,PE=CE=^PC=-,

224

39

：.BE=BC-CE=3--=一,

44

BQ=yjBE2+QE2=,

,**PD=^IcD2+PC2=|，

...圆Q的半径为=

_2

②•AD=3fCD=2,S“pcD=-S#AD,

CD2

贝niUl——一

AD3

・•・^XPAD中AD边上的高二△PCD中CD边上的高,

即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，

则点P到AQ和CD的距离相等，即点尸在/AOC的平分线上，如图,

过点。作尸。，垂足为凡

;尸。平分NAQC,

・•・ZADP=ZCDP=45°,

•••△CQ/为等腰直角三角形，又CQ=2,

2厂

ACF=DF==>/2,

CF4

•*tanNDPC—=一,

PF3

・•小号

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三

角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹.

三、圆的切线

16.（2021•江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8,5）,OA与x轴相切，点尸在y轴正半

轴上，尸8与。A相切于点B.若NAPB=30。,则点P的坐标为—.

【答案】（0,11）.

【分析】

连接AB,作AOLx轴，轴，根据题意和30。直角三角形的性质求出A尸的长度，然后由圆和矩形的性质，根

据勾股定理求出OC的长度，即可求出点尸的坐标.

【详解】

如下图所示，连接A3,作AO_Lx轴，AC_Ly轴，

•・・尸5与。A相切于点5

：.ABVPB,

VZAPB=30°fABLPB,

AB4=2AB=2x5=10.

・.・NO=90°,ZOC4=90°,ZADO=90°,

・・・四边形AC。。是矩形，

点A的坐标为（8,5）,

所以AC=OO=8,CO=AD=5,

在Rtz\PAC中，PC=JPA2-AC。=Ji。?一6=6.

如图，当点尸在C点上方时，

...点P的坐标为（0,11）.

【点睛】

此题考查了勾股定理，30。角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.

17.（2021•江苏南京市）如图，已知P是。。外一点.用两种不同的方法过点尸作。。的一条切线.要求:

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【答案】答案见解析.

【分析】

方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A,再以点A为圆心，以长为半径画弧，交。。于点。，连结产。,

PQ即为所求.

方法二：作出以0P为底边的等腰三角形BP。，再作出NOBP的角平分线交0P于点A,再以点A为圆心，胆长

为半径画弧，交于点Q,连结PQ,PQ即为所求.

【详解】

作法：连结P0,分别以P、。为圆心，大于gpo的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交P0于点A；以点A

为圆心，出长为半径画弧，交。。于点Q,连结PQ,PQ即为所求.

作法：连结P0,分别以P、。为圆心，以大于义?。的长度为半径画弧交上方于点B,连结BP、80；以点B

为圆心，任意长为半径画弧交8P、B0于C、。两点，分别以于C、。两点为圆心，大于gc。的长度为半径画弧

交于一点，连结该点与8点，并将其反向延长交PQ于点A,以点A为圆心，以长为半径画弧，交。。于点。，连

结PQ,P。即为所求.

【点睛】

本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点.复

杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图.解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

18.（2021•江苏南通市）如图，43为。。的直径，C为。。上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂

足为力，ZCAD=35°,连接BC.

D

（1）求£>8的度数;

(2)若A3=2,求EC的长.

【答案】（1）55°；（2）—.

1O

【分析】

（1）连接0C,如图，利用切线的性质得到OCLC。，则判断OC〃AE,所以/D4C=/OC4,然后利用/OCA=/OAC

得到N0A8的度数，即可求解；

（2）利用（1）的结论先求得/AEO=NEAO=70。，再平行线的性质求得/COE=70。，然后利用弧长公式求解即可.

【详解】

解：（1）连接0C,如图，

•.,C£>是。。的切线，

OCLCD,

'：AE±CD,

：.OC//AE,

：.ZDAC=ZOCA,

VOA=OC,NC4O=35°,

NO4C=NOC4=NCAA>35。,

为。。的直径，

ZACB=90°,

：.NB=90°-NOAC=55°；

(2)连接。E,OC,如图,

D

由（1）得N£4O=N04C+NC4O=7O。,

U：OA=OE,

：.NAE0=NEA0=7。。,

OC//AE9

：.ZCOE=ZAEO=10°f

：.AB=2f则OC=OE=1,

,,..、］nnr70兀7万

EC的长为丽=W

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

19.(2021•江苏盐城市)如图，。为线段尸8上一点，以。为圆心OB长为半径的。。交尸B于点A,点C在。。上,

连接PC,满足PC?=尸4PB.

(1)求证：PC是。。的切线；

AT

(2)若AB=3PA,求工厂的值•

DC

【答案】(1)见解析；(2)g

【分析】

(1)连接OC,把PC、转化为比例式，利用三角形相似证明NPCO=90。即可;

(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可.

【详解】

(1)证明：连接OC

■:PC?=PA.PB

•.•PC——PB•

PAPC

又YNP二NP,

:・APACS4PCB

:.NPAC=/PCB,ZPCA=ZPBC

■:ZPCO=ZPCB-AOCB

・・・ZPCO=ZPAC-ZOCB

XVOC=OB

:.ZOCB=ZOBC

：.ZPCO=ZPAC-ZABC=ZACB

已知C是。。上的点，AB是直径，

・・・ZACB=90。，

・・・ZPCO=90°

:.ACLPO,

・・・PC是圆的切线；

(2)设AP=a,则AB=3〃，r=\.5a

：.OC=l.5a

在Rt△PCO中

OP=2.5a,OC=L5。，

:.PC=2a

已知APACS八PCB,

ACPA

~BC~~PC

.AC1

•・---=一.

BC2

【点睛】

本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的

判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键.

20.(2021•江苏无锡市)如图，四边形A3C。内接于。0,AC是。。的直径，AC与BD交于点、E,尸8切。。于点

B.

C

D

PB

(1)求证：/PBA=/OBC；

(2)若？PBA20?,ZACD=40°,求证：NOfiSKCDE.

【答案】(1)见详解；(2)见详解

【分析】

(1)由圆周角定理的推论，可知NA8C=90。，由切线的性质可知NO8P=90。，进而即可得到结论；

(2)先推出NOCB=NOBC=20。，从而得乙408=40。，继而得/。45=70。，再推出NCOE=70。，进而即可得到结

论.

【详解】

证明：(1);AC是。。的直径，

工NA8O90。，

・・・相切。0于点3,

NOBP=90。,

:.ZPBA+ZABO=NOBC+ZABO=90。,

:.APBA=/OBC；

(2)•：?PBA20?,4PBA=/OBC,

・•・ZOBC=20°f

,?OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=20°,

：.ZAOB=20°+20°=40°,

,/OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA=(180°-40°)-?2=70°,

ZADB=^N4OB=20。，

・・・AC是。。的直径，

JZADC=90°,

・•・ZCDE=90°-20°=70°,

：.ZCDE=ZOAB1

*.<NACO=40。，

/.ZACD=ZAOB=40°,

：.VOAB^VCDE.

【点睛】

本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质

定理，是解题的关键.

21.(2021.江苏宿迁市)如图，在R/AAOB中，NAOB=90。，以点。为圆心，OA为半径的圆交48于点C,点。

在边08上，且CD=8Z).

(1)判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；

24

(2)已知tanNDOC=—,48=40,求0。的半径.

7

【答案】(1)直线CO与圆。相切，理由见解析；(2)4正.

【分析】

(1)连接。C，证明NOC8+NOCA=90。,可得NO8=90。，从而可得答案；

(2)由OC,CO,tanZDOC==CD=兰24，设CO=24x,则OC=7x,再求解OD=25x,OA=7x,再表示

OC7

OB=OD+BD=^x,再利用AO2+BO2=AB2,列方程解方程，可得答案.

【详解】

解：（1）直线CD与圆。相切，理由如下:

如图，连接oc,

•.•ZAOB=90°,OA=OC,

ZB+ZOAC=90。,/OAC=ZOCA,

•;CD=BD,

NB=NDCB,

A

"CB+NOC4=90°,

/.ZOCD=180°-90°=90°,

OC.LCD,

・・・oc为。。的半径，

・•.8是。。的切线.

CD24

(2)vOC1CD,tanZDOC=—=—,

OC7

设C£>=24x则OC=7x,

:.OD=^OC2+CDr=25x,OA=OC=lx.

・・・CD=BD,

BD=24x,

OB=OD+BD=49x,

・.・A8=40,NA08=90°,

AO2+BO2=AB\

.,.（7x）2+（49x）2=402,

」=必，

49

二%=迪,占=-逆（负根舍去）

1727

，。。的半径为：OC=7x=7x—=4A/2.

7

【点睛】

本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解

法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键.

22.（2021.江苏苏州市）如图，四边形A8CO内接于OO,Z1=Z2,延长8c到点E,使得CE=AB,连接EO.

（1）求证：BD=ED；

（2）若AB=4,BC=6,ZABC=60°,求tanZDCB的值.

【答案】（1）见解析；（2）以

3

【分析】

(1)由圆内接四边形的性质可知NA+N5CD=180。，再由N3CE+/BCD=180。，即可得出NA=N0CE.根据圆

周角定理结合题意可知AZ)=8，即得出4)=8.由此易证即得出如=££>.

(2)过点。作。W_L8£,垂足为M.根据题意可求出8E=10,结合(1)可知=EM=；8E=5,即可求出

CM=\.根据题意又可求出Z2=30°，利用三角函数即可求出DM=巫,最后再利用三角函数即可求出最后结果.

3

【详解】

(1)证明：:四边形A3C。是圆的内接四边形，

AZA+ZBCD=180°.

VZDCE+ZBCD=180°,

：・ZA=/DCE.

VZ1=Z2,

•*-AD=CD，

：.AD=CD.

AB=CE

在△ABQ和△C£D中，,乙4=NQCE

AD=CD

：./XABD//XCED(SAS),

:.BD=ED.

(2)解：如图，过点。作垂足为M.

■:BC=6,AB=CE=4f

：.BE=BC+CE=lb.

由（1）知BD=ED.

：.BM=EM=-BE=5.

2

：.CM=BC-BM=1.

VZABC=60°,Z1=Z2,

・•・Z2=30°.

/.DM=BM-tan30°=5x—=—.

33

•*/n「n_DM_56

••tan/DCB=--------•

CM3

【点睛】

本题为圆的综合题.考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质

以及解直角三角形.利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键.

23.(2021•江苏扬州市)如图，四边形A3CZ)中，AD//BC,ZBAD=90°,CB=CD,连接30,以点B为圆心，BA

长为半径作0B,交BD于点E.

(1)试判断CD与。8的位置关系，并说明理由；

(2)若A5=2G，ZBCD=60°,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)相切，理由见解析；(2)2△-兀

【分析】

(1)过点B作BF_LCC,证明△ABD^/XFBD,得到BF=BA,即可证明C。与圆8相切；

(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到NABO=30。，求出40,再利用SAABO-S1MABE求出阴影部分

面积.

【详解】

解：(1)过点8作8凡LCD,

'JAD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

'：CB=CD,

：.NCBD=NCDB,

:./ADB=NCDB,又BD=BD,ZBAD=ZBFD=90°,

:.△ABD34FBD(A4S),

：.BF=BA,则点F在圆B上，

.•.C£＞与圆B相切；

AD

•♦•△5CO是等边三角形，

I.ZCBD=60°

VBF1CD,

ZABD=ZDBF=ZCBF=30°,

・・・ZABF=60°,

■:AB=BF=26,

/.AD=DF=ABtan30°=2,

・•・阴影部分的面积二A8Q-S处形AB£

i厂30x/rxQ国

=26-兀.

【点睛】

本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目

的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线.

24.(2021•江苏连云港市)如图，RsABC中，ZABC=90°,以点C为圆心，CB为半径作G)C,。为G)C上一点，

连接A。、CD,AB=AD,AC平分

(1)求证：AD是。C的切线；

(2)延长A。、BC相交于点E,若，皿=2S“BC，求tan/fi4c的值.

AB

【答案】（1）见解析；（2）也

2

【分析】

（1）利用SAS证明ABACgAZXC,可得NA0C=NA6C=90。，即可得证；

（2）由已知条件可得AEDCSA£BA,可得出OC：BA=1:播，进而得出C8:BA=1:也即可求得tan/BAC；

【详解】

（1）・.・AC平分44£>,

：.ABAC=ADAC.

VAB=AD,AC=AC,

：.ABAC丝AZMC.

:.ZADC=ZABC=90°.

:.CDLAD,

JAO是OC的切线.

（2）由（1）可知，ZEDC=ZABC=90°,

又NE=ZE,

:.AEDC^AEBA.

:S^EDC=2sM，且=ADAC,

•・,q即C•■q—AEBA-1—-19•4,

DC:BA=T:日

;DC=CB,

CB:BA=1:亚.

ZABC=90°

•,CB夜

••tan乙BAC=—=—

BA2

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键.

25.（2021•江苏泰州市）如图，在。。中，AB为直径，尸为AB上一点，PA=\,PB=m（抗为常数，且%>0）.过

点P的弦CDJ_4B,。为BC上一