专题4-1任意角与弧度制三角函数的概念6大考点（原卷版）

专题4-1任意角与弧度制、三角函数的概念6大考点知识点一任意角的定义1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。2、角的表示：（1）始边：射线的起始位置．（2）终边：射线的终止位置．（3）顶点：射线的端点O．（4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”．3、角的分类：（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角知识点二象限角与轴线角1、象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角2、轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。角的终边位置集合表示轴的非负半轴轴的非正半轴轴上轴非负半轴轴非正半轴轴上知识点三角度制与弧度制1、角度制与弧度制的定义（1）规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.（2）弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.（3）弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.2、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数3、一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0知识点四弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积知识点五三角函数的定义与符号1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。【补充】三角函数另一种定义设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．一、确定角终边所在象限的方法法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。考点一终边相同的角的表示【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．第二象限角大于第一象限角B．若，则为第一或第二象限角C．钝角一定是第二象限角D．三角形的内角是第一或第二象限角【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）与终边相同的最小正角是.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线上的角的集合为（）A．B．C．D．【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A．B．C．D．考点二根据已知角确定某角的范围【例2】（2023·全国·高三专题练习）若是第四象限角，则是第（）象限角A．一B．二C．三D．四【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则90º－α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若，则的终边在（

）A．第二或第三象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若为第一象限角，则的终边所在的象限可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点三等分角与倍角的象限问题【例3】（2022·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）若是钝角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点四扇形弧长与面积公式【例4】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．B．C．3D．【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023·贵州贵阳·校联考三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（）

A．B．C．D．【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A．B．C．D．考点五三角函数的定义及应用【例5】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则.【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．1【变式5-3】（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为．【变式5-4】（2023·河北·秦皇岛一中校考二模）（多选）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（）A．B．1C．0D．2【变式5-5】（2023·全国·高三专题练习）已知点是角终边上一点，则的值为（）A．B．C．D．考点六判断三角函数的符号【例6】（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）点在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则角的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式6-3】（2023秋