2021年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷（解析版）

2021年天津市津南区东部学区中考数学联考试卷

一、选择题（共12小题）.

1.cos30°的值是（）

A.1B.返C.—D.返

222

2.下列四组图形中，一定相似的是（

A.正方形与矩形B.正方形与菱形

C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形

3.如图，在RtZXABC中，/C=90°,BC=4,AC=3,则sin8的值为（

CE=AF

BE-AD

5.ZVIBC与△QEF的相似比为1：3,则AABC和△£>£：厂的面积比为（）

A.1：73B.73：1C.9：1D.1：9

6.如图，在△ABC中，AB=3AD,DE//BC,EF//AB,若AB=9,DE=2,则线段尸C的

长度是（）

A.6B.5C.4D.3

7.AABC中，若NC=90°,BC=2,sinA=^-,则AB的值是（）

A.2B.4C.6D.8

8.如图,AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC=6米，ZACB=50Q,则拉线AC的长为（）

A..2k米B.6-cos500米C.-米D.—工一米

sm50tan50cos50

9.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）

A.—B.返C.返D.返

2223

4

10.如图，尸是Na的边0A上一点，且点尸的横坐标为3,sina==,则tana=（）

5

11.如图，在△4BC中，3c=120,高AO=60,正方形EFG"一边在3c上，点£/分

别在AB,AC上，AD交EF于点、N,则AN的长为（）

A.15B.20C.25D.30

12.如图所示，D、E分别是△A8C的边A8、8C上的点，HDE//AC,AE,相交于点

O.若SMOK：SMOA=4：25,则与的比是()

C.2：3D.2：5

二、填空题(共6小题)・

13.如图，在△4BC中，若DE〃BC,患=］，DE=4,则8c的长是

14.如果两个相似三角形的周长的比等于1：3,那么它们对应高的比为.

15.已知△A8C的三个顶点坐标为A(5,0)、B(6,4)、C(3,0),将△ABC以坐标

原点。为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标

为.

16.如图，RtZ^ABC中，/ACB=90°,CD1AB,A£>=4,BD=2,则CD的长为.

17.如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地

面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米.

18.如图，在等边AABC中，。为3c边上一点，E为AC边上一点，且NAZ)E=60°,BD

=3,CE=2,则AB的长为

E

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

19.计算下列各式的值：

(1)sin45°cos60°-cos45°.

(2)COS245°+tan60°cos300.

20.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,ZB=30°,解这个直角三角形.

21.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点4,再在河的这一边选定点B和

点C,使得A8_LBC,然后选定点E,使EC_LBC,确定8C与4E的交点为。，若测得

BD=180m,DC=60m,EC=50m,你能知道小河的宽是多少吗？

E

22.如图，RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=10,AC=6,D是BC上一点,BD=5,DE_LAB,

垂足为E,求线段OE的长.

23.如图，/XABC中，CQ是边AB上的高，且黑*=黑

CDBD

(1)求证：MACDsXCBD：

(2)求/ACS的大小.

24.如图，在△ABC中，ZB=90",AB=4,BC=2,以AC为边作△ACE,/4CE=90°,

AC=CE,延长BC至点。，使CQ=5,连接OE.求证：△ABCs^CED

25.如图，一枚运载火箭从距雷达站C处的地面。处发射，当火箭到达点A,8时:

在雷达站C处测得点A,8的仰角分别为34°,45°,其中点0,4,8在同一条直线上.求

AC和48的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34。-0.56；cos34。M）.83；

tan34°七0.67）

26.小明上学途中要经过A,B两地，由于A,B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC,

CB,如图，在△ABC中，AB=63m,ZA=45°,NB=37°,求AC,C8的长.（结果

保留小数点后一位）

参考数据：sin37°g0.60,cos37°七0.80,tan37°々0.75,我取1.414.

'B

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.cos30°的值是（）

A.1B.返

D.亨

_2

解：cos30°=返.

2

故选：B.

2.下列四组图形中，一定相似的是（

A.正方形与矩形B.正方形与菱形

C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形

解：A、正方形与矩形，对应角相等,对应边不一定成比例，故不符合题意;

8、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题

尼、；

C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；

。、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题

意.

故选：D.

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,则sinB的值为（）

【分析】先利用勾股定理计算出AS然后根据正弦的定义求解.

解：VZC=90°,BC=4,AC=3,

.*.AB=^32+42=5,

故选：B.

4.如图，已知AB〃CZ）〃EF,那么下列结论中正确的是（）

CE=AF

BE-AD

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可.

解：'：AB//CD//EF,

.ADBC

=A错误;

**AF-BE

BCAD

=B错误;

EC-DF

AD=BC

AF-BE

.ADAF

=C正确;

CEDF

=。错误,

BE-AF

故选：C.

5.△ABC与的相似比为1：3,则△ABC和△£>£：尸的面积比为（）

A.1：如B.«：1C.9：1D.1：9

【分析】由相似AABC与△DEF的相似比为1：3,根据相似三角形面积的比等于相似比

的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比.

解：：相似△ABC与的相似比为I：3,

...△A8C与△〃£下的面积比为1：9.

故选：

6.如图，在△ABC中，AB=3A。，DE//BC,EF//AB,若AB=9,DE=2,则线段尸C的

长度是（）

A.6B.5C.4D.3

解：*：DE//BC

：.AADE^/\ABC

；・AD：AB=DE：BC

Al：3=2：BC

：.BC=6

•:DE〃BC,EF//AB

・・・四边形BDEF为平行四边形

:,BF=DE=2

：.FC=BC-BF=6-2=4

故选：C.

7."BC中，若/C=90°,BC=2,sinA==,则AB的值是（）

o

A.2B.4C.6D.8

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

解：,：BC=2,sinA=2=4^，

3AB

•.•2-~_1，

AB3

：.AB=6,

故选：C.

8.如图,AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC=6米，ZACB=50°,则拉线AC的长为（）

A.-.-Jk米B.6-cos500米C.―■米D.-米

smbutanbOcosou

解：在RtZXABC中,

-B--C-=cos50,

AC

,.・3C=6米，

•AC=___-___

cos50。’

故选：D.

9.在正方形网格中，AABC的位置如图所示，则cosB的值为（）

C.亨D・亨

【分析】先设小正方形的边长为1,然后找个与有关的RtZ\AB。，算出AB的长，再

求出8。的长，即可求出余弦值.

解：设小正方形的边长为1,则AB=4&,BD=4,

.*.cosZB=—7==^-.

4V22

A

10.如图，P是Na的边。4上一点，且点尸的横坐标为3,sina==,贝ljtana=（)

5

【分析】先由sina=^=称求得尸。=4,OP=5,再根据正切函数的定义求解可得.

Ur5

解：如图,

po4

由sina=K^=M可设PQ=4mOP=5a,

Or5

,.,OQ=3,

・,•由Od+P^nOP2可得32+(4a)2=(5a)

解得：〃=1(负值舍去)，

・・・PQ=4,。尸=5,

故选：C.

11.如图，在△ABC中，BC=120,高AO=60,正方形EFG”一边在上，点£F分

别在AB,AC上，AD交EF于点、N,则AN的长为（）

A.15B.20C.25D.30

解：设正方形EFGH的边长

・・•四边形EFG”是正方形,

:・NHEF=/EHG=90°,EF//BC,

：.AAEF^AABC,

YA。是△ABC的高，

AZHDN=90Q,

・・・四边形是矩形,

:,DN=EH=x,

VAAEF^AABG

,ANEF

=（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）

AD-BC

V5C=120,AO=60,

.•・4N=60-x,

.60-x_x

60-l20：

解得：x=40,

，AN=60-x=60-40=20.

故选：B.

12.如图所示，D、E分别是△ABC的边A8、BC上的点，KDE//AC,CD相交于点

A.1：2B.1：3C.2：3D.2

【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可.

解：-：DE//AC,

：./\DEO^/\CAO,

.：SADOE：SACOA=4：25,

.,DE、2_4

-（AC）=南

.些=2

•JDE//AC,

.BEDE^2

"BC-=AC-7"

.BE2

"EC-=7'

•'•SABDE与SACDE的比=2：3,

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.如图，在△ABC中，岩DEHBC,舞'=母，DE=4,则8c的长是

DB3

【分析】因为。E〃8C,可利用平行线分线段成比例定理求出8c的长.

解：-：DE//BC,

.DEAD

▽AD_2

=

又1BDT

•.•-A-D--_-2-,

AB5

.4_2

♦*，

BC5

BC=lOcw.

故答案为：1（km.

14.如果两个相似三角形的周长的比等于1：3,那么它们对应高的比为1：3

解：•.•两个相似三角形的周长比为1：3,

二两个相似三角形的相似比为1：3,

...对应高线的比为：1：3,

故答案为：1：3.

15.已知△ABC的三个顶点坐标为A（5,0）、8（6,4）、C（3,0）,将aABC以坐标

原点。为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为（3,

2）或（-3,-2）.

解：•••点B的坐标为（6,4）,以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1,

.♦.点8的对应点的坐标为（3,2）或（-3,-2）,

故答案为：（3,2）或（-3,-2）.

16.如图，RtZXABC中，ZACB=90°,CD1AB,AD=4,BD=2,则CD的长为2b.

【分析】根据射影定理列式计算即可.

解：VZACB=90°,CD±AB,AD=4,BD=2,

.,.C02=AO・BO=2X4=8,

:.CD=2尬,

故答案为：2j^.

17.如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地

面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米.

【分析】根据CD〃A8,得出进而得出比例式求出即可.

解：由题意知，CE=2米，C£>=1.8米，8C=8米，CD//AB,

则BE=BC+CE=10米,

•：CD//AB,

:AECDSAEBA

.CDCEHn1.82

ABBEAB10

解得4B=9（米），

即路灯的高AB为9米；

故答案为：9.

18.如图，在等边△ABC中，。为8c边上一点，E为AC边上一点，且NAQE=60°,BD

=3,CE=2,则AB的长为9.

【分析】由/ADE=60°,可证得△ABDsZ\£）CE；可用等边三角形的边长表示出DC

的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得AABC的边长.

解：；AABC是等边三角形，

.".ZB=ZC=60°,AB=BC；

:.CD=BC-BD=AB-3；

：.ZBAD+ZADB=12Qa,

VZADE=6O°,

：.ZADB+ZEDC=120°,

；.NDAB=NEDC,

又：NB=/C=6(r,

:.△ABDSXDCE；

.AB_BD

"CD"CE'

即-^-=-3,

AB-32

解得4B=9.

故答案为：9.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.计算下列各式的值：

(1)sin45°cos60°-cos45°.

(2)COS2450+tan600cos30°.

【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可.

解：（1）sin450cos600-cos450=返><工-返=-返；

2224

（2）COS2450+tan60°cos30°=?+V3x-IH--=2.

2~222

20.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,ZB=30°,解这个直角三角形.

【分析】先求/A,利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边.

解：：/C=90°,NB=30°,

：.ZA=60°.

....BC.BC

,tanA=~.

即返=五，a①

2ABvAC

AC=J^~.

33

21.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点B和

点C,使得ABLBC,然后选定点E,使ECL8C,确定BC与AE的交点为。，若测得

BD^lSOm,DC60m,EC=50，〃，你能知道小河的宽是多少吗？

E

【分析】先证明△ABOSAEC。，利用对应边成比例可求出AB的长度.

解：由己知得，NABD=NDCE=90°,NADB=NCDE,

：.^ABD^/XECD,

.AB=BD

•♦而一记’

将80=180〃?，DC—60m,EC=50m,代入可得：'Q,

5060

解得：48=150.

答：小河的宽是150m.

22.如图，RtZSABC中，ZC=90°,A8=10,AC=6,D是BC上一点、,BD=5,DE±AB,

垂足为E，求线段。E的长.

【分析】由垂直的定义得到NOE8=90°,证明△BEOsaBCA,根据相似三角形的性

质即可得到结论.

解：'：DELAB,

AZDEB=90°,

：.ZC=ZDEB,

；NB=NB,

:.丛BEDs/\BCA,

.DE_BD

"AC"AB'

gpDE_=_L)

610

：.DE=3.

23.如图，ZXABC中，CQ是边AB上的高，且着>=黑

CDBD

(1)求证：△AC£>sZ\c8£)；

(2)求/ACB的大小.

【分析】(1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△4C£>s^CB£)；

(2)由(1)知△ACOsacB。，然后根据相似三角形的对应角相等可得：ZA=ZBCD,

然后由/A+NACD=90°,可得：ZBCD+ZACD^90°,即/ACB=90°.

【解答】(1)证明：是边AB上的高，

AZADC=ZCDB=90a,

..AD=CD

'CD-BD'

：./\ACD^/\CBDi

(2)解：,:△kCDs"C8D,

：.ZA=ZBCD,

在△AC。中，/A£)C=90°,

：.ZA+ZACD=90°,

：.ZBCD+ZACD=90°,

即NACB=90°.

24.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,以AC为边作△ACE,ZAC£=90°,

AC=CE,延长8c至点£),使CD=5,连接£>E.求证：△A8Cs/\CE£).

【分析】先利用勾股定理计算出4c=2泥，则CE=2遥，所以黑=黑，再证明NBAC

CECD

=NDCE.然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABCS^CED

【解答】证明：•.•/B=90°,A8=4,BC=2,

，AC=+42=2遍,

\"CE=AC,

:.CE=2疾,

；8=5,

,.AB_4_2A/5AC_275

*CE-2V5―-5-1CDS-'

.ABAC

，，CE-CD，

VZB=90°,NACE=90°,

：.ZBAC+ZBCA=90a,ZBCA+ZDCE=90°.

：.ZBAC=ZDCE.

：./\ABC^/\CED.

25.如图，一枚运载火箭从距雷达站C处的地面。处发射，当火箭到达点A,B时，

在雷达站C处测得点A,8的仰角分别为34°,45。，其中点0,48在同