第七节 方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度第1页，课件共17页，创作于2023年2月上页下页返回结束1.讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率本节主题:问题．2.函数在点P沿哪一方向增加的速度最快?(方向导数)(梯度)第2页，课件共17页，创作于2023年2月上页下页返回结束内有定义，的某一邻域在点设函数点,且为l上的另一设射线l的方向角为α,β,

一、方向导数的定义与计算过P引射线l(如图).记第3页，课件共17页，创作于2023年2月当沿着趋于时，反映的是z=f(x,y)在点P沿方向l的变化率.上页下页返回结束这个比值刻画的是z=f(x,y)沿方向l的平均变化率.极限第4页，课件共17页，创作于2023年2月记为上页下页返回结束存在，则称此极限为函数在点P沿方向l的方向导数．如果极限定义

,即显然。fx表示的是函数z=f(x,y)在点P沿x轴正向的方向导数，fy表示的是函数z=f(x,y)在点P沿y轴正向的方向导数.而函数z=f(x,y)在点P沿x轴与y轴负向的方向导数分别是－fx，－

fy.第5页，课件共17页，创作于2023年2月证明：由于函数z=f(x,y)点P(x,y)可微，两边同除以得到上页下页返回结束定理

z=f(x,y)在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且

其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微，则所以函数在点P(x,y)的增量第6页，课件共17页，创作于2023年2月因此，方向导数上页下页返回结束第7页，课件共17页，创作于2023年2月推广:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,且若三元函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)可微,为l的方向角.上页下页返回结束其中第8页，课件共17页，创作于2023年2月在点

P(1,1,1)

沿从点P(1,1,1)解：上页下页返回结束到点Q(2,3,3)方向的方向导数。本题的方向是例1.求函数第9页，课件共17页，创作于2023年2月解：上页下页返回结束例2.求函数z=xy在点处沿方向

的方向导数.且问α为何值时，这点的方向导数达到最

大？α为何值时，这点的方向导数达到最小？所以，方向导数达到最大.方向导数达到最小.第10页，课件共17页，创作于2023年2月二、梯度的概念与计算上页下页返回结束定义

设函数),(yxfz=在平面区域D内具有一阶连续偏导数，DyxPÎ),(,称向量jyfixfrr¶¶+¶¶

则对每一点为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记为gradf(x,y).gradf(x,y)即：第11页，课件共17页，创作于2023年2月上页下页返回结束

为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度,记为gradf(x,y,z).gradf(x,y,z)即：推广:若三元函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对每一点P(x,y,z)ÎG,称向量第12页，课件共17页，创作于2023年2月解:由梯度计算公式得故上页下页返回结束例3.求函数

在点(1,1,2)

处的梯度.

第13页，课件共17页，创作于2023年2月上页下页返回结束梯度与方向导数的关系：

（以二元函数为例）设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微，是方向l上的单位向量,则其中)),((,eyxgradfr=q为梯度向量与方向l的夹角.lf¶¶有最大值当1)),,(cos(=eyxgradfr时，

即时，,e0),(=yxgradfr第14页，课件共17页，创作于2023年2月上页下页返回结束二元函数：

结论：（1）函数在某点的梯度gradf是一个向量，gradf(x,y)三元函数：gradf(x,y,z)（2）梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的方向.（3）梯度的模等于方向导数的最大值.第15页，课件共17页，创作于2023年2月内容小结1.方向导数•

二元函数

在点的方向导数为沿方向

l(方向角为上页下页返回结束•

三元函数

在点处沿方向

l

(方向角的方向导数为第16页，课件共17页，创作于2023年2月2.梯度•二元函数

在点处的梯度