2022中考模拟分类汇编综合型问题

一、选择题1.（2022年北京四中中考全真模拟15）2001年7月13日，北京市获得了第29届运动会的主办权，这一天是星期五，那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是星期()B.3C.5D.日答案：D1、（2022年浙江杭州二模）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（）AGBHCFDE第1题A．6AGBHCFDE第1题答案：C2、（2022年浙江杭州七模）下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③若关于的方程的解是负数，则m的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C二、填空题1.（2022年北京四中中考全真模拟15）从甲站到乙站有两种走法。从乙站到丙站有三种走法。从乙站到丙站有______种走法。A.4B.5C答案：C2.（2022年北京四中中考全真模拟15）一个窗户被装饰布档住一部分，其中窗户的长与宽之间比为3:2装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是,这个窗口未被遮挡部分的面积为__________。答案：3.（2022年北京四中中考全真模拟16）如图所示，图中共有条线段，共有个长方形。答案：18，9．4.（2022年北京四中中考全真模拟17）如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要_________（单位：mm）(用含x、y、z的代数式表示)答案：2x+4y+6z1、（2022年浙江杭州八模）已知正整数a满足不等式组（为未知数）无解，则函数图象与轴的坐标为答案：三、解答题1、（2022年江苏盐都中考模拟）（本题12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0,8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0<t≤8)秒后，直线PQ交OB于点D.(1)求∠AOB的度数及线段OA的长(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(3)当a=3,OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；(4)当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以说明.解：（1）∠AOB=30°，OA=8；（2分）（2）；（2分）（3)当a=3时，CP=t,OQ=3t,OD=，∴PB=8-t,BD=8由△OQD∽△BPD得,即，∴t=。当t=时，OQ=,同理可求Q().设直线PQ的解析式为y=kx+b,则，∴∴直线PQ的解析式为；（4分）(4)当a=1时，△ODQ∽△OBA,当1<a<3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似，当a=3时，△ODQ∽△OAB理由如下：（1分）若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ即at=t(0<t8),∴a=1,故当a=1时，△ODQ∽△OBA，（1分）②若△ODQ∽△OAB.（Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD.∴,∴,即,∴OD=.∵△ODQ∽△OAB，∴,即.∴，∵，∴此时，不符合题意.∴即时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；（1分）(Ⅱ)当P与B重合时，此时D点也与B点重合.可知此时，t=8,由△ODQ∽△OAB得,∴OB2=OA·OQ,即（8）2=8×8a,∴a=3,符合题意.故当时，△ODQ∽△OAB。（1分）1、（）（本小题满分10分）几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．AAB′PlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1（第23题）P模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．答案：（本小题10分）（1） ………………2分 （2）延长AO交⊙o于点D，连接CD交OB于P则PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD连接ＡＣ，∵ＡＤ为直径，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°……4分在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°・AD=，即PA+PC的最小值为………6分（3）解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接EF交OA，OB于R，Q，则△PRQ的周长为：EF∵OP=OE=OF=10,∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,……8分∵∠AOB=45°,∴∠EOF=90°在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周长最小值为10……10分…2、22)（第24题）（本小题满分（第24题）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动。（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；（2）当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．答案：24、24、（本小题满分12分）（1）因为A、D、O三点在同一条直线上，∵∠ADC＝90°即∠CDO＝90°∴CD是⊙O的切线．2分（2）如图当切点在第二象限时，过点A做AM⊥OB于M,设正方形边长为a,即解得a=42分则A点坐标为2分设yOD=kx可得yOD=同理当切点D在第四象限时，OD所在直线的函数关系式为y＝－eq\f(3,4)x；2分（3）过点D做AN⊥OB于N,因为正方形的面积S=S＝13－5x．2分∵D点在圆上运动，∴－1≤x≤1．∴S的最大值是18，最小值是8．2分3、（2022年北京四中模拟28）已知一次函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点（如图），且与反比例函数的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D。（1）求m、n的值；ABOxy（2）如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且ABOxy△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．答案：解：(1)∵点C（4，n）在的图象上，∴n=6,∴C（4，6）------------1分∵点C（4，6）在的图象上，∴m=3---------------------------1分(2)与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）---------2分ABCDPQHO设AP=CQ=t，∵C（4，6），CD⊥x轴，ABCDPQHO∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A,∴，即或---------2分∴或---------------------------------------------------2分∵点Q在直线上，∴设（-4＜t＜4）-----1分作QH⊥x轴,则AH=x+4∵QH6厘米6厘米6厘米（2022年黄冈市浠水县中考调研试题）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。求直线AC的解析式；设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。答案：解：(1)(2)(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。由AP＝t，可得AE＝.由可得GH＝，所以GC＝GH＝.于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变。当2＜t≤4时，同理可证。综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。2.（2022年北京四中中考全真模拟15）在“仓库世家”游戏中，游戏规则为“只要将所有木箱归位，便可过关，可以左右上下转身，推动木箱只可前进，无法后拉，按8，2，4，6可上下左右移动。数字表示8上移一格2下移一格4左移一格6右移一格（△代表木箱，☆代表木箱应到的目的地，□代表空地，代表墙壁，移动一次只动一个格）其中第一关是如图一设计。移动方案为：→4→8→2→6→6→6→8→8→8。下图为第三关，请你设计出移动方案:方案为：→答案：多种方式，合理即可.3.（2022年北京四中中考全真模拟15）为收回建路成本，更好的保养公路，设立了公路收费站，某兴趣小组对一个收费站通过车辆情况做了调查，数据如下：时间第1分钟第2分钟第3分钟第4分钟第5分钟第7分钟第8分钟第9分钟第10分钟通过车辆数242325222623242524⑴利用上述数据求平均每分钟通过多少车辆，并估计一天通过的车辆数。⑵收费站规定，一辆机动车通过一次原则上收费20元，以保护环境为根本，达到环保指标的减少1元收费，不达标的多收2元，若某天的总收入为y元，通过的达标车辆是不达标车辆的x倍，求x与y之间的函数关系式。此段公路修建花费70万元，收费站每天还要拿出100元用于修建费用，问：x为多少时，收费站能在三年内收回成本。答案：(1）（24+23+……+24）÷9=24一天：24×24×60=34560(2)(3)700000+100×3×365=x≈（倍.4.（2022年北京四中中考全真模拟16）如图，某天晚8点时，一台风中心位于点O正北方向160千米点A处，台风中心以每小时20EQ\R(,2)千米的速度向东南方向移动，在距台风中心小于等于120千米的范围内将受到台风影响，同时在点O有一辆汽车以每小时40千米的速度向东行驶。（1）汽车行驶了多少时间后受到台风的影响？（2）汽车受到台风影响的时间有多少？答案：解：（1）设经过t小时后汽车受到了台风的影响，此时汽车行驶到了点B，台风中心移到点C，则OB=40t,AC=20EQ\R(,2)t，作CP⊥OB于点P，CQ⊥OA于点Q，则AQ=20t,CQ=20t,所以BP=OB-OP=OB-CQ=20t,CP=OQ=OA-AQ=160-20t,由BP2+CP2=BC2，得（20t）2+(160-20t)2=1202,化简得t2-8t+14=0,解得t1=4-EQ\R(,2),t2=4+EQ\R(,2),所以，经过4-EQ\R(,2)小时后，汽车受到台风影响。（2）当t1≤t≤t2时，（20t）2+(160-20t)2≤1202，所以在t1到t2这段时间内，汽车一直受到台风影响，因为∣t1-t2∣=2EQ\R(,2)，所以汽车受台风影响的时间为2EQ\R(,2)小时。5.（2022年北京四中中考全真模拟16）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。答案：中考数学模拟试题（16）参考答案:6.（2022年北京四中中考全真模拟17）答案：解：（1）因为解这个方程组得：或，2）7.（2022年北京四中中考全真模拟17）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。答案：解：（1）DE与半圆O相切.证明：连结OD、BD∵AB是半圆O的直径∴∠BDA=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90°∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC∴Rt△ABD∽Rt△ABC∴EQ\F(AB,AC)=EQ\F(AD,AB)即AB2=AD·AC∴AC=EQ\F(AB2,AD)∵AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根∴解方程x2－10x+24=0得：x1=4x2=6∵AD<AB∴AD=4AB=6∴AC=9在Rt△ABC中，AB=6AC=9∴BC=EQ\R(AC2-AB2)=EQ\R(81-36)=3EQ\R(5)8.（2022年北京四中中考全真模拟17）已知：如图9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△ABC=eq\f(1,2)S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.答案：（1）在RtΔABC中，，又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为，将A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得解得所以（3）略1、（2022年浙江杭州三模）如图是杭州萧山少儿公园局部景点示意图。“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处。问A和C之间相距多少m？A距离B多少m？答案：解：连结AC由题意知，AD⊥BD在Rt△BCD中，BC=60，∠DBC=45o∴BD=∴CD=…2分在Rt△ABD中，∠ABD=60o∴AD=…1分∴AB=…2分∴AC=+…2分答：A和C之间相距+m;A距离Bm。…………1分2、（2022年浙江杭州三模）第2题图COABDN第2题图COABDNMPxy（1）分别写出A、C、D、P的坐标；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。答案：解：（1）C（４，１）、D（3，４）、P（2，2）（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）……………2分当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）……………2分（３）Ｓ＝－ｔ2＋２ｔ（０＜ｔ≤４）………1分Ｓ＝ｔ2－２ｔ（ｔ＞４）………1分当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，Ｓ＝………1分3、（2022年浙江杭州二模）已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；（3）利用图像直接写出当x取何值时，．答案：……2′（1）∵交点纵坐标为4，∴，解得（舍去）……2′-24-42（2，-4）（-2，4）……-24-42（2，-4）（-2，4）……2′（2）…………2′（3）当时，4、（2022年浙江杭州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；APAPBQCM第22题图2APBQCM第22题图1答案：（1）不变。……1′又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)……1′∴∴（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t……2′……2′……2′……2′∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形……1′（3）……1′∴……1′又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)……1′∴又……1′……1′B组46.综合型问题一、选择题1．（2022）下列函数的图象，经过原点的是（）A.B.C. D.答案：A2.（2022）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan∠APB等于（）（09河北中考试题第5题改编）(A)1 (B)(C)(D)答案：A3.（安徽芜湖2022模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）（－1，2）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（2，1）.答案:C4.（浙江杭州金山学校2022模拟）（引九年级模拟试题卷）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（▲）答案：C（第5题③）5、（2022杭州模拟20）给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且随的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④等弧所对的圆周角相等.（第5题③）（A）③④（B）①②③ （C）②④ （D）①②③④答案：A6、（2022年北京四中34模）给出下面四个命题:(1)平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；(2)二次函数，当a<0时y随x的增大而增大；(3)同角的补角相等；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。其中真命题的个数()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C7、（2022年27模）如图，△ABC中，BC=4，以A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于D，交AB于E，交AC于F，P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）。A．B．C．D．答案：B二填空题1．（2022年三门峡实验中学3月模拟）两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是.答案：外切2.（2022）如图，跷跷板AB长为5米的，0为支点，当AO=3米时，坐在A端的人可以将B端的人跷高1米．那么当支点0在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高__________米．(09•宜宾第15题改编)OOCBA答案：3．（2022）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。（08年益阳第20题）答案：y=x2-2x-3,y=-2x-3第1题图4．（2022年深圳二模）如图，M为双曲线y＝上的一点，过点Ｍ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，分别交直线ｙ＝－ｘ＋m于D、C两点，若直线ｙ＝－ｘ＋m与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴相交于点B．则AD·BC的值为．第1题图答案：2ABCDEO第2题5.（ABCDEO第2题三、解答题1．（2022年重庆江津区七校联考）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。答案：∵关于x的方程有两个相等的实数根∴△＝∴∴△ABC是等腰三角形。2．（2022年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；xyBOAxyBOxyBOAxyBOAxxyBOA答案：xyBOADxyBOADC图①xyBOB′DC图②xyBOB′DC图③则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，即，解得.点的坐标为（2）如图②，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即由点在边上，有， 解析式为所求. 当时，随的增大而减小，的取值范围为.（3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有..有，得.在中，设，则.由（2）的结论，得，解得.点的坐标为.3．（2022年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；图1（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；图1图2图2答案：（1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再由△ECP∽△DAP得；（2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=。4．（2022年三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．答案：BM=FN证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°．∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO,∠F=∠BDA∴OB=OF∠OBM=∠OFN在△OMB和△ONF中∴△OBM≌△OFN∴BM=FN5．（2022年安徽省巢湖市七中模拟）．如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．图1图2答案：．⑴解：∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。c得c解这个方程组，得∴此抛物线的解析式为…………(3分)(2)解：①过点B作BN，垂足为N．∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS=…………(5分)在Rt△PNB中．PB2＝∴PB＝PS＝…………(6分)②根据①同理可知BQ＝QR。∴，又∵，∴，同理SBP＝…………(7分)∴∴∴.∴△SBR为直角三角形．…………(8分)MM=3\*GB3③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵，∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。∴。…………(9分)取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……(10分)∴MN为直角梯形SRQP的中位线,∴点M为SR的中点……(11分)当△PSM∽△QRM时，又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM…………(12分)6．（2022安徽中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．(1)求点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解】答案：（[解](1)OA=6，OB=12点C是线段AB的中点，OC=AC作CE⊥x轴于点E．∴OE=eq\f(1,2)OA=3，CE=eq\f(1,2)OB=6．∴点C的坐标为(3，6)(2)作DF⊥x轴于点F△OFD∽△OEC，eq\f(OD,OC)=eq\f(2,3)，于是可求得OF=2，DF=4．∴点D的坐标为(2，4)设直线AD的解析式为y=kx+b．把A(6，0)，D(2，4)代人得解得∴直线AD的解析式为y=-x+6(3)存在．Q1(-3eq\r(,2)，3eq\r(,2))Q2(3eq\r(,2)，-3eq\r(,2))Q3(3，-3)Q4(6，6)7．（2022北京四中一模）（本题9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．你添加的条件是证明：答案：本题答案不唯一，添加的条件可以是①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或D是BC中点），④∠BAD＝∠CAD（或AD平分∠BAC）等．8．（2022北京四中一模）如图，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结BD，设CD＝x．（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；(3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2答案：第24题图第24题图9．（2022北京四中一模）（本题14分）如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；第25题图（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第25题图10.（2022北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.DDABCHEGF第10题图答案：2000米211.（2022北京四中二模）（本题满分8分）如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.OOACB第11题图答案：.(1)∠AOC=60°(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.12.（2022北京四中二模）（本题满分11分）阅读材料：如图,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.第12题图PACB第12题图PACBD证明：AC⊥BD→∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB==解答问题：（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________________________________.（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.DDPBCA答案：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.（2）S梯形=25(cm2).13．（2022灌南县新集中学一模）（12分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.(2)若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，，求⊙O的半径的长.答案：（1）DE是⊙O的切线。证明:连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴OD∥AC又DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线（2）解：如图，⊙O与AC相切于F点，连接OF，则：OF⊥AC，在Rt△OAF中，sinA=∴OA=又AB=OA+OB=5∴∴OF=cm14．（2022灌南县新集中学一模）（12分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图13中的抛物线是足球的飞行高度y(m)关于飞行时间x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用3s．⑴求y关于x的函数关系式；⑵足球的飞行高度能否达到米？请说明理由；⑶假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为(如图14所示，足球的大小忽略不计)．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？答案：解：（1）设关于的函数关系式为．依题可知：当时，；当时，．∴，∴，∴．（2）不能．理由：∵，∴，∴．∵，∴方程无解．∴足球的飞行高度不能达到．（3）∵，∴，∴，∴（不合题意，舍去），∴平均速度至少为（m/s）．15.（2022）图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.图2图2ABCDKH30°图1ABCDEF30°答案：（1）求证：①△AEF≌△BEC；∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC所以△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可（2）设BC=1，则AC=,AD=AB=2设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=xX=所以Sin∠ACH=16.（2022）（本小题满分12分）在△ABC中，∠AOB=90°，OA=OB=10，分别以边OA、OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止。同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动。在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向AB做垂线，垂足分别为点C、E,设OD=x(1)AP=(用含x的代数式表示)（2）在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明，若不相等，说明理由。（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（原创）答案：解：（1）AP=（2分）（2）PC=BE（1分）0≤x＜10时PC=AC-AP=BE=BD=(10-x)=（4分）（3）当0＜x＜10时，（3分）当10＜x＜20时，（2分）于是°17.（2022深圳市中考模拟五）如图，抛物线ｙ＝ｘ－4ｘ－1顶点为D，与ｘ轴相交于A、B两点，与ｙ轴相交于点C．（１）求这条抛物线的顶点D的坐标；（２）经过点（0，4）且与ｘ轴平行的直线与抛物线ｙ＝ｘ－4ｘ－1相交于M、N两点（Ｍ在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；（３）上下平移（２）中的直线MN，以MN为直径的⊙Ｐ能否与ｘ轴相切？如果能够，求出⊙Ｐ的半径；如果不能，请说明理由．答案：（１）ｙ＝ｘ－4ｘ－1＝ｘ－4ｘ＋4－5＝（ｘ－2）－5∴点D的坐标为（2，－5）…3分（２）当ｙ＝4时，ｘ－4ｘ－1＝5解得ｘ＝－1或ｘ＝5∴M坐标为（－1，4），点N坐标为（5，4）∴MN＝6．Ｐ的半径为3，点P的坐标为（2，4）连接PE，则PE⊥DE∵PD＝9，PE＝3根据勾股定理得DE＝6…8分（３）能够相切，设⊙P的半径为ｒ，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2＋ｒ，ｒ）或（2＋ｒ，－ｒ）代入抛物线解析式，求得ｒ＝或ｒ＝…14分18.（2022深圳市全真中考模拟一）如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．答案：⑴解：方法一：∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4. ∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。得解这个方程组，得∴此抛物线的解析式为…………(3分)方法二：∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)。………(1分)根据题意可设抛物线解析式为。其过点A(0，1)和C(-2．2)………解这个方程组，得此抛物线解析式为(2)解：①过点B作BN，垂足为N．∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS=…………(5分)在RtPNB中．PB＝∴PB＝PS＝…………(6分)②根据①同理可知BQ＝QR。∴，又∵，∴，同理SBP＝…………(7分)∴∴∴.∴△SBR为直角三角形．…………(8分)=3\*GB3③方法一：设，∵由①知PS＝PB＝b．，。∴∴。…………(9分)假设存在点M．且MS＝，别MR＝。若使△PSM∽△MRQ，则有。即∴。∴SR＝2∴M为SR的中点.…………(11分)若使△PSM∽△QRM，则有。∴。∴。∴M点即为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．…………(13分)方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵，∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。∴。…………(9分)取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……(10分)∴MN为直角梯形SRQP的中位线,∴点M为SR的中点……(11分)当△PSM∽△QRM时，又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM………(13分)19.（2022湖北武汉调考模拟二）如图10，已知A、B两点的坐标分别为（2，O）、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，(1)求点P的坐标；(2)连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求；(3)点Q是弧AP上一动点，（不与重合）连用,BQ，求答案：(1)（+l，+1）；(2)过F作FK⊥AP,则△AFK≌△EAP∴AK=PE,FK=AP=BP,再证明△GFK≌△CBP,∴PG=GK=BE,∴=2;(3)、20.（河南新乡2022模拟）(8分)如图，已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点A（1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．解：（1）由题意，得， …………………（1分）解得，所以一次函数的解析式为．………………… （2分）yxO131yxO131A（1，3）B解得，所以反比例函数的解析式为． （4分）由题意，得，解得． （5分）当时，，所以交点．……………… （6分）（2）由图象可知，当或时，函数值．………………… （8分）21.（浙江杭州金山学校2022模拟）（根据2022年中考数学考前知识点回归＋巩固专题13二次函数题目改编）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（1）；．………2分（2）在中，，．设点的坐标为，其中，∵顶点，∴设抛物线解析式为．①如图①，当时，，．解得（舍去）；．．．解得．抛物线的解析式为…………………2分②如图②，当时，，．解得（舍去）．…………2分③当时，，这种情况不存在．…………………1分综上所述，符合条件的抛物线解析式是．（3）存在点，使得四边形的周长最小．如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．……1分，．．．又，，此时四边形的周长最小值是．22.（河南新乡2022模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，∴．………………………３分解得OB′＝12，即点B′的坐标为（12，0）．………４分（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．由勾股定理，得CB′＝＝15．……５分设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．由勾股定理，得a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得……………８分解得∴CE所在直线的解析式为y＝－x+9．…１0分23.（河南新乡2022模拟）（10分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．(1)求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2，∵AO＝OC＝2，∴△AOC是等边三角形．………2分∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°．…4分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．……5分∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．……………7分∴∠EAB＝∠AEC．∴四边形OBEC为平行四边形．………………９分又∵OB＝OC＝2．∴四边形OBEC是菱形．……………10分第1题EFABC24、（江西省九校2022—2022第一次联考）如图1，第1题EFABC（1）求AF的长；（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．答案：解（1）连结OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，又∵△AEF为等边三角形，∠AOF=120°，∠GOF=60°，GF=R，则AF=R..........3分(2),AB=2R，AC=R，…………5分,,∴………………8分AO图2EBGxCyE′25、（北京四中2022中考模拟12）如图2，在Rt△中,∠=90°,以斜边所在直线为轴,以斜边上的高所在直线为轴,建立直角坐标系,若2+2=17,且线段的长度是关于的一元二次方程2-+2(-3)=0的两个根.

（1）求点的坐标；

（2）以斜边为直径作圆与轴交于另一点，求过三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；

（3）在抛物线上是否存在点AO图2EBGxCyE′答案：解：（1）∵线段的长度是关于的一元二次方程2+2(－3)=0的两个根，∴又∵2+2=17，∴（B）2－2··=17.（3）∴把（1）（2）代入（3），得m2－4(m－3)=17.∴2－4－5=0.，解得=-1或又知=>0，∴=－1应舍去.∴当=5时，得方程2－5+4=0.解之，得=1或=4.∵∴.∴=1，=4.在Rt△中，∠=90°，⊥，∴2==1×4=4.∴=2，∴（0，2）.（2）∵=1，=4，两点关于轴对称，∴(－1,0),(4,0),(0,－2).设经过三点的抛物线的解析式为2,则∴所求抛物线解析式为（3）存在.∵点是抛物线与圆的交点，∴Rt△≌△.∴（0，-2）符合条件.∵圆心的坐标（，0）在抛物线的对称轴上，∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点关于抛物线对称轴的对称点′也符合题意.∴可求得′（3，-2）.∴抛物线上存在点符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。26.（2022年广东省澄海实验学校模拟）已知：如图，抛物线与轴交于点、点，与直线相交于点、点，直线与轴交于点。（1）求直线的解析式；（2）求的面积；第1题图（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？第1题图解：（1）在中，令，xyABCxyABCEMDPNO又点在上…………………2分的解析式为………3分（2）过点C作CD⊥AB于点D.由，得 5分，， ………6分 7分（3）过点作于点 8分由直线可得：在中，，，则，∵BM=4－t∴△MBN的面积=×BM×NP=(4－t)·t 10分 11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分27.（2022湖北省崇阳县城关中学模拟）(本小题满分12分)ABCDGoABCDGo第2题（1）点C、D的坐标分别是C（），D（）；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。……2′解：（1）……2′……2′（2）由二次函数对称性得顶点横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，），……2′∴设抛物线解析式为，把点代入得，……2′∴……2′（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则……2′∴……2′①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，……2′此时所求的解析式为：……2′②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，……2′此时所求的解析式为：……2′③当FG=FE时，不存在；28.（2022深圳市模四）（2）如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D.①求证：AB2=AD·AC.②当点D运动到半圆AB什么位置时，△ABC为等腰直角三角形，为什么？AABCDO·第3（2）题图证明：①连接BD，则∠ADB=90°.∵BC与⊙O相切，∴∠ABC=90°，∴∠ABC=∠ADB。又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，∴,∴.②点D运动到半圆AB的中点时，△ABC为等腰直角三角形。BD既是AC上的高线又是中线，所以△ABC为等腰直角三角形。29.（2022深圳市模四）、（9分）一次函数的图像与反比例函数的图像交于点M（2,3）和另外一个点N。⑴求出一次函数和反比例函数的解析式；⑵求出点N的坐标；⑶求出△MON的面积。解：（1）∵点M（2,3）在一次函数上，∴。∴一次函数。∵点M（2,3）在反比例函数上，∴m=6。反比例函数为。（2）联立两解析式得解得所以点N（－3，－2）。（3）设MN交y轴于点A，在中，令x=0，得y=1。所以点A的坐标为（0,1）。所以＝30.（2022湖北省崇阳县城关中学模拟）（本小题满分8分）已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；（3）利用图像直接写出当x取何值时，．……2′（1）∵交点纵坐标为4，∴，解得（舍去）……2′……2′-24-42……2′-24-42（2，-4）（-2，4）（2）…………2′第第5题图……2′（3）当时，……2′31.（2022深圳市模四）（9分）已知，如图，直角坐标系中的等腰梯形ABCD，AB∥CD，下底AB在x轴上，D在y轴上，M为AD的中点，过O作腰BC的垂线交BC于点E.（1）求证：OM⊥OE；（2）若等腰梯形中AD所在的直线的解析式为，且，求过等腰梯形ABCD的三个顶点的抛物线的解析式。（3）若点M在梯形ABCD内沿水平方向移动到N，且使四边形MNCD为平行四边形，抛物线上是否存在一点P，使S△PAB与四边形MNCD的面积相等，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。第6题图解：（1）∠A=∠B，因为M为直角三角形AOD的斜边中点，所以OM=MA，则∠A=∠MOA，所以∠MOA=∠B；又OE⊥BC，所以∠