专题03基本不等式（重难点突破）原卷版

专题03基本不等式知识点一：基本不等式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.知识点二：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点三：基本不等式的变形与拓展1．(1)、若,则；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）．2．(1)、若,则；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）；(3)、若,则（当且仅当时取“=”）．3．(1)、若,则（当且仅当时取“=”）；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）；(3)、若,则,即或（当且仅当时取“=”）．4．(1)、若,则（当且仅当时取“=”）；(2)、若,则,即或（当且仅当时取“=”）．5．一个重要的不等式链：．6．函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：

重难点突破(一)基本不等式的简单应用例1.（1）、（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）若，则函数（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值（2）、（2023春·湖北恩施·高二校考期末）若，则的最小值为．【变式训练1-1】、（2023春·江苏徐州·高二统考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【变式训练1-1】、（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）已知两个正数满足，则的最小值为．重难点突破(二)利用基本不等式求最小值例2.（1）、（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3（2）、（2023春·甘肃天水·高二校考期中）已知，则的最小值是.

【变式训练2-1】、（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【变式训练2-2】、（2021秋·高一课时练习）（多选题）已知，，且，则（）A． B．C． D．重难点突破(三)利用基本不等式求最大值例3.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为.（2）、（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【变式训练3-1】、（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【变式训练3-2】、（2022秋·新疆·高一兵团第一师高级中学校考阶段练习）若，则的最大值是．

重难点突破(四)不等式变形技巧：“1”的代换例4.（1）、（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）设，且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7（2）、（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）若，，且，则的最小值为．【变式训练4-1】、（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【变式训练4-2】、（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）（多选题）设正实数，满足，则（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值例5.（1）、（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4（2）、（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为．【变式训练5-1】、（2023春·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）已知且，则的最小值是．【变式训练5-2】、（2023·全国·高三专题练习）已知实数，若，则的最小值为（

）A．12 B． C． D．8重难点突破(五)不等式的证明技巧与综合处理技巧例6.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.(1)求的最大值；(2)求证：.【变式训练6-1】、（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，，，求证：；（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.

重难点突破(六)均值不等式在实际问题中的应用例7.（2020秋·高一课时练习）建造一个体积为，高为的长方体简易木屋，如果屋顶和四周墙壁的造价分别为40元/和30元/，而整修木屋地面的费用为20元/，那么此木屋的最低造价为元．【变式训练7-1】、（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考期末）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为元．

例8.（2022·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【变式训练8-1】、（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

重难点突破(七)冲刺满分（压轴题）例9.（1）、（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为.（2）、（2022秋·广东梅州·高一五华县水寨中学校考阶段练习）（多选题）若，，，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【变式训练9-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为.【变式训练9-2】、（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

1．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2023秋·山西朔州·高一统考期末）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（

）A．方案一更经济 B．方案二更经济C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定4．（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知，且，则（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是5．（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）若，则的最小值为.6．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为.7．（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2).8．（2009·湖北·高考真题）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场