立体几何起始课

立体几何起始课北京第八中学陈孟伟、黄炜、彭红、刘燕【教学目标】(1)知识与技能使学生明确学习立体几何的目的，初步了解立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生直观了解空间中的点、直线、平面的位置关系，并初步了解符号语言；使学生了解平面几何与立体几何的联系与区别．(2)过程与方法通过动手试验、互相讨论等环节，培养学生的自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，培养学生的归纳能力．(3)情感态度价值观激发学生的学习热情，在思维层次上，让学生逐步体验“偶然——必然，必然——自由”的过程，为培养学生良好的思维习惯奠定基础．【教学重点】初步了解立体几何研究的内容，培养空间想象能力．【教学难点】克服平面几何的干扰，了解立体几何研究问题的方法．【教学方法】教师启发讲授，学生观察模型、动手实验、分组讨论、探究学习．【教学手段】多媒体、立体模型等．【教学过程】一、创设情境，激发兴趣，引入课题1、演示一组图片从学生熟悉的央视新大楼、鸟巢、长城、祈年殿、金字塔、晶体结构、DNA模型引出立体几何，引起学生的兴趣，同时说明立体几何非常有用．人们在建造房屋、修建水坝、研究晶体的结构、研究DNA的结构、在计算机上设计三维动画，研究高清晰度电视以及虚拟现实技术等都需要立体几何．我们需要进一步了解我们生活的空间．这就是我们学习立体几何的目的．立体几何研究的是立体图形，它们的形状、大小、相互位置，与立体图形有关的计算、画图与某些应用．还在几千年前，劳动人民在常年累月耕地，建河堤、运河、筑神庙、宫殿时积累了很多立体几何的知识，作为二十一世纪的中学生，我们应该更好地学习立体几何，为以后的学习打好基础．2、思考两个问题问题1把一块豆腐切3刀，最多能切成几块？问题2用六根等长的火柴棍最多能拼成多少个正三角形？鼓励学生用模型实验、积极发言，让学生更进一步的感受立体几何，明确学好立体几何的关键是培养空间想象能力．二、归纳探索，形成正确认知1．直观图例1我们看下面的两幅图，他们有什么区别？请你分别用书和笔表示出来．

上面这幅图说明了直观图一个原则。请学生总结立体图形直观图的虚实线使用和平面几何图形的不同之处．原则一：当一个平面被另一个平面遮挡时，被遮挡部分的线段画成虚线或者不画．在立体几何中我们通过虚实结合来表示立体图形的前后．引申：想象一下能否出现这样的情形？为什么？

练习1(1)请同学们观察左边图形，说明是从哪个角度进行观察的．(2)在右边图形中，如果从上面观察，那些线应该画成实线，哪些画成虚线，试着在上图修改．学生动手操作．教师也可以根据学生的意见，利用《几何画板》等软件实时地进行演示，提高师生交互性和课堂的时效性．

在立体图形中，我们通常用希腊字母来表示平面，对于立方体这样的图形，我们通常按照顺时针或者逆时针的顺序依次将上下两个底面标上字母，然后将立方体记为或者记为立方体．练习2正方体中，分别是和的中点，连接．右图是否正确？如不正确，如何修改？学生讨论，然后回答．根据学生的回答，教师利用软件实时地进行修改演示，让学生立刻形成正确的认识．

例2观察正方体，回答下列问题：(1)面是什么图形？(2)是多少度？是的平分线吗？是的平分线吗？(3)与平行吗？(4)计算的大小．请学生回答，说明理由．利用模型和软件，实时进行演示．比如，可以将几何体旋转一个适当的位置，再让学生观察，形成正确的认识．请学生总结表示立体图形的直观图和平面几何图形的异同点．答：(1)正方形．原则二：平面图形的画法是真实的，而空间图形的直观图是不真实的．如正方体的底面本是正方形，但在直观图中都画成平行四边形．又如圆柱的底面本是圆，但在直观图中都画成了椭圆．

学生讨论，然后回答，说明理由．利用软件，将几何体旋转到不同位置让学生观察．告诉学生不光要观察，还用进行想象和推理．(2)，是的平分线，不是的平分线．(3)不平行．他们分别在两个平面内，并且永远不可能相交．(4)因为为正三角形，所以．原则三：在研究空间图形时，不能依据对图形的直觉作出判断，而应依据正确的推理、计算作出结论．再次归纳空间立体图形直观图的三个原则．2．空间中的点、直线、平面位置关系点、直线、平面是立体几何中的最简单的图形，研究它们的位置关系很有必要。我们将直线和平面看作点的集合，我们利用与集合类似的符号来表示它们之间的关系．问题1观察顶点A与其它棱所在直线的位置关系．问题2观察棱AB所在直线与其它棱所在直线的位置关系．问题3观察棱AB所在直线与某个面所在平面的位置关系．问题4观察正方体的面所在平面与其它面所在平面的位置关系．充分让学生发表意见，教师同时作必要的修正，并且将学生的表述用符号语言进行板书，如下：点A与直线的位置关系：(1)点在直线上：；(2)点不在直线上：．直线与直线的位置关系：(1)平行：；(2)相交：；(3)异面．直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内：；(2)直线与平面平行：；(3)直线与平面相交：．平面与平面的位置关系：(1)平行：；(2)相交：．教师通过提问，引导学生进行总结，并指出研究这些关系是立体几何的重要内容．其中平行与垂直关系是日常生产生活中用得最多，所以它们是立体几何研究的重点．3．平面几何与立体几何提出疑问：平面几何中也研究了点和直线，那么能否在立体几何中使用平面几何中的定理呢？问题1平面几何中，正方形的对角线互相垂直。图中的与垂直吗？我们可以将面化成平面图形，这样我们发现平面几何的定理是可以在面上使用。学生充分讨论，教师适当引导，使学生形成正确认识，同时交给学生研究立体几何的好方法——将立体图形中某个平面抽取出来，画出它平面图．问题2平面几何中，垂直于同一直线的两直线平行。在上图中，，，那么和平行吗？教师将平面几何的一个定理错误地推广到立体几何中，引发学生讨论．问题3平面几何中，平行于同一直线的两直线平行。在上图中，，，那么和平行吗？教师将平面几何的一个定理正确地推广到立体几何中，引发学生讨论．教师引导学生进行小结：平面几何的定理在立体图形的某一个平面上完全成立，平面几何中有的定理在空间中不成立，而有的仍成立．三、归纳总结，提高认识教师给出提纲，引导学生对学习过程进行“盘点”，从而形成规律性的结论．通过提问，督促学生进行自我总结：1、你通过本节课学到了什么知识？2、你在学习本节课时用到了哪些方法？它们在你以后的学习中会有作用吗？3、还有哪些地方不是很清楚，需要进一步学习?使学生养成自觉总结、及时总结的好习惯。四、课后作业探究正方体的截面问题问题1假设我们用刀对正方体切一刀，将其一分为二，那么我们称切开的切面为正方体的截面，如图．很显然，当切的位置和方向不同时，得到的截面是不同的，那么我们都可能得到几边形的截面呢？

因为这个题目的答案从三角形到六边形都可能，一个学生很难将其回答完整，但通过学生的互相启发补充，相信可以得出完整的答案．问题2如果要求截面必须是四边形，那你都可以得到什么样的截面呢？利用手中的正方体模型动手实践，学生可以逐渐总结出各种答案：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等．在总结课上教师根据学生叙述，利用几何画板演示．问题3你得到的各种四边形有什么共同的特点(共性)？为什么？因为有初中平面几何的基础，学生不难总结出以上得到的各种四边形都至少有一组对边平行．至于为什么会出现这种情况，学生就不得不认真观察正方体六个面之间不同的位置关系，即垂直和平行，并且可能会有个别程度较好的学生会逐渐总结出一些猜想，如：一个平面交两个平行平面的交线平行．问题4具体总结每种截面四边形得到的过程，你能说说为什么得到的截面就是这种四边形吗？你获得了哪些经验，有什么样的猜想？可将学生分组进行研究．因为之前已经研究过截面为四边形时，必然会经过一组平行的平面(对面)，所以只需研究另外两个面是平行，还是垂直的情况．(1)一般平行四边形：另两个面也必须平行(如图)，且没有任何一条交线与棱平行．(2)矩形：另两个面既可以平行，也可以垂直，且有一对交线平行于棱，另两条不平行．（由此可以总结线面垂直关系）

(3)菱形：类似一般平行四边形，只不过还需邻边相等．(4)正方形：类似矩形，只不过四条交线都和相应的棱平行．(5)(等腰)梯形：另两个面需垂直，且没有交线与棱平行．(教师可以提出更深问题：可以得到直角梯形吗？)问题5刚才探究的过程体现了什么样的数学思想？依此类推，当截面是其他情况时，分别又该如何考虑？学有余力，或有兴趣的学生继续思考．【教学设计说明】一、教学内容的分析“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．”“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．”(1)立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力．我们提供了丰富的实物模型和利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，掌握在平面上表示空间图形的方法和技能．(2)立体几何初步的教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言．我们尽力帮助学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生初步了解空间平行、垂直关系，从而为学生展现立体几何的全貌．(3)因为学生在学习立体几何之前学习过平面几何，平面几何与立体几何研究的对象又都来自于日常空间的抽象，并且研究的对象有部分重叠，因此学生在学习立体几何过程中一定会受平面几何知识的影响．又因为平面几何中的结论不能原封不动地搬到立体几何中，有的在立体几何中还成立，而有的却不成立，但在立体图形的一个平面上，平面几何的所有结论又全都可用．因此，在立体几何起始课上，有必要向学生讲清这一点，为后续学习扫清障碍．(4)我们在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力．二、教学目标的确定这节课是立体几何入门的第一节课．它的功能是激发学生的学习热情、培养学生的学习兴趣，展现这门课的概貌，揭示它与平面几何的区别与联系、研究它的方法、学习它所需培养的能力，为后续的学习做好准备．认识和探索几何图形及其性质的主要方法是：直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算．本节课作为立体几何起始课，主要是通过直观感知、操作确认的方式让学生认识人类生存的现实空间，培养和发展学生的空间想象能力．在后续的课程中，我们会采取思辩论证、度量计算等方法继续研究空间中的几何图形．三、教学方法和教学手段的选择在学习这门课之前，学生系统学习了平面几何的知识，对平面中几何图形的位置和数量关系研究较多，在小学和初中阶段只是比较直观地认识了一些简单的几何体，并没有更深入地对空间中几何图形的位置和数量关系进行推理和计算．学生在学习过程中将会遇到一些问题：如对学习立体几何的兴趣不足、不能很好地使用直观图来表示立体图形、将平面几何的结论不加研究地类推到立体几何中等等．根据这节课的教学目标和内容特点，以及学生的实际情况，在教学方法和手段上采取了如下设计：1、由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、使用书本、铅笔、立方体等模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象，思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用；2、鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解，教师只做必要的引导和总结；3、从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力；4、采用模型或软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性。比如直观图中虚实线的使用，教师根据学生的表述，随即在软件中进行修改，学生马上看见自己的想法变成了图形，也立刻知道了自己的想法是否正确，随即进行修正。四、教学过程的设计学习一门课之前，学生都会问：学习它有什么用途？因此，这节课首先为说明立体几何有何用途，以及激发学生的学习兴趣，演示一组古今中外的著名建筑图片．又为说明只学习平面几何不足以对付日常生产生活中的需要，设计一组小问题，说明学习立体几何的必要性．直观图是用来表示立体图形的，它是学习立体几何，进行交流和表达的重要工具，这节课的后续部分也要用到。但学生对直观图的观察和使用会有一些偏差，因此接着引导学生学习观察、使用立体图形的直观图，设计了一组问题，从不同侧面来说明直观图中虚实线的不同使用，显示出不同的立体图形，直观图与平面图有所不同等等，从而告诉学生画直观图的原则，以及如何观察直观图，进而想象出立体图形．立体几何研究的内容是什么？这也是起始课上学生想问的一个问题．接着利用最简单的正方体模型，教师带领学生归纳出空间中点、直线、平面之间的位置关系，以此告诉学生这些位置关系是立体几何研究的主要内容．同时，让学生初步了解立体几