2023年浙江省高中数学竞赛夏令营试题及答案解析

4.己知4.己知a.pgR,且coscr+cos>0=—,tan(cr+=—>则sina+sin0=2023年浙江高中数学竞赛夏令营试题测试时间7月19日8：30-10：301.集合A=N，的所有元素之和为o2.(2x+f=)的展开式中工的系数为o3.设圆x2+y2=9的弦AB的中点坐标为(1,1),直线交x轴于点P,则网冏=。5.己知圆0的直径AB把圆分成上下两个半圆，C,D分别在上、下半圆上(都不与A、B重合)。若AC=2,A£>=1,则ABDC=。6.己知正四棱柱ABCD-ABCQi的底面变成为2,侧棱长为4,E为棱CO的中点，F为棱AA的中点，则点D道平面的距离为。7.若z为复数，且|z|=l,则|告』的最大值为。8.己知｛%｝和｛如｝均为等差数列，且句=32,如=43。令cn=(-\)n(an-bn),数列｛%｝的前10项和为5,前13项和为-5,则数列｛如｝的前100项和为。9.己知ABCQ为四面体，现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可•以通过四面体上的红色棱边到达点B的概率为。10.己知函数f(x\g(x)是定义在R上的周期函数，且它们在区间[-1,1]±单调递增，下列陈述：A./(x)+g(x)为周期函数B.f(x)+g⑴-|/(x)-g(x)|在区间［-1,1］上单调递增C.若“=3,则存在正整数如使得£-!—<-心22D.已知数列。仲=3%-“；+4(〃=1,2,),句=1,若ErQ,01,则数列｛%｝有界正确的是O12.已知x为实数，且满足52t+,+3125=55t-t2,则x最小值和最大值之和为o13.己知锐角MBC中，ZA>ZB>ZC,ZA+ZC=2ZB,AB=4,BC=5，则MBC的面积最大内接正方形边长为o714.己知椭圆C：—+y2=1的左、右焦点分别为与，乙，设P是第一象限内椭圆C上的一点，PR、的延长线分别交椭圆于0、。2点。则八PFQ、的面积之差的最大值为。15.设实数尸满足r3-r-l=O,且r+JJ为多项式P(x)=O的根。若p(x)的首项系数为1,p(x)为满足条件的整系数多项式中次数最低的，则p(x)=_。16.己知四面体ABCD中，面ABC和ABD的面积分别是4和7,两者之间的二面角为60,则通过棱AB和四面体内切球的球心的截面面积为o17.已知，z个正整数组成的集合中，任意两个元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25整除，则〃的最大值为。18.设也,〃(也>〃)为正整数，且7。2[2023〃一2023",则m+n的最小值为一。19.一个蚂蚁在单位立方体以每秒1单位的速度沿棱运动，它从任一顶点起开始运动。假设每次蚂蚁到达顶点处后转向各方向继续运动的概率相同(允许后转折返走动)，则其第一次Df｛x)+g(x)+/(-x)+g(-x)为偶函数正确的是。11.己知数列为.|=3%-忒一1(〃=1,2,),6=。。则下列陈述：A.若“壬1,则％严格单调递减B.若。=：,则对任意neN',有an>1重返起点所需用的时间的数学期望为20.可导函数重返起点所需用的时间的数学期望为20.可导函数/:(0,勺tR满足/(x)tanx>(2sinx-l)f(x).若f(亲jT，则*\32023年浙江高中数学竞赛夏令营试题解析1.集合4={n|Ign<i,nGN}的所有元素之和为6n<而,故n=1,2,3,元素之和为6的展开式中％的系数为C$(2rr)3二4=280的展开式中％的系数为C$(2rr)3二4=280a8£44，-93.设圆/+夕2=9的弦AB的中点坐标为(1,1),直线4B交。轴于点F,则1客|•\PB\=5由和差化积公式可知sin"+sing=sa+匕0coscosa+cosp.a4-p34'记tana=t,则tan(a+/?)=24=-2t,故结果为243设中点为M,则OM=MF=为(\/7-\/2)(\/7+v^2)=54.已知a,6ER,且cosa+cos0=由垂径定理知MA=MB=V兮.故结果—,tan(a+£)=司，则sina+sin/?=OI5.已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，C,D5.已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，C,D分别在上、下半圆上（都不与4、B点重合）。若AC=2,AD=19AB-DC=答案3解析考虑。。在4Bh的投影向量EF4n2设43=d>2,由射影定理易知AF=—r-,AE=—j-aa6.已知正四棱柱ABCD-&乱。】玖的底面边长为2,侧梭长为4,E为梭CD的中点，F为棱AA.的中点，则点D到平面EFB］的距离为答案2\/17解析向量法易得，算就不算了故仙DC=AB•EF=d—-—=3a解析设两个数列的公差分别是d,t,注意到。2人1解析设两个数列的公差分别是d,t,注意到。2人14-C2*=(/-t,故｛Cn｝的前10项和为5可知d-t=l前13项和为-5可知bna：3=—11=>anbn=11=>anbu=9=>bn=23,——=2,故｛如｝前100项和易知为102007.若2为复数，且|z|=l,则的最大值为答案由+妨解析故--------=----------------------=\I---------------〜4-2扇考虑------------=t,可知32v2cos0由辅助角公式可知8P+122(3t一4尸。社一24Z+4《0=>(t-12)2《140=>12-2\/35<t<12+2^35故最大值为VZ12+2/房=”+去8.巳知｛au｝和｛bn｝均为等差数列，且an=32,b2i=43。令5=(-l)n-(an-如)，数列｛c“｝的前10项和为5,前13项和为-5,则数列｛如｝的前100项和为答案9.已知ABCD为四面体，现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可以通过四面体上的红色棱边到达点39.已知ABCD为四面体，现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可以通过四面体上的红色棱边到达点3的概率为.34(1)若43为红，概率为?，直接到达。(2)若AB为蓝，概率为二在此条件下，考虑AC,AD9t红的情形：£情形一：均染红，概率为牛，此时只需要中有一个染色即可，4解析*,113情形二：均染蓝，概率为?，不可能过去4情形三：AC.AD-&-红，概率为？,由对称性不妨设AC红，则下考虑CB及C-D-B两条路径中至少有一条全红的概率，反面思考可知1一5亨=M±-*cP=+14-++21-、)=10.已知函数f(x),g(x)是定义在A上的周期函数，且它们在区间上单调递增，以下陈述：A/(i)+g(w)为周期函数C上单调递增Df(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)为偶函数正确的是BD解析略11.已知数列如+i=3au11.已知数列如+i=3au—a„—l(n=1,2,••),ai=a,则下列陈述：A若a/1,an严格单调递减B若。=f,则对任意neN\有a„>1C若a=3,则存在正施数使得y—^―<角g一22D已知数列g+,=3Q“-a*+A(n=l,2,),ai=l。若k£--J)3正确的是答案解析略，用蛛网图思考4注意到六4一时=，(时，所以答案为412.巳知工为实数，且满足52xU+3125=55,?,则£最小值和最大值之和为MBC中,ZA>ZB>ZC,ZA4-ZC=2ZB,AB=4,BC=5,则4ABC的面积最大内接正方形边长为答案300-160\/3解析hxxah对于某边Q,及对应高加有=解出I=h.注意到分子恒等2S=sin60-4x5,故分母要小，a,九要尽量接近，选a=4,代入即可17.已知n个正整数组成的集合中，任意两个元素的差要么恰好被517.已知n个正整数组成的集合中，任意两个元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25整除，则n的最大值为用5进制思考易知最后两位只能不同，否则会有125倍数，那么至多25个圆。上的一点，PFX、PF2的延长线分别交椭圆于Qi、Q2点。则△PF1Q2、ΔPF2Q1的面积之差的最大值为2据解析爆算15.设实数尸满足『3_r_1=0,且r+防为多项式P(x)=0的根。若p(x)的首项系数为l,p(司为满足条件的整系数多项式中次数最低的，则p(x)=x6-8x4-2x3+13x2-10z-1先构造一个根为r+/的多项式易知为(r-据尸-(r->/2)-1,为消去\/如将多项式分成整系数部分和寸5部分，乘上其共貌结构即可得到答案16.已知四面体ABCD中，面ABC和ABD的面积分别是4和7,两者之间的二面角为60”，则通过棱和四面体内切球的球心的截面面积为答案28\/3解析化归为算以4,7为夹边，60度为夹角的角平分线长度计算+g2=1的左、右焦点分别为f】,F2,设P是第一象限内椭注意到祭■=On/(£))'，本题需要对票■积分注意到祭■=On/(£))'，本题需要对票■积分先考虑/(，)20则理?2竺拦二1,为了/(£)最小f(x)tanx