2021年云南省高考文科数学考前押题试卷及答案解析

2021年云南省高考文科数学考前押题试卷

一.选择题(共12小题，满分60分)

1.设2=指+23则|z|=()

11_

A.0B.-C.ID.V2

2

2.已知集合4={却og2(x+1)>0},B={x|0<x<l},则CAB=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+8)D.[1,+8)

3.如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为

225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()

A.16B.17C.18D.19

4.设公差为-3的等差数列｛“"｝的前"项和为S",若52019=2019,则。3+06+09+…+02019=

()

A.-673B.-1346C.673D.1346

5.已知函数/(X)=lnx+x,则函数/(x)在x=l处的切线方程为()

A.2x-y-1=0B.2x+y+l=0C.2x-y=0D.x-2y+l=0

6.在△ABC中，4。为3c边上的中线，E为4。的中点，则后=()

3T1-1-3T3T1一I-3T

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

7.某长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()

£十

优现图

A.16B.20C.16+2V6D.20+2V6

第1页共22页

2

8.设抛物线C：的焦点为F,过点（-2,°）且斜率为与的直线与C交于M,N两点,

则俞•品=()

A.5B.6C.7D.8

1r

付-

X+-:Gr

2i

1^

9.已知函数/（工）=,2[若存在XI,X2f当OWxiVx2V2时，f(XI)=f

X-2-2)

（X2）,则Xl/（X2）-f（X2）的取值氾围为（）

.m2-3短、92-3V2

A.(0，B•[一元'「―)

「2-3/21、91

CrI4，2)D-[-16,~2>

10.利用计算机产生［0,1］之间的均匀随机数a,则事件“3a-2<0"发生的概率为（）

1112

A.-B.-C.一D.-

2343

11.已知A、尸分别为双曲线。的左顶点和右焦点，点。在C上，△AFD是等腰直角三角

形，且NAF£）=90°,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V2+1

12.在正方体ABCQ-4B1C1O1中，直线功。与平面ABIQI所成角的正弦值为（）

12V2V3V6

A.-B.-----C・—D.—

3333

填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

x-y—1W0

13.已知点A（3,-1）,点尸（x,y）满足线性约束条件％NO,。为坐标原点,

2x+y-5<0

那晶在&方向上的投影的取值范围为_______.

14.在数列｛。〃｝及｛加｝中，an+1=加+Ja/+Z7n2,bn+iJaj+1n2,〃i=l,b\

11

=1.设Cn=^+点则数列｛cn｝的前2017项和为.

15.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是（用数字

作答）.

16.已知函数/（x）=2sinx+sin2x,则/（x）的最小值是.

三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

第2页共22页

->n7TTLTT

17.(12分)已知向量Q=(cos(—+x),sin(-+x)),b=(-sirtv,V3sinx),f(%)=a-b

(1)求函数/(x)的最小正周期及/(x)取得最大值时对应的x的值；

(2)在锐角三角形A3C中，角A、B、C的对边为a、b、c,若/(令=1,求三角形ABC

面积的最大值并说明此时该三角形的形状.

18.（12分）如图，在四面体A8CD中，AC^BC=CD=BD^2,AB=AD=

第3页共22页

(1)证明：平面ABO,平面8C£＞；

(2)求直线8。与平面ACO所成角的正弦值.

y2

以(12分)已知椭圆C：我+弃=1(—的上顶点为4,以A为圆心，椭圆的长半

第4页共22页

轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1+遮)、(0,1-V3).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不经过点A的直线/与椭圆C交于尸、。两点，且心•员?=(),试探究直线/是

否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

20.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通

第5页共22页

信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学

生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,

样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2022年1月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得

出如图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用

户的40%).

.人数占比

早期体将用户中期跟随用户后期用户

(I)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升

级到5G的概率；

(II)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿

意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(III)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都己签约5G套餐,

能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

21.(12分)设函数/(*)=-2)-，依3+聂—2.

第6页共22页

（1）若k=l,求/（X）的单调区间；

（2）若f（X）存在三个极值点XI,X2,X3，且XlVx2V尢3，求左的取值范围，并证明:

X1+X3>2X2.

四.解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

第7页共22页

22.（10分）在极坐标系中，曲线。的极坐标方程是p=4c方号3s讥以极点为原点°，

极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系10），中，曲线C2的参数

方程以：播（。为参数）.

（1）求曲线。的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（2）将曲线C2经过伸缩变换上:=W/X后得到曲线C3,若M,N分别是曲线Ci和曲线

C3上的动点，求幽川的最小值.

五.解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

23.（10分）已知函数/（x）=|2x-iz|+|2x+3|>g（x）=|2x+l|+3

（1）解不等式：\g（x）|<5

（2）若对任意的xieR,都有X2€R,使得/（xi）=g（%2）成立，求实数a的取值范围.

第8页共22页

2021年云南省高考文科数学考前押题试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题，满分60分)

1.设z=+2，，贝！l|z|=()

1L

A.0B.-C.1D.V2

2

解：z=提+2i=筒鸿+2=-i+2=i，

则|z|=l.

故选：C.

2.已知集合4={邓(^2(x+1)>0},B={x|0<x<l}>则CAB=()

A.(0,1)B.(0,11C.(1,+8)D.[1,+8)

解：Iog2(X+1)>0=log21,

：.x+\>1,

解得x>0,

.".A=(0,+8),

；B={x[0<x<l}=(0,1),

.,•CAB=[1,+8),

故选：D.

3.如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为

225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()

□

A.16B.17C.18D.19

26224—9

解：黄豆落在椭圆夕卜的概率为：300=24

解得：5=18.

故选：C

4.设公差为-3的等差数列{的}的前几项和为若52019=2019,则。3+46+〃9+…+。2019=

第9页共2；2页

A.-673B.-1346C.673D.1346

解：公差为-3的等差数列｛m｝的前〃项和为租,52019=2019,

2nlQ

.*.52019=2(“I+a2019)=2019,解得m+〃2019=2,

673

.•.。3+。6+。9+・・・+。2019=-2-(。1+。2019-6)=-1346.

故选：B.

5.己知函数/(x)=lnx+x,则函数f(x)在尤=1处的切线方程为()

A.2x-y-l=0B.Zr+j+l=0C.2x-y=0D.x-2y+\=0

解：根据题意，f(x)=lnx+x,则/(x)=i+l,

则/(I)—f(1)=1+1=2,

则切线的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-l；

故选：A.

6.在△ABC中，4。为BC边上的中线，E为AO的中点,则扇=)

3T1T1T3T3-1T1-3T

A.-AB--ACB.-AB--ACC._AB+—ACD.-AB+-AC

44444444

解：在△ABC中，AQ为边上的中线,E为AQ的中点,

EB=AB-AE=AB-^AD

T11TT

=AB—X2(AB+AC)

3Ti->

=/BRC,

故选：A.

7.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()

T1-

1*

14

+

依现图

第10页共22页

A.16B.20C.16+2V6D.20+2V6

解：三视图复原的几何体是长方体的一部分，

长方体的长、宽、高分别是：2,2,3,

所以这个几何体的表面积为：2x2+2xI；2x2+2xx2+：x2>/2x

2V3=20+2V6.

故选：D.

2

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为凡过点（-2,0）且斜率为§的直线与C交于M,N两点，

则局•局=（）

A.5B.6C.7D.8

2

解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1,0）,过点（-2,0）且斜率为§的直线为：3y=

2x+4,

联立直线与抛物线C：y2=4x,消去x可得：）2-6y+8=0,

解得yi=2,"=4,不妨M（1,2）,N（4,4）,FM=（0,2）,FN=（3,4）.

则局•品=（0,2）・（3,4）=8.

故选：D.

11

%+亍，XE[0/TT)

9.已知函数/"(X)={1,若存在xi,xi,当0<JC1<X2<2时、/(xi)=/

2-,XG[1,2)

（X2）,则Xlf（X2）-f（X2）的取值范围为（）

.〃2—3区92-3-

A.(0,4)B-[~16)~4~^

-2-3&1、91

C.I4，2)D-[-16,-2)

解：作出函数的图象:

第11页共22页

二•存在XI,X2,当OWxiVx2V2时，f（XI）=f（X2）

1

A0^X1V分

111

•・%+［在［0,-）上的最小值为二;

乙22

2厂1在g,2）的最小值为当

・_L1、以、&-1

•.X1+2~2~fxi>-2-,

V2-1I

/.-------<xiV刁.

22

vy（XI）=X14-2，/（XI）=f（A2）

/.X］/（X2）-/（X2）=X1/（XI）-/（XI）2

2।1711、211

=+2—（xi+2>=xr—2X1-2,

设y=x/—*=（xi—2—（-WxiV*）,

则对应抛物线的对称轴为x=1,

.•.当x=〃时,尸一击

%V2-l.2-3以

当工二=-时n,，尸彳，

当X—；时，y=

即X1/（X2）-/（短）的取值范围为［一2，-1）.

故选：D.

10.利用计算机产生［0,1］之间的均匀随机数”，则事件“3a-2<0"发生的概率为（）

解：由题意可得总的线段长度为1-0=1,

第12页共22页

9

在其中满足3a-2<0,即aV5,

2

4-o2

-

1-O3

故选：D.

11.已知A、F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，点。在C上，是等腰直角三角

形，且乙4尸£>=90°,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V2+1

解：由题意，KF|=|£>/q

.b2

・・一，

C+Q=a

：.e2-e-2^0,

Ve>l,；.e=2,

故选：C.

12.在正方体ABC。-AiBCiDi中，直线BCi与平面ABIDI所成角的正弦值为（）

12^2V3V6

A.-B.---C.—D.—

3333

解：如图，连接4c交4小。|于0,直线以。与平面A81D1所成角就是直线4£>i与平

面AB1D1所成角,4OJ_平面ABiDi,

ZA1D1O即为直线Bid与平面AB\Di所成角，设正方体的棱长为a,

■a总

sinN4OiO=毛=殍，

a3

二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

x—y—1W0

13.已知点A（3,-1）,点P（x,y）满足线性约束条件XN0，O为坐标原点,

.2%+y-5<0

第13页共22页

那OtP在。—4方向上的投影的取值范围为」-挈./TnV10

乙2

解：(3,-1),P(x,y),

—>—>,

・,・茄在&方向上的投影为|0^|cos<0P,0A>=丝丝=%(3%-y).

\0A\1U

x—y—140

由约束条件》>0作出可行域如图，

.2%4-y-5<0

令z=3x-y,平移直线y=3x至A时，z有最小值为-5,平移直线y=3x至B(2,1)

时，z有最大值为5,

tt/TnVTO

・・・0P在04方向上的投影的取值范围为［-等，彳］.

22

14.在数列｛〃”｝及｛〃”｝中，〃/?+1=〃〃+匕〃+C1n2+b，,hn+1—Cln+bn—/dn+Z?n»41=1,h\

=1.设Cn=*+*,则数列Icnl的前2017项和为4034.

解：•.•〃〃+i=4"+b〃+,“+1=a〃+bn—Ic1n2+b，,ai=l,bi=1.

♦♦。〃+1+加+1=2(。〃+加)，m+Z?i=2.

a〃+b〃=2".

222

另一方面：an+lbn+i=(an+b^—(an+bn)=2c1nbn,

**•Clnbn=2nL

,_11_CLn~^~bn_2，_D

••孰=0+0一年7=尹=2，

则数列｛Cn｝的前2017项和52017=2017X2=4034.

故答案为：4034.

第14页共22页

15.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是48(用数字作

答).

解：把每对双胞胎都捆绑在一起，看做一个复合元素，则3个复合元素再全排，故有

A22A22A22A3^=48种，

故答案为：48.

16.已知函数/(元)=2siar+sin2x,则/(x)的最小值是—一

解：由题意可得7=如是/(x)=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑了(x)=2siar+sin2R在［0,2n)上的值域，

先来求该函数在［0,2n)上的极值点，

求导数可得，(x)=2cosx+2cos

=2cosx+2(2COS2X-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

令/(x)=0可解得cosx=1•或cosx=-1,

可得此时x=n或詈；

57T

/.y=2siar+sin2x的最小值只能在点x=n或一和边界点x=0中取到，

33

计算可得/(-)=琴，/(H)=0,f(—)=一挚，/(0)=0,

...函数的最小值为一竽，

故答案为：一岁.

三.解答题(共5小题，满分60分，每小题12分)

17.(12分)己知向量a=(cos(-+x),sin(―4-x)),b=(-sinx,V3sinx),/(x)=a-b

(1)求函数/(x)的最小正周期及/(x)取得最大值时对应的X的值；

(2)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c,若馈)=1,求三角形A8C

面积的最大值并说明此时该三角形的形状.

解：(1)由已知得。=(-sinx,cosx),又b=(-sinx,V3sinx),

于是/(x)=a-b=sin2x+V3sinxcosx=--j(2x-5)+之，

J22'*"2"=sn62

.".(x)的最小正周期为T=¥=m

Jz

第15页共22页

3

当2无一看=g+2匕1,即x=5+Kr,k£Z,f（x）的最大值为

A1

（2）锐角三角形ABC中，由（1）得/（一）=sin（A-1）+白=1,

2oZ

•*•sin（A-不）=才

・♦・A一-匹3，

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,

An=b1+c1-bc^lbc-bc=bc,即从＜12,（当且仅当b=c时取得等号成立）

S=^bcsinA=

L4

...当三角形ABC为等边三角形时面积取得最大值为3V3.

18.（12分）如图，在四面体ABC。中，AC=BC=CD=BD=2,AB=AD=y[2.

（1）证明：平面AB。平面BCD；

（2）求直线BD与平面AC。所成角的正弦值.

(1)证明：设。为8D的中点，连接。A,0C.

：0是的中点，

.•.在△BCD中，BC=CD=BD=2,即△BC□为等边三角形，

：.0C-LBD,：.0C=V3.

在△AB。中，AB=AD=V2,BD=2,

：.A0±BD,且A0=l,

于是At^+OCZuAC?,可知A01.0C.

'：BDr\OC=O,，AO_L平面BCD,

：AOu平面ABO,...平面ABQ_L平面BCD.

(2)解：由(1)知，AO,BD,OC两两垂直，以。为原点，OB,OC,0A分别为x

轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系。-Ayz.

贝"A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,V3,0),0(-1,0,0),

设平面ACZ)的法向量£=(x,y,z),AC=(0,b，-1),AD=(-1,0,-1),

第16页共22页

则，呼=岛一“=°,令y=g,得喘=（-3,百，3）,又访=（一2,0,0）.

\n-AD=-X—z=0

设直线BD与平面ACD所成角为a,

则sina=理”=璋,即直线BD与平面ACD所成角的正弦值为卫.

\BD\\n\[

XV

19.（12分）已知椭圆C：/+记=l（a>b>0）的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半

轴为半径的圆与y轴的交点分别为（0,1+遮）、（0,1-V3）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不经过点4的直线/与椭圆C交于尸、。两点，且G-R=0,试探究直线/是

否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

解：（I）依题意知点A的坐标为（0,b）,则以点4圆心，以a为半径的圆的方程为：/+

（y-b）2=q2,

令x=0得y=》±a,由圆A与、轴的交点分别为（0,1+遮）、（0,1-V3）

可得[b+a=1+%解得b=1,a=V3,

U-a=1-V3

x2

故所求椭圆c的方程为三■+/=1.

（2）解法1：由筋.^=0得晶,/，可知外的斜率存在且不为0,

①则脑：y=-»+1—

设直线IPA：y=kx+\

②，

将①代入椭圆方程并整理得（1+3F）/+6h=0,可得孙=一渭语，

2

则yp=-1,

1+3必

6k6

类似地可得和=

必+3，y<?=1-必+3,

第17页共22页

由直线方程的两点式可得：直线/的方程为

y=T,/tZ

即直线/过定点，该定点的坐标为(0,-1),

解法2：若直线/垂直于x轴，则AP不垂直于AQ,不合题意，

可知/的斜率存在，又/不过点(0,1),设/的方程为y=fcr+〃？(mWl),

又设点P(xi,yi)、0(x2,”)，贝MP=(%「丫1-1),AQ=(x2>

—»T

由4P-AQ=。得x\xi+y\y2-(yi+*)+1=0,

由fykx+m消去y得(3必+i)/+6%"a+3m2_3=0,

U+3y」=3

△=12C3*2-TW2+1),当△>()即3斤-"2+]>0时，％]+不=------------

3Y+1

2

--①％1%2=3m—3

3F+1

2m2f

Xy1y2=kx1x2+mfc(x14-x2)+yi+*=&(xi+x2)+2机,

于是有(炉+I)/%2+(小攵-k)(%i+&)+7n2-2m+1=0,-----------

③，

将①②代入③得(上2+1)34-3_(m/c_4)^n+m2_2m+1=0

3/c+13/c+1

整理得：m=-1,

满足△>(),这时直线/的方程为y=kx—±,直线/过定点(0,-1)

20.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通

信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学

生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1(X)0人进行调查,

样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2022年1月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得

出如图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用

户的40%).

第18页共22页

早期体险用户中期跟随用户后期用户

(I)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升

级到5G的概率；

(II)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿

意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(III)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，

能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

解：(I)由题意知从高校大学生中随机抽取1人，

该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随

用户的频率，

，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率为：

270530

,~1000+1000

(II)由题间意X的所有可能取值为0,1,2,

记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10

元以上”,

事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10

元以上”，

由题意可知，事件A，B相互独立，

P(A)=1-40%=0.6,P(B)=1-45%=0.55,

：.P(X=0)=P(而)=(1-0.6)(1-0.55)=0.18,

P(X=l)=P(AB+AB)=0.6X(1-0.55)+(1-0.6)X0.55=0.49,

P(X=2)=P(AB)=0.6X0.55=0.33,

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...X的分布列为:

X012

p0.180.490.33

E(X)=0X0.18+1X0.49+2X0.33=1.15.

(Ill)设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐”,

则P(£>)=«0.02.

ciooo

，样本中早期体验用户的人数有所增加.

11

21.(12分)设函数f(%)=—2)—可攵％3

(1)若k=l,求/(x)的单调区间；

(2)若f(X)存在三个极值点XI,X2,X3,且XlVx2VR3,求攵的取值范围，并证明:

X1+X3>2X2.

11

解：(1)当％=1时，/(x)=ex(x—2)—2x3+2^2,

/./(x)=(〃-x)(x-1).

令h(x)=，-x,贝ij"(x)="-1,

...由〃(x)>0得x>0,h'(x)<0得x<0,

：.h(x)在(-8,o)上递减，在(0,+8)上递增.

：.h(x)(0)=1>0即b-x>0,

解/(x)>0得x>l,解/(x)<0得x<l,

.V(x)的单调减区间为(-8,1),单调增区间为(1,+8).

(2)f(x)=F(x-2)+F-k^+kx—(/-kx)(x-1),

'：f(x)有三个极值点，.•.方程/-履=0有两个不等根，且都不是1,

令g(x)=e^-kx,当％W0时、g(x)单调递增，g(x)=0至多有一根，

当仁>0时，解g'(x)>0得x>/成，解g'(x)V0得xV加t.

：.g(x)在(-8,［欣)上递减，在(Ink,+8)上递增，

：.g(Ink)=e,nk-klnk=k(