2021年浙江省金华市高考数学仿真模拟试卷（5月份）附答案解析

2021年浙江省金华市高考数学仿真模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.复数z=（1-为虚数单位）为纯虚数，则实数m=（）

A.±1B.-1C.1D.0

2.设集合M={1,357,9},N={x\2x>7},则MnN=（）

A.{7,9}B.[5,7,9}C.{3,5,7,9}D.[1,3,5,7,9）

x—4y+3W0

3.已知点P（x,y）满足3x+5yS25,4（2,0）,则|而|sin乙40P（0为坐标原点）的最大值为（）

x-120

22

A.B.2C.1D.0

4.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何

C.D.

5.“ab=0”是“a=0”的（）条件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

6.已知随机变量f满足下列分布列，当pe（0,1）且不断增大时，（）

-101

11-pP

P

222

A.E（f）增大，。（打增大B.减小，。（口减小

C.E（f）增大，D（。先增大后减小D.E（f）增大，D（f）先减小后增大

7.在长方体4BCD-&B1C1D1中，48=8。=1,441=遮，则直线与平面所成角的正

弦值为()

A.-B.匹C.任D.隹

2443

8.已知Fi，尸2分别为椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点，P是C上一点，满足「2尸抵，

且仍尸2|=|PFi|,则C的离心率为()

A.yB.C.2-V2D.V2-1

9.已知函数奠:第3谓一阚，若愉，《:诙不酬且,非蛾=』躅总，则磔骗的最小值是()

A.-16B.-12C.-10D.—8

10.已知向量优b满足|五|=2,\b\=If五•b=V^，则向量五，b的夹角为()

A.芋B.vC.D.

4344

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.我们把离心率6=等的双曲线冬-A=l(a>0,b>0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:

(1)双曲线％2一餐=1是黄金双曲线；

V5+1

(2)若炉=ac,则该双曲线是黄金双曲线；

(3)若MN经过右焦点尸2且MNIBF2，4MON=90。，则该双曲线是黄金双曲线；

(4)若F］，尸2为左右焦点,41，&为左右顶点,8式0,b),B2(0,-b)且乙尸位出=90。,则该双曲线是

黄金双曲线.其中正确命题的序号为.

12.己知/(»二工4.一2%是奇函数，则其图象在点(1,/(!))处的切线方程为

13.若随机变量X—N(2,32),且P(XWl)=P(X2a),则3一得产展开式/项的系数是

14.设当x=6时，函数/'(x)=2sinx+cosx取得最小值，则cos(0+1)=

15,已知向量五=(—x,2x),K=(3X,2).若五与方的夹角是钝角，贝仕的取值范围是

16.在中，2sin'—二招sinAsin(8-C)=2cos3sinC,则-=

2A7?

17.己知圆柱底面半径为r,。是上底面圆心，4、B是下底面圆周上两个不同的点,

母线BC长为3.如图，若直线04与所成角的大小为g则r=.

O

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.如果△4BC内接于半径为R的圆，且2/?3层4一siMC)=(Via—b)sinB，求△ABC的面积的最

大值.

19.如图，在几何体4BCDEF中，四边形4BCD是矩形.4B=4,BC=2.四边形CDEF是等腰梯形,

E//DC,EF=2.平面4BCD，平面CDEF,AF1CF.

(I)求证：CF1平面ADF；

(H)过8。作平行于/F的平面，交CF于点G.求蔡的值；

(卫)求二面角B-AF-。的余弦值.

20.已知数列｛an｝是等比数列,数列｛bn｝是等差数列，且的=3,b2=a2»b5=a3+3,bQ=a4.

(I)求数列的通项公式an；

(11)令”=1。82年，证明：今+2+…++<15eN*,7iN2)；

3c2c3C3c4cncn+i

(IH)求见卷77(neN*).

21.在平面直角坐标系笳'0第中，直线自与抛物线“/=2寓相交于4、B两点。

(1)求证：命题“如果直线过点7(3,0),那么函.画=3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

22.已知函数/(无)=Q%-"》一？aER

(1)当f(x)在点(l,f(l))处的切线与％轴平行时，求a的值，并求此时y=/'(%)的最小值;

(2)若g(%)=xf(x),其方程g'(x)=0有实数解，求a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：z=(1-mi)?=(1-?^2)-2mi为纯虚数，

..41一源=0即7n=+1.

Im羊0一

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查了交集及其运算，属基础题.

首先化简集合N,然后直接根据交集的运算性质，求出MCIN即可.

解：因为N={x|2x>7}={x|x>J,M={1,357,9},

所以MCN={5,7,9}.

故选:B.

3.答案：A

解析：解：画出可行域，

根据题意，分析可得：|和|sinN40P表示的是点P的

纵坐标，

由图知，可行域中点(1,号)的纵坐标最大，

故选：A.

画出不等式组的可行域，判断出目标函数的几何意义,

结合图象得到最大值.

本题考查画不等式组表示的平面区域、关键给目标函

数几何意义、数形结合的数学思想方法.

4.答案：C

解析：由几何体的正视图、侧视图，并结合题意可知，选C项.

5.答案：A

解析：解：因为a=0=ab=0,但是ab=0不能说a—•定为0,所以"aB=0"是"a=0"的必要

不充分条件.

故选：A.

直接利用充要条件的判断方法判断充要条件即可.

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查逻辑推理能力.

6.答案：A

解析：解：由p6(0,1),随机变量《的分布列是

E(f)=-lxT+0x—+lx£=?；

方差是。=一()2X3+(0—『)2XT+CL—()2X：

1,

=_将_4P+1)

=-；(P-2)2+|.

所以当p在(0,1)内增大时，E(f)增大，D(f)增大.

故选：A.

根据题意计算随机变量f的分布列和方差，再判断P在(0,1)内增大时，EG)、的单调性.

本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

7.答案：B

解析：解：在长方体4BCD-&B1GD1中,

AB—BC=1,441—V3,

以。为原点,ZM为x轴,DC为y轴,。劣为z轴,

建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0),^(1,1,73).£>(0,0,0),

5(0,0,b)，8(1,1,0),

AB^=(0,1,V3).西=(0,0,遮)，DB=

(1,1,0),

设平面DD1aB的法向量为五=(x,y,z),

则产！5=但=°,取x=l,得”

(n-DB=x+y=0

设直线与平面。。避避所成角为仇

则."繇i=盍=4

・・・直线4B1与平面DD1&B所成角的正弦值为它.

4

故选：B.

以。为原点，。4为二轴，0C为y轴，。劣为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线4名与

平面DDiBiB所成角的正弦值.

本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

8.答案：D

解析：解：&，尸2分别为椭圆C：搐+，=1缶>6>0）的左、右焦点，P是C上一点,

满足PF2_LF/2，且IPF2I=IF1F2I，所以|PFi|=2VIc,

\PF2\+|PFi|=2&c+2c=2a,所以椭圆的离心率为e=^=V2-1.

故选：D.

利用椭圆的定义与性质，转化求解椭圆的离心率即可.

本题考查了与椭圆定义与性质的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题.

9.答案：A

解析：试题分析：作出函数负:礴4/一蚪，可知图中，施点坐标为朗说图中越点坐标为£-收”修

.令卜=圆=需=整医或窸=虬即图中。点坐标为点顺.由碰,*：9：®,且械獭=，联侬可

知，一窑虚士国"：：_噩.<题.由典唯=，展侬得产-叫=忖_q,即

渤急_豳=蹦:"蓊H,铲=毒•

所以/露=纵翦一，能脚=—爵i晶.令颜:璘=一d则因时旗=若然强=—3除:*翅速所

以当富图《一朝◎时，然歉懒<顿：当需图卜和醺时.，修窗龄*■.即蛾礴在『腐广缈上单调递减,

在G久颐上单调递墙所以啖褊，产教-等=-：!噬，即当题=3：窗=_2内时，岛有最小值-16.

考点：函数的图像、利用导数求函数单调性、利用单调性求最值

10.答案：c

解析：解：设向量五，B的夹角为氏则。€[0,网,

由伍|=2,|K|=1,a-b=y/2,

a-b_V2_V2

所以cos。=|a|x|fe|-2x1-T

所以向量区区的夹角为。=£

故选：C.

根据平面向量的夹角公式计算即可.

本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题.

11.答案：⑴(2)⑶(4)

解析：解：(1)双曲线——新=1中，叵_舟]

V5+1--~2

.•・双曲线/—怒=1是黄金双曲线，故(1)正确；

对于(2)••・e对于(2)匕2=ac,贝电=e=-=四叵=V1T7e2-e-

aa

1=0

解得e=与1或e=与店(舍)•••该双曲线是黄金双曲线，故(2)正确;

对于(3)如图，MN经过右焦点尸2且MN1&尸2，NM0N=90。，

_h2」

：•NF—OF?,：•一：•b2=ac

2a=c,9

由(2)知该双曲线是黄金双曲线，故(3)正确.

对于(4)如图，Fi，尸2为左右焦点，4为左右顶点，

凡(且尸$

0,b),B2(0,-/>),41&=900,

2

:.B[F/+禹=A2F1,即扭+2c2=(a+c),

整理，得/=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线，故(4)正确；

故答案为：(1)(2)(3)(4).

(1)利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解.

(2)求出双曲线的定义求出离心率，根据黄金双曲线的定义求解.

(3)根据条件求出双曲线的定义求出(2)的结论.

(4)根据条件求出离心率求出(2)的结论.

本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用.

12.答案：x—y-2=0.

解析：W：•••/(x)=%3+ax2-2久是奇函数，:/(—x)=—/(x)8P(—%)3+ax2+2x=—x3-ax2-

2x恒成立，即a=0

•••/(l)=l-2=-l,vfCx)=3x2-2f(l)=1,.•・其图象在点(1,一1)处的切线方程为x-y-

2=0

故答案为：x-y-2=0.

13.答案：270

解析：

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查二项式系数的性质，是基础的计算题.

由己知求得a,代入(ax-专产，写出二项展开式的通项，再由x的指数为2求得r值，则答案可求.

解：••,随机变量X-N(2,32),.•.正态分布曲线的对称轴为久=2,

又P(XS1)=P(X2a),•••等=2,得a=3.

二(ax-3A=(3x-2)5,

二项展开式的通项Tr+i=二•(3x)5-r•(-静=(-l)r-CJ-35-r-xs-2r.

令5—|r=2,得r=2.

二展开式一项的系数是(—1)2.《•33=270.

故答案为：270.

14.答案：包

10

2]

解析：解：函对于数/i(%)=2sin%+cos%=V^sin。+a),其中，cosa=^=,sina=^=,a为锐角.

当％=6时，函数取得最小值，.♦.遍sin(。+a)=-遍，即sin(6+a)=—1,cos(6+a)=0.

故可令8+a=—p即6=—a,故cos(。+[)=cos(——a')=cos(a+》=¥cosa-ysina=

氏2i、_g

2(遥遥)-io,

故答案为：逗.

10

利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的余弦公式

求出cos(0+9的值.

本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，两角和的余弦公式，属于中档题.

15.答案：(―8,一(-1,0)U《,+8)

解析：解：•.•向量Z=(r,2x),K=(3X,2).若五与方的夹角是钝角，

二五•b=—3/+4x<0,且为与b不共线，HPx(3x—4)>0,且算力学

解得x<0,且xR-g或x>[,故x的范围是(一8,-》u(-?,0)U6,+8),

故答案为：(―8,一u(―1，。)UG，+8).

由题意可得五不=—3/+4x<0,且(羊苧，由此解得x的范围.

本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，属于基础题.

16.答案：上巫

2

解析：解：由题意可得：

由倍角公式2sin2—=J5sin-4=、月x2sin—cos—,..tan—=J5,A—,

2222233

由sin(B-C)=2cosBsinC可得sinBcosC=3cosBsinC,依据正弦定理和余弦定理，那么

a24-62-c2_a2+c2-b12,^22

bx----------=3t7x----------,a2+-2o=0n,

2ab2ac

a2=52+/—2bccosA—b2+，+bc3c"—N+be=0,A(—)2———3=0

解得T即旦匕巫

AB2

故答案为1+、有.

2

17.答案:V3

解析：解：如图，过A作与8c平行的母线40,连接0D,

---------->

则N04D为直线04与BC所成的角，

/.OAD=

6

在直角三角形。。A中，tan£=1=1=«,

6133

解得；r=V3,

故答案为：V3

过4作与平行的母线AD,由异面直线所成角的概念得到乙。4。=?在直角三角形0D4中，直接由

O

ta暇=海到答案.

OI

本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题.

18.答案：解：已知等式整理得：2RsinAsinA—2RsinCsinC=(V2a—b)si九B,

即asizM-csinC=(V2a—b)sinB,

利用正弦定理化简M一c2=y/2ab-b2,

即a?+fe2—c2=\[2aby

・・・。为三角形内角，・・・。=45。，

'~^nc=2R，-c=2RsinC=V2/?,

・•.a2+b2—2R2=y/2aby

・•・2R2+V2ab=a2+b2>2ab,即ab<^7^=,

则S=-absinC=-ab<^--r=f

2442—V2

2

^\Smax=^R,此时a=b取得等号・

即4ABC的面积的最大值为业R2.

2

解析：本题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公

式是解本题的关键，属于中档题.

已知等式利用正弦定理化简，整理得到。2+炉-C2=应而，再利用余弦定理表示出COSC,将得出

关系式代入求出cosC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，利用正弦定理表示出c=&R,

代入a2+b2-c2=或必，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出三角形4BC面积的

最大值.

19.答案：(I)证明：••・四边形2BCD是矩形，

AD1CD,

•••平面ABCD1平面CDEF,平面4BCD介平面CDEF=CD,

AD1,平面CDEF,

•••CFu平面CDEF,•••AD1CF,

•.AF1CF,AFCiAD=A,

CFJL平面4DF.

(口)解：连接"交2。于点H,4BCD为矩形，则H为ZC中点，连接GH.

•••4/7/平面BOG,平面A"n平面BDG=GH,

AF//HG.AG为CF的中点.则詈=

(HI)解：在平面CDEF上作F。1CO,垂足为。，

•••平面CDEF为等腰梯形，AB=4,EF=2,0C=1,

•••平面ABCD1平面DCFE,二F01平面4BCD,

在平面4BCD中，作。MlCD交48于M,所以尸。1。“，

如图，以。为原点建立空间直角坐标系。-xyz.

则4(2,-3,0),5(2,1,0),C(0,l,0),£)(0,-3,0).

设尸(0,0,m),(m>0).

"AF1CF,AFCF=0,即(一2,3,?n)•(0,-l,m)=0,

所以0-3+m2=0,解得m=次.

设平面4BF的法向量为灰=(a,b,c),

而布=(-2,3,73)，AB=(0,4,0),

得自上功+但=。,得仁J'

令c=2,解得a=V5,b=0.所以元=(遮,0,2).

由(I)知(:尸_L平面4。尸,

：.CF=(0,-1,b)为平面4。9的法向量，

r、CF--n2>/32V3y[21

cos<CF'n>=而而=弟专=痂=丁.

由图知，二面角B-4F-D的平面角为钝角，

所以二面角B-AF一。的余弦值为—逅..

7

解析：(I)根据线面垂直的判断的定理进行证明即可.

(11)连接4(7交3。于点//,连接GH.利用线面平行的性质定理及三角形中位线定理可得结论；

(HI)以。为原点建立空间直角坐标系。-孙z所求值即为平面2BF的法向量与平面4DF的法向量的夹

角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可.

本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和应用，以及二面角的求解，建立坐标系求出平面的法向

量，利用向量法是解决本题的关键，是中档题.

20.答案：解：(I)设数列｛册｝是公比为q的等比数列，数列｛5｝是公差为d的等差数列，

23

由的=3,b2=a2>b5=a3+3,b8=a4,可得bi+d=3q,bA+4d=3q+3,b-i+7d=3q,

解得q=2,d=3,4=3,

则OjiuB-ZnT,%=3+3(n—1)=3n；

n-1

(II)证明：cn=log2y=log22=n-1,

1111111111

=111=1111=1<1.

cncn+11X22x3(n-l)n223n-1nn'

b2n6n_2n

(W)由(V3)fcn+1-(我)3(n+i)-3小

可设〃=£%高翁7=9+3+,+…+称，

2462n

三〃=m+石+鼠+…+即，

相减可得=：+：+»…+京一票7

_9总W)2n

化简可得商就匚=1-TF-

解析：(I)设数列｛an｝是公比为q的等比数列，数列｛%｝是公差为d的等差数列，运用等差数列和等比

数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式；

(II)由对数的运算性质求得q=n-l,再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；

")由母==丽瑞西=,，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求

和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减

法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.

21.答案：(1)设过点7(3,0)的直线，交抛物线般口=2x于点做巧/1)、•当直线I的斜率不存在时

4(3,质)、8(3,-质)一■.语.1函=兽当直线，的斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x—3),其中

[庐=禽葭]工

k手。.4"f得Ay?-2y-6%=0,则为为=一6.又•・,与=—*，x=—»

，渡=僦密-缪s22

•••谈.国=x62+y,2=:《购的:铲w，酬阳=综上所述，命题是真命题•

4'"

(2)逆命题是：“设直线I交抛物线y2=2x于4、B两点，如果赧，昭痂=多，那么该直线过点7(3,0).”，

假命题

解析：解析：

试题分析：(1)设过点T(3,0)的直线咬