专题08 旋转模型证全等（含解析）

第第页专题08旋转模型证全等（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台

专题08旋转模型证全等

1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）

A．1B．2C．5D．无法确定

2．如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝°．

3．如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则度．

4．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于．

5．如图，和都是等腰直角三角形，，，则度．

6．在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；

(2)当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；

(3)当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

7．已知如图，射线在的内部，．点分别在射线上，且．连结．

（1）如图1，若，延长到点，使，连接．求证：①≌．

②．

（2）如图2，若，其它条件不变，问题（1）中的线段之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．

8．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，．分别是上的点，且，请探究图中线段之间的数量关系是什么？

小明探究此问题的方法是：延长到点，使，连结．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段之间的数量关系是．

（2）拓展应用：如图2，在四边形中，，．分别是上的点，且．问（1）中的线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．

（1）操作发现

如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；

（2）猜想论证

当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

10．如图，在中，，点P为边上的一点，将线段绕点A顺时针方向旋转（点P对应点）．当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点E．

（1）求证：；

（2）若，求的面积；

（3）在（2）的条件下，点N为边上一动点，点M为边上一个动点，连接，求的最小值．

11．（1）如图，、、三点共线，，．

求证：；

（2）如图，在中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，

求的面积；

（3）在中，，，点在上，且，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要是点恰好落在射线上，求点运动的时间．

（2023观成周考）

12．（2023观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

13．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．

14．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．

15．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．

（1）求证：BE＝AD；

（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）

参考答案：

1．A

【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．

【详解】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，

∵∠EDF+∠FDC=90°，

∠GDC+∠FDC=90°，

∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，

所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．

故选A．

【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．

2．70

【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案．

【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，

∴△ABC≌△AED，

∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，

∴∠C＝＝＝70°．

故答案为：70．

【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单．

3．70

【分析】首先由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性质等角转换，即可得解.

【详解】解：由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，

∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，

∴∠CAA′=∠CA′A=45°

∵

∴∠BAC=25°

∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°

故答案为：70.

【点睛】此题主要考查利用全等三角形，旋转求解角度，熟练掌握，即可解题.

4．1

【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．

【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，

由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），

∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，

∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，

∴D、E、F三点共线，

又∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD（SSS），

∴，

∵AB=CD=AE=BC+DE，，

∴DF=CD=1，

∵，

∴．

故答案为：1．

【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

5．132

【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．

【详解】解：∵，∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴．

故答案为132

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.

【分析】（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；

（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；

（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．

【详解】解：（1）如图1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如图2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如图3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.

7．（1）①见解析；②见解析；（2）不发生变化，仍然有，理由见解析．

【分析】（1）①根据SAS即可证得结论；

②根据全等三角形的性质可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，进而可得∠EAF=∠GAF，然后根据SAS即可证明△EAF≌△GAF，可得EF＝FG，进一步即可证得结论；

（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，根据SAS可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，然后仿（1）题的思路证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，进而可得结论．

【详解】解：（1）证明：①如图1，在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）；

②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，，

∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，

∵GF＝DG+DF，BE＝DG，

∴BE+DF＝EF；

（2）不发生变化，结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如图3，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．

∵，，∴∠ABE=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

在△AEF和△GAF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF．

【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

8．（1）；（2）结论仍然成立；证明见解析．

【分析】（1）延长到点．使．连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；

（2）延长到点．使．连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题．

【详解】（1），

理由如下：

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案为：．

（2）结论仍然成立；

理由：延长到点．使．连结，如图2，

∵，，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，四边形综合题，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．

9．（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2

【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；

（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；

（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AEDADEB即可求解．

【详解】解：（1）如图1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴ABE＝90°，

∴AB⊥BE，

∵AB＝AD+BD，AD＝BE，

∴AB＝BD+BE，

故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．

（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵AD＝AB+BD，AD＝BE，

∴BE＝AB+BD．

②如图3中，结论：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，

∵BD＝AB+AD，AD＝BE，

∴BD＝AB+BE．

（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝5+7＝12，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB12×12＝72．

如图3中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB2×2＝2．

【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．

10．（1）见解析；（2）9；（3）4.8

【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据等角的余角相等证明即可；

（2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，利用“角角边”证明和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求得PC的长，再根据三角形面积公式计算即可；

（3）过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，再由等积法即可求出DN，即为MC+MN的最小值．

【详解】解：（1）证明：是旋转得到，

，

，

，，

，，

又

；

（2）如图，过点作于，

又，，

，

，

，

又，

，

在和△中，

，

△，

，

，

，，

，，

设，则，，

在中，，

解得，

，

∴△PBC的面积==9；

（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，

∴点D为C点关于BP的对称点，连接CD，

过D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此时H点即为N点，连接CM，

∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，

由等面积法得：

，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键．

11．（1）证明见解析；（2）8；（3）8

【分析】（1）由已知条件不难证明，再结合已知条件即可证明≌．

（2）将边AC绕点A逆时针旋转90°至，连接，根据旋转的性质得出对应的角度，进而证明四边形是直角梯形，用梯形的面积减去的面积即可得到的面积．

（3）类比第（1）问的证明过程，不难证明≌，即可得出OB=PC，由已知分别条件求出EC、OB的长度，即可得出EP的长度，即可得出点P的运动时间．

【详解】（1），

，

，

在与中，

≌．

（2）如图，将边AC绕点A逆时针旋转90°至，连接，

，，

由题意可得：，

∴

，

四边形是直角梯形，

=

=

=

=

=8；

（3），，

OB=2，

由题意可得：，OP=OF，

，

，

，

，

，

，

在与中，

，

≌，

OB=PC=2，

EP=EC+PC=6+2=8，

点P运动的时间为t=8÷1=8秒．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，是较为典型的一线三等角证明三角形全等，根据题意得出对应的角相等，从而证明三角形全等是解题关键．

12．（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β，理由见解析．

【分析】（1）利用SAS证出△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，然后根据三角形的内角和定理即可求出结论；

（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

（2）①当点D在线段BC上移动时，由（1）知α＋β=180°；

②当点D在BC延长线上移动时，如下图所示

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

③当点D在CB延长线上移动时，如下图所示，连接BE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC=∠BCE

∴α=β．

综上：当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β．

【