顾樵数理方程课件04 Nonhomogeneous Eq

非齐次方程的解法

顾樵

(Qiao

Gu)

InternationalInstituteofBiophysics,Germany

gu-qiao@gmx.de

求解非齐次方程的定解问题的基本方法：

本征函数法本征函数法的引入:弦振动有界弦的自由振动:弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解问题为：（1）（2）（3）弦振动:一般解一般解是按本征函数集的展开:将定解问题的解直接按本征函数集展开,而展开系数是时间

t的函数:（6）（4）（5）启示：显示：本征函数法:求时间解事实上，将展开式(6)代入方程(1),得到

两边关于比较系数：

它的通解为

与分离变量法的结果完全相同。(7)(8)本征函数集（，）边界条件本征函数集本征函数集（，）边界条件本征函数集一般情况:如何得到本征函数集？

对于齐次泛定方程和齐次边界条件，求解空间函数的边值问题：

即可得到本征函数集：本征函数法的要点和优点选择空间函数的本征函数集，写出泛定方程的形式解：将形式解代入泛定方程，直接得到时间函数的常微分方程，例如弦振动：3.本征函数法能用来求解齐次和非齐次泛定方程的定解问题有界弦的强迫振动:弦长度为L,两端固定,齐次初始条件。定解问题为：（9）（10）（11）

强迫弦振动非齐次泛定方程及齐次初始条件强迫弦振动由于相应的齐次问题

1.齐次方程；2.的本征函数集为故将现在的非齐次定解问题的解按该本征函数集展开,而展开系数是时间

t的函数:代入(9):（12）（13）(满足边界条件)强迫弦振动将自由项(已知函数)也按该本征函数集展开:是展开系数。将(14)代入(13)右边:（14）求解初值问题这个初值问题可用拉普拉斯变换方法求解（15）（16）拉普拉斯变换函数的拉普拉斯变换定义为积分这个积分的结果是参数p的函数，它称为函数的拉普拉斯变换的象函数，记为（原函数）（象函数）原函数导数的象函数

如果则有

证明：原函数导数的象函数

如果那么

卷积定理：由象函数求原函数卷积定理：如果象函数可以写成乘积形式：

而的原函数为则的原函数是的卷积：例题：由象函数求原函数已知象函数，求原函数解：注：由象函数求原函数的过程称为“反演”求解初值问题:拉普拉斯变换函数Tn(t)的拉氏变换:原函数象函数（15）（16）求解初值问题:拉普拉斯变换对(15)式两边作拉氏变换，给出代数方程:初值问题现在对反演,以求出（15）（16）求解初值问题:拉普拉斯变换由卷积定理得到原函数:有和象函数:（查表）强迫弦振动:结果代入最后得到

强迫弦振动有界弦的强迫振动:弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度,定解问题为：（8）（9）（10）非齐次泛定方程及任意初始条件强迫弦振动:最后结果非齐次方程:“合二为一”在实际应用中，往往不必分成两个定解问题，可以合二为一：直接设，代入方程及初始条件，求出展开系数。下面举例说明。有源热传导：定解问题有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：(1)(2)(3)有源热传导：本征函数法已知相应的齐次问题1.齐次方程，2.的本征函数集为故本定解问题的形式解为：为了后面的需要，将源项也按该本征函数集展开：其中(4)(5)有源热传导：本征函数法将(4)和(5)代入(1)和(2)

:（6）（7）（8）（9）即其中求解初值问题:拉普拉斯变换函数Tn(t)的拉氏变换:原函数象函数（8）（9）求解初值问题:拉普拉斯变换对(8)

式两边作拉氏变换，给出代数方程:初值问题现在对反演,以求出（8）（9）求解初值问题:拉普拉斯变换积分项表示热源的作用，它不存在时，约化为无源热传导的结果无源热传导利用傅里叶系数公式,得到C0是本征值

相应的特解X0(x)=A

例题：有源热传导

有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有周期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：(1)(2)(3)解：有源热传导的一般情况现在的条件：结果：作业

有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有周期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：(1)(2)(3)作业有界杆的长度为L，其两端保持绝热，已知杆内初始温度分布为常数T。求解具有放射性衰变的热传导方程的定解问题(其中A,为常数)：(1)(2)(3)解：有源热传导的一般情况:

现在的条件：本征函数法：泊松方程在环形区域内求解定解问题：

abxy用极坐标系(1)(2)考虑到相应的齐次方程的角向解：现在用它作为本证函数集，