电力系统分析第4章

第四章电力网络的数学模型节点导纳矩阵网络方程的解法节点阻抗矩阵4.1节点导纳矩阵一、节点方程 如图所示的简单电力系统 略去变压器的励磁功

率和线路电容，负荷用阻抗便可得到一个有5个节点和7条支路等值网络； 将电势源和阻抗的串联变

换成电流源和导纳的并联，得到的等值网络如图所示，其中：•

•I

1

=

y10

E1•

•I

4

=

y40

E44.1节点导纳矩阵4.1节点导纳矩阵

以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到

4个独立节点的电流平衡方程：

•

•

•

•

•

•

••

•

•

•

•

•y24(V4

-V2

)

+

y34(V4

-V3)

+

y40V4

=

I

4•

•

•

•y23(V3

-V2

)

+

y24(V3

-V4

)

=0y12(V2

-V1)

+

y20V2

+

y23(V2

-V3)

+

y24(V2

-V4

)

=0

•

•

•

•y10

V1+

y12(V1-V2

)

=

I1(4-1)4.1节点导纳矩阵上述方程经过整理可以写成

•

•=

0

=

0=

0=

I

4

Y42

V2

+

Y43

V3

+

Y44

V4Y32

V2

+

Y33

V3

+

Y34

V4•

•

•

Y21

V1

+

Y22

V2

+

Y23

V3

+

Y24

V4•

•

••

•Y11V1

+

Y12

V2•

•(4-2)4.1节点导纳矩阵式中Y11

=

y10

+

y12;Y22

=

y20

+

y23

+

y24

+

y12;Y33

=

y23

+

y34;Y44

=

y40

+

y24

+

y34;Y44

=

y40

+

y24

+

y34;Y12

=Y21

=-y12;Y23

=Y32

=-y23;Y24

=Y42

=-y24;Y34

=Y43

=-y344.1节点导纳矩阵一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个节点方程

•

•

••

•

•

Yn1

V1

+Yn2

V2

+

+Ynn

Vn

=

In

Y21

V1

+Y22

V2

+

+Y2n

Vn

=

I2

•

•

•

•Y11

V1

+Y12

V2

+

+Y1n

Vn

=

I1（4-3）4.1节点导纳矩阵上式也可以用矩阵写成

•

•••

I

n

V

n

VY

nn

YY

Y

Y

Y

Y

=

I

2

I

1

V1

Yn

2

Yn

12

n

2

22211

n1211(4-4)或缩记为YV

=

IYii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和；Yij节点i，j间的自导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值4.1节点导纳矩阵二、节点导纳矩阵元素的物理含义如果令•

•Vk

„0,

Vj

=0 (

j

=1,2,

,n,

j

„k)kiikVI•••Y

=V

j

=

0

,

j

„

k代入（4－3）各式(4-6)Yii

=

yi

0

+

yij(4-7)j式中，yi

0

为节点i与零电位点之间的支路导纳；4.1节点导纳矩阵当

k

=

i

时，公式（4-6）说明，当网络中除节点i

以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点i

的电压之比，即等于节点i

的自导纳，4.1节点导纳矩阵时，公式（4-6）说明，当网络中除节之间的互导纳k

„

i的电流同施加于节点k的电压之比。即等于节点k，即YikYik=

-yik（4-8）与i当点

k

以外所有节点都接地时，从节点

i

流入网络4.1节点导纳矩阵三、节点导纳矩阵的修改（1）从网络的原有节点i引出一条导纳为

yik

的支路，Ykk=

yik

,

Yik

=

Yki

=

-yik

,

Ykj

=

0

j„i

,

DYii

=

yik同时增加节点

；k修改：导纳矩阵增加一行一列，且4.1节点导纳矩阵修改：则：（2）在网络原有节点

i,

j

之间增加一条导纳为

yij

的支路；DYii

=

DYjj

=

yij

,

DYij

=

DYji

=

-yij其余元素不必修改。（3）在网络的原有节点i,j

之间切除一条导纳为yij

的支路；修改：相当于节点i,j

之间增加一条导纳为-yij

的支路，DYii

=

DYjj

=

-yij

,

DYij

=

DYji

=

yij4.2网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程用按列消元的算法求解方程组（4-3），完成第一次消元后可得：式中

•••

•(1)(1)(1)(1)(1)V

=

IYnn

n

2

n

2

2

V

+

+YY22

(1)

V2

+

+Y2n

Vn

=

I2•

•

•Y11

V1

+Y12

V2

+

+Y1n

Vn

=

0111(1)11(1)IYY;

IYY

YYi1ii1

j1ijij

=

I

-=

Y

-4.2网络方程的解法对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为

=

(2)(2)(2)33(1)2322nn

n33n2n(2)YYY

(1)

(1)

Y11

Y12

Y13

Y

(2)

Y

YY

Y

Y1n(n-1)次消元后4.2网络方程的解法

=

22(n-1)nnii

in2iYY1n

Y11

Y12Y

(n-1)Y

(i-1)

Y

(i-1)

2n

Y

(1)

Y

(1)

Y

(1)

Y1i

（4-13）k

=1kk-

ik

kj

ijijY

(k

-1)i-1

Y

(k

-1)Y

(k

-1)=

YY

(i-1)其中(i

=

1,2,

,

n;

j

=

i,

i+1,

n)4.3节点阻抗矩阵一、节点阻抗局阵元素的物理意义在电力系统计算中，节点方程也常写成阻抗形式，即式中，（4-19）称为网络的节点阻抗矩阵。方程式（4-19）可展开写成ZI

=

VZ

=

Y

-1

•

••

••

•

V

n

In

Znn

Z

Z

Z

V

1

I1

Zn

2

Zn12n

I2

=

V

2

2221Z1n

Z11

Z12（4-20）4.3节点阻抗矩阵或者写成的自阻抗或输入阻抗