第七章 理想气体的有旋流动和无旋流动

第七章理想气体的有旋流动和无旋流动第1页，课件共79页，创作于2023年2月第七章 理想流体的有旋流动和无旋流动§7.1

微分形式的连续方程§7.2

流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动§7.3

理想流体的运动微分方程§7.4

欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程§7.5

理想流体的定解条件§7.6

涡线涡管涡束涡通量§7.7

速度环量斯托克斯定理§7.8 汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理§7.9 有势流动速度势和流函数流网第2页，课件共79页，创作于2023年2月第五章 管流损失和水力计算§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加§7.12平行流绕过圆柱体无环流的平面流动§7.13平行流绕过圆柱体有环流的平面流动库塔-儒可夫斯基公式第3页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x,y,z三方向速度：vx,vy,

vz密度：

一、微分形式的连续方程第4页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程x轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流入的流体质量：右面微元面积流出的流体质量：x轴方向流体的净流出量：第5页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程y轴方向流体的净流出量：同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出z轴方向流体的净流出量：x轴方向流体的净流出量：第6页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化微分形式的连续方程第7页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程矢量形式：可压缩流体的定常流动：不可压缩流体的定常或非定常流动：第8页，课件共79页，创作于2023年2月§7.1微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体的定常流动：二维不可压缩流体的定常或非定常流动：第9页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动刚体运动:移动、转动流体运动:移动、转动、变形控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。E形心处速度：vx,vy,vzE点处速度：一、流体微团上各点速度的表示第10页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动各角点处x方向速度：E第11页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解以平面运动为例第12页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)1.移动

各角点的速度分量中都包含vx,vyx方向移动速度：vxz方向移动速度：vzy方向移动速度：vy第13页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)1.移动

各角点的速度分量中都包含vx,vyx方向移动速度：vxz方向移动速度：vzy方向移动速度：vy第14页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)2.线变形运动A和D、B和C间的x向速度分量差:x方向线应变速度：z方向线应变速度：y方向线应变速度：C和D、B和A间的y向速度分量差:第15页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)3.角变形运动和旋转A和D、B和C间的y向速度分量差:C和D、B和A间的x向速度分量差:结果:(1)AD边和BC边逆时针旋转微元角度(2)AB边和DC边顺时针旋转微元角度第16页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)3.角变形运动和旋转(续)(1)角变形运动角变形角变形速度:每秒内一个直角的角度变化量第17页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)3.角变形运动和旋转(续)(2)旋转运动旋转旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值第18页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动二、流体微团运动的分解(续)第一项：平移运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动第19页，课件共79页，创作于2023年2月§7.2流体微团运动的分解有旋流动和无旋流动三、有旋流动无旋流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动流体微团的旋转角速度等于零的流动有旋流动:无旋流动:无旋流动有旋流动第20页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x,y,z三方向质量力：fx,fy,

fz压强：p第21页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)x轴方向的受力左面中心受力：右面中心受力：质量力：x方向的运动微分方程：第22页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)同理,y、z方向的运动微分方程。欧拉运动微分方程式矢量形式第23页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程一、欧拉运动微分方程式(续)第24页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程二、兰姆运动微分方程式第25页，课件共79页，创作于2023年2月§7.3理想流体的运动微分方程二、兰姆运动微分方程式(续)兰姆运动微分方程式

兰姆运动微分方程式直接反映了流体流动的特性.即不仅包含线速度,也包含角速度.第26页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(1)流动是定常的(2)质量力是有势的(3)流体不可压缩，流体是正压流体1.前提条件第27页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(续)2.常见的正压流体(1)等温流动的可压缩完全气体(2)绝热流动的可压缩完全气体(3)不可压缩流体第28页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程一、两个积分式的前提条件(续)3.前提条件下的兰姆方程第29页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、欧拉积分式无旋流动第30页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、欧拉积分式(续)

方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加欧拉积分式物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作无旋流动，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。第31页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程三、伯努利积分式有旋流动第32页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、伯努利积分式(续)

方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz三式相加第33页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程二、伯努利积分式(续)伯努利积分式物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。第34页，课件共79页，创作于2023年2月§7.4欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程三、伯努利方程伯努利方程质量力仅仅是重力不可压缩流体物理意义：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于有旋流动，沿同一条流线单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于无旋流动，在整个流场中总机械能保持不变.第35页，课件共79页，创作于2023年2月§7.5理想流体流动的定解条件表述流动的方程(4个)方程中的未知量(5个)补充方程:或第36页，课件共79页，创作于2023年2月§7.5理想流体流动的定解条件一、起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。定常流动：无需起始条件。非定常流动：必须起始条件。第37页，课件共79页，创作于2023年2月§7.5理想流体流动的定解条件二、边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件固体壁面上的运动学条件:不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：固体壁面静止第38页，课件共79页，创作于2023年2月§7.6涡线涡管涡束涡通量

一、涡线

一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。涡线的微分方程第39页，课件共79页，创作于2023年2月§7.6涡线涡管涡束涡通量

二、涡管

在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。三、涡束

涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量

旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。第40页，课件共79页，创作于2023年2月§7.7速度环量斯托克斯定理

一、速度环量

速度在某一封闭周线切线上的分量沿该粉笔周线的线。

速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。第41页，课件共79页，创作于2023年2月§7.7速度环量斯托克斯定理

二、斯托克斯定理1.微元封闭周线的斯托克斯定理沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。证明:第42页，课件共79页，创作于2023年2月§7.7速度环量斯托克斯定理

二、斯托克斯定理(续)2.平面上有限单连通区的斯托克斯定理

沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。证明:第43页，课件共79页，创作于2023年2月§7.7速度环量斯托克斯定理

二、斯托克斯定理(续)3.空间表面上的斯托克斯定理

沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。第44页，课件共79页，创作于2023年2月§7.8汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理一、汤姆孙定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。第45页，课件共79页，创作于2023年2月§7.8汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理二、亥姆霍兹旋涡定理1.亥姆霍兹第一定理

在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同2.亥姆霍兹第二定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。3.亥姆霍兹第三定理

在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。第46页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网一、有势流动速度势

不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，故无旋流动也称有势流动。上式是成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，函数称为速度势函数。1.有势流动第47页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网一、有势流动速度势(续)2.速度势势函数的微分方程第48页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网一、有势流动速度势(续)3.速度势的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数（2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。（3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。第49页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网二、流函数1.流函数存在的条件不可压缩流体的平面流动上式是成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，函数称为流函数。第50页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网二、流函数(续)2.流函数流函数的微分方程第51页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网3.流函数的性质（1）速度与流函数的关系（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。（3）在平面流动中，流函数满足拉普拉斯方程。二、流函数(续)第52页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网三、流网1.速度势和流函数的关系等势线簇和流线簇相互垂直。第53页，课件共79页，创作于2023年2月§7.9有势流动速度势和流函数流网三、流网(续)2.流网在平面上，等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网。第54页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动一、平行流1.流动描述流体作等速直线流动，流场中各点速的大小和方向都相同。2.势函数的确定3.流函数的确定第55页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动一、平行流(续)4.等势线和流线方程等势线流线5.流网xyo第56页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动二、点源和点汇1.流动描述点源——在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。点汇——在无限平面上流体沿径向直线均匀地从各方流入一点。第57页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动二、点源和点汇(续）2.势函数的确定3.流函数的确定第58页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动4.等势线和流线方程等势线流线5.流网二、点源和点汇(续）第59页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动三、涡流和点涡1.流动描述涡流——有一直线涡束，该涡束好象刚体一样地以等角速度绕自身轴旋转，涡束周围的流体也将绕涡束轴产生环流，这种以涡束所诱导出的平面流动，称为涡流。点涡——涡束半径rb趋于0，则成为一条涡线，这样的涡流称为点涡第60页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动2.势函数的确定3.流函数的确定三、涡流和点涡（续）第61页，课件共79页，创作于2023年2月§7.10几种简单的不可压缩流体的平面流动4.等势线和流线方程等势线流线5.流网三、涡流和点涡（续）第62页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加一、叠加原理叠加公式1.叠加原理(1)几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。(2)几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新无旋流动的速度势函数和流函数。(3)新无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。2.叠加公式第63页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加二、螺旋流1.流动描述同一点上点汇和点涡的叠加2.势函数和流函数的确定点汇的势函数和流函数点涡的势函数和流函数螺旋流的势函数和流函数第64页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加二、螺旋流(续)3.等势线和流线方程4.流网等势线流线5.速度的确定第65页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加三、偶极流1.流动描述同一点上A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇的叠加2.点源和点汇的叠加位于点A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇的叠加第66页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加三、偶极流(续)3.偶极流的势函数和流函数点源和点汇无限接近，即a→0，便得到一个无旋的偶极流。2aqv→M保持一个有限常数，M称为偶极矩。第67页，课件共79页，创作于2023年2月§7.11几种简单的平面无旋流动的叠加3.等势线和流线方程4.流网等势线流线三、偶极流(续)第68页，课件共79页，创作于2023年2月§7.12平行流绕过圆柱体无环流的平面流动1.流动描述

一个速度为V的均匀平行来流，对半径r0的无限长圆柱体作横向绕流，该流动可认为是由平行流和偶极流叠加而成。2.势函数和流函数的确定平行流的势函数和流函数偶极流的势函数和流函数无环量绕流的势函数和流函数第69页，课