第七章 谐振子

第七章谐振子第1页，课件共30页，创作于2023年2月Manycomplicatedpotentialcanbeapproximatedinthevicinityoftheirequilibriumpointsbyaharmonicoscillator.TheTaylorexpansionofV(x)atequilibriumpointx=aisHamitonnianfunctionofanoscillatorwithmassmandoscillatingfrequencyω0canbewrittenStationarySchrodingerequation第2页，课件共30页，创作于2023年2月Referencingthebookeditedby曾谨言，wesolvetheSchrodingerequation.Introducetheno-dimensionparameters(无量纲参数)Weget(boundarycondition),(1)(2)Wegetanasymptoticsolution(试探解)第3页，课件共30页，创作于2023年2月Insert(2)to(1),getThisisHermite(厄米)differentialequationAtthevicinityof

=0,u(

)isexpandedtheTaylorseries.Only

willsatisfiestheboundarycondition()(4)Thereforethecondition(4)issatisfied,wecangetthesolutionwhichisallowedinphysicsfield.Accordingto(3)第4页，课件共30页，创作于2023年2月EnergyeigenvalueofharmonicoscillatorEnergylevelisdiscrete.Theenergygapisidentical.Theenergylevelofgroundstate(zeropointenergy)isnotzero.第5页，课件共30页，创作于2023年2月Thesolutionofequation(3)isHermitepolynomials(厄米多项式).TheeigenfuctionandenergyofharmonicoscillatorareNormalizedconstant第6页，课件共30页，创作于2023年2月SomemostsimpleHermitepolynomialsH0=1,H1=2,H2=4

2

2,H3=8312,……ThebasicpropertiesofHermitepolynomials(Thedefinition)Twoimportantandusefulrelations第7页，课件共30页，创作于2023年2月n=0:n=1:n=2:Thefirstthreeeigenfunctionsofharmonicoscillator第8页，课件共30页，创作于2023年2月ThesymmetrypropertyWhenniseven,positiveparity(n为偶数，偶宇称)Whennisodd,negativeparityIngeneral第9页，课件共30页，创作于2023年2月Groundstate

Theenergyandwavefunctionofgroundstate(n=0)Theprobabilityfindingaparticleatx=0ismaximum,whichiscontrarytoclassicalparticle.Foraclassicalharmonicoscillator,whenx=0,itspotentialisminimumandkineticenergyismaximum,hencetheintervalwhichitdelaysatx=0isshortest.第10页，课件共30页，创作于2023年2月Inclassicalmechanics,aparticlewithgroundstateenergyE0motionsintherangeAccordingtoquantummechanics,theprobabilityfindingaparticleoutsidetheclassicalallowedrangeisn＝15xW(x)wclwqu第11页，课件共30页，创作于2023年2月ZeropointenergyisadirectconsequenceoftheuncertaintyrelationSincetheintegrand（被积函数）isanoddfunction,第12页，课件共30页，创作于2023年2月WecanwriteuncertaintyrelationagainThemeanenergyTheminimumenergyiszeropointenergy,whichiscompatiblewithuncertaintyprinciple.第13页，课件共30页，创作于2023年2月ThenormalizationeigenfunctionofharmonicoscillatorAccordingtotheserelations,wegetThedescriptionoftheHarmonicOscillatorbyCreationandAnnihilationoperators（产生算符和湮灭算符）第14页，课件共30页，创作于2023年2月Hence(1)(2)第15页，课件共30页，创作于2023年2月Byadditionorsubtractionof(1)and(2),wegetWedefinetheoperatorsHenceâiscalledtheloweringoperator(降幂算符),â+theraisingoperator(升幂算符).第16页，课件共30页，创作于2023年2月Thenumberoperator(数算符)第17页，课件共30页，创作于2023年2月Bysuccessivelyoperatorâ+on,wecancalculatealltheeigenfunctions,staringfromthegroundstate.Forn=0TheeigenfunctionofgroundstateThenormalizedeigenfunction第18页，课件共30页，创作于2023年2月One-dimensionHamiltonianharmonicoscillatorWeintroduceHence3.RepresentationoftheOscillatorHamiltonianinTermsofâandâ+第19页，课件共30页，创作于2023年2月Accordingtothedefinitionsofâandâ+,getWeobtainasimpleHamiltonianrepresentationEigenvalue第20页，课件共30页，创作于2023年2月基态ψ0所具有的零点能量为ħω/2,而且我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,我们将该能量以能量量子ħω分成n份(谐振子场中的量子),称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),在Dirac’s表象中表示为表示声子数，零声子态(zero-phononstate)。称为真空。应用上面的表述,算符â和â+作用于波函数可表示成解释:如果â

作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.4.Interpretationofâandâ+第21页，课件共30页，创作于2023年2月由于称为声子数算符(phononnumberoperator),n为相应态的子数.声子表象的引入被称为二次量子化,而谐振子波场中的量子正是声子.如果与光子相类比的话,就更清楚了.â|3>annihilationofaphononâ

+2|1>creationoftwopohonons谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图En/ħω7/25/23/21/2x第22页，课件共30页，创作于2023年2月Example1UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,prove第23页，课件共30页，创作于2023年2月Solution:

n(x)istheeigenfunctionofharmonicoscillator,andcanbewritten第24页，课件共30页，创作于2023年2月HamitonnianofthecouplingharmonicoscillatorcanbewrittenExample2wherex1,p1andx2,p2belongtodifferentfreedomdegree,andsetProblem:theenergylevelofthiscouplingharmonicoscillator.第25页，课件共30页，创作于2023年2月Solution:ifthecouplingtermx1x2isnotexists,thecouplingharmonicoscillatorbecomestwo-dimensionoscillator,andthenitsHamitanianisgivenbyUsingseparatingvariable,wecantransformtheabovequestionintothequestionoftwoindependentone-dimensionharmonicoscillator,thenitsenergylevelandeigenfunctionarewhereisenergyeigenfunctionofone-dimensionoscillator第26页，课件共30页，创作于2023年2月Forthecouplingharmonicoscillator,wecansimplifyittwoindependentharmonicoscillatorusingcoordinatetransformation,sowesetWecaneasilyprovethefollowingexpressions第27页，课件共30页，创作于2023年2月ThereforeHamitanianbecomes

WhereHence第28页，课件共30页，创作于2023年2月1.UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,proveExercisewhere第29页，课件共30页，创作于2023年2月2.Aparticleisinthegroundstateofone-dimensionharmonic