函数y=Asin(ωxφ)(1)课件高一上学期数学人教A版

函数y=Asin(ωx+φ)(1)问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图-2）.探究一：匀速圆周运动的数学模型假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？思考：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？分析：如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过ts后，盛水筒M从点

运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置

以及所经过的时间t.以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t=0时，盛水筒M位于点

，以Ox为始边，

为终边的角为φ，经过ts后运动到点P(x,y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，并且有

y＝rsin(ωt＋φ）．

①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是

H＝rsin(ωt＋φ）+h．

②函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质.探究二：函数y=Asin(ωx+φ)的图象上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin(ωx+φ)其中(A＞０,ω

＞０)的函数.显然.这个函数由参数A,

ω

,

φ所确定．因此,只要了解这些参数的意义,知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质．思考：从解析式看,函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx＋φ)在A=1

,

ω=1

,

φ=0时的特殊情形．(1)能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数

A

,

ω,

φ

对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响？(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究.

当起点位于Q0时(此时φ=0)，经过xs后运动到点P,那点P的纵坐标y就等于sinx.以(x,y)为坐标描点，可得函数y=sinx的图象.P---11-M取A=1,ω=1，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动.当起点位于Q1时(此时φ=)，经过

s后运动到点P,那么点P的纵坐标y也等于sinx.以(,y)为坐标描点，可得函数y=sin(x+)的图象.1.探索φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响所有点向左平移个单位长度从质点的匀速圆周运动规律来分析：以Q0为起点到达点P，所用时间为

s，纵坐标为

.

以Q1为起点到达点P，所用时间为

s，纵坐标为

.

思考:(1)如果φ取，，对应的函数图象如何变化呢？(2)根据上面的研究，归纳出φ对函数y=sin(x+φ)图象影响的一般化结论.

所有点向右平移个单位长度所有点向左平移个单位长度所有点向右平移个单位长度所有的点向左(

>0)或向右(

<0)平移||

个单位y=sinxy=sin(x+

)

的变化引起图象位置发生变化(左加右减)平移变换一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为

时，对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移|

|个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象.归纳总结练习课本240页取A=1,

，当ω=2时，以Q1为起点到达点P，所用时间为

s，纵坐标为

.

由于ω=2时,动点的转速是ω=1时的2倍，P圆心角α=ω×tP当ω=1时，以Q1为起点到达点P，所用时间为

s，纵坐标为

.2.探索ω（ω

＞０）对y=sin（ωx+φ

）图象的影响所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）(2)根据上面的研究，归纳出ω对函数y=sin(ωx+φ)图象影响的一般化结论.

思考:(1)如果对应的函数图象如何变化呢？所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）所有的点横坐标缩短(

>1)或伸长(0<

<1)倍周期变换y=sinxy=sin

x纵坐标不变

决定函数的周期:归纳总结一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的周期是

，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象.

练习课本240页取ω=2,

，当A=2时，以T1为起点到达点T，所用时间为

s，纵坐标为

.

当A=1时，以Q1为起点到达点P，所用时间为

s，纵坐标为

.

3.探索A(

A＞0)对y=sin(ωx+φ

)图象的影响所有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变）思考:(1)如果A取,3,

对应的函数图象如何变化呢？(2)根据上面的研究，归纳出A对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的一般化结论.

所有点的纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变）所有点的纵坐标伸长到原来的

倍（横坐标不变）所有点的纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变）振幅变换y=sinxy=Asinx所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)A倍横坐标不变A的大小决定这个函数的最大(小)值y=Asinx，xR的值域是[－A,A]，最大值是A，最小值是－A.归纳总结一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[-A,A]，最大值是A，最小值是-A.练习课本240页思考：你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的过程与方法吗？过程一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象，可以用下面的方法得到：先画出y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左(或向右)平移|

|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为到原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.方法步骤1步骤4步骤3步骤2

最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）而得到函数这一过程的步骤如下:练习1-12-2ox3-3y这是按先平移后变周期顺序的变换.1-12-2ox3-3y这是按先伸缩后平移顺序的变换.1.若先平移再伸缩，则平移的单位；2.若先伸缩再平移，则平移的单位.反思归纳随堂检测课本239页y=sinxy=sin(x+

)横坐标缩短

>1(伸长0<<1)到原来的倍y=sin(

x+

)纵坐标伸长A>1(缩短0<A<1)到原来的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)向左

>0(向右

<0)按先平移后变周期顺序的变换：平移