2022年上海育才学校高三数学文上学期摸底试题含解析

2022年上海育才学校高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题．2.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之． 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3）， 则向量==（﹣7，﹣4）； 故答案为：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 3.已知全集，集合,集合,则为

A、B、C、D、参考答案：B说明：

4.已知函数f(x)=|x－a|，g(x)=+1若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（1+，+∞）C．（－∞，－2]∪[1+，+∞）D．（－∞，－2）∪（1+，+∞）

参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】首先根据函数的表达式画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围．【解答】解：画出函数和y=|x﹣a|的图象，（如图）由图可知，当且仅当直线y=a﹣x与函数y=的图象相切时，有2解，∴此时a＞2，x＜a，y=a﹣x代入y=，可得：x2+（1﹣a）x+2=0，△=（1﹣a）2﹣8=0，解得a=1+2，要有3个交点，可得a＞1+2，函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣2．综上a．故选：D．5.已知集合，，则A∩B=(

)A. B.或≤C.或 D.或参考答案：B【分析】先将集合中表示元素的范围求出，然后再求两个集合的交集.【详解】，∴或≤故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.6.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．7.函数的图象大致是参考答案：B8.设，且，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则A．-2 B．2 C．0 D．参考答案：B10.若，则（

） A．

B．C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知，，则_______.参考答案：【分析】设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.12.设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前

项的和______________．参考答案：由题意知，又，所以，所以。13.从的映射，则的原象为

.参考答案：14.设为锐角，若，则的值为

．参考答案：15.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于______.参考答案：

16.已知曲线存在垂直于轴的切线，且函数在上单调递减，则的范围为

．参考答案：；17.在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为

．参考答案：【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，∴由题意得，解得t=1．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，∴三人中恰有两人应聘成功的概率：P=+=．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++（1﹣）×=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ

0

1

2

3PEξ=+=t+，由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，又0＜t＜2，∴1＜t＜2，∴（ξ）＜．【点评】：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC.（1）求证：DP=DEDF；（2）求证：CE·EB=EF·EP．参考答案：证明（1）∵DE2=EF·EC，∴DE:CE=EF:ED．

∵DDEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED．∴DEDF=DC．

∵CD∥AP，

∴DC=DP．

∴DP=DEDF．----5分

（2）∵DP=DEDF，

DDEF=DPEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE:PE=EF:EA．即EF·EP=DE·EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．

10分略20.在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且．

(1)求的取值范围；

(2)就(1)中的取值范围，求函数的最大值、最小值．参考答案：解

(1)∵，，

又，

∴，即

．

……………4分

∴所求的的取值范围是.

………………7分

(2)∵，

9分

∴，.

11分

∴.

14分略21.在中,角所对的边分别为.已知.（I）求；（II）若，的面积为，求.参考答案：17.（I）由已知及正弦定理，得，

4分因为，所以，

5分又因为，所以.

6分（II）由余弦定理，可得，将代入上式，得，解得，

10分的面积为，解得.

12分22.（本小题满分12分）已知向量，且A为锐角。（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域。参考答案：解析：（Ⅰ）