概率论与数理统计试题题库

自测题(第一章)一、选择题(每小题3分，共15分)：.在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示“选出的学生是男生”，B表示“选出的学生是三年级学生”，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含义是( ).(A)选出的学生是三年级男生；(B)选出的学生是三年级男子篮球运动员；(C)选出的学生是男子篮球运动员；(D)选出的学生是三年级篮球运动员；.在随机事件A,B,C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( ).(A)ACUBC (B)ABC(C)ABCUABCUABCC (D)AUBUC.甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,设A为甲胜，B为乙胜，则甲胜乙输的概率为().(A)0.6x0.6 (B)0.6—0.6x0.4(C)0.6—0.4 (D)0.6.下列正确的是( ).(A)若P(A)>P(B)，则B三A (B)若AuB，则P(A)>P(B)(C)若P(A)=P(AB)，则A三B (D)若10次试验中A发生了2次，则P(A)=0.2.设A、B互为对立事件，且P(A)>0,P(B)>0，则下列各式中错误的是().(A)P(BIA)=0(B)P(AIB)=0(C)P(AB)=0 (D)P(AUB)=1解：1.由交集的定义可知，应选(B).由事件间的关系及运算知，可选(A).基本事件总数为C4，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为C1=5,故P(A)=g，故8 5 C48应选(。)。.由题可知ArA2互斥，又0<P(B)<1,0<P(A1)<1,0<P(A2)<1，所以P(A1BUA2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)故应选(C)。.因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1,P(AB)=0,又P(A)>0,P(B)>0,所以B=A，因而P(B1a)=P(A|A)=1,故选(A)二、填空题(每小题3分，共15分)：.A、B、C代表三件事，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为..已知P(AB)=-1,P(AB)=P(A)P(B),P(AB))=P(AB)，则P(A)= .16.A、B二个事件互不相容，P(A)=0.8,P(B)=0.1,则P(A—B)=..对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为).4,0.5,0.7，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.,»八 〜一…、…、1 … i9.设A、B、C两两相互独立，满足ABC=①,P(A)=P(B)=P(C)<-，且已知P(A+B+C)=—，则2 16P(A)=.解：1.AB+BC+AC

.VA、B相互独立， ・•・P(AB)=P(A)P(B)・•・P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6.A、B互不相容，则P(AB)=0,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.8.设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为ABC+ABIC+ABC，即有P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.36.甲产品滞销或乙产品畅销。三、判断题(正确的打y"，错误的打“X”，每小题2分,共10分)：.设A、B为任意两个互不相容事件，则对任何事件C,AC和BC也互不相容.[].概率为零的事件是不可能事件. [].设A、B为任意两个事件，则P(A-AB)=P(A)-P(AB). [].设A表示事件“男足球运动员”，则对立事件A表示“女足球运动员”.[].设P(A)=0，且B为任一事件，则A与B互不相容，且相互独立.[]解：1.正确2.不正确3.正确4.不正确5,不正确四、(6分)从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率.解：设A表示事件”12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由P12乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212,而事件A所包含的形式有P12种，则P(A)=十=0.000054。12 1212111五、(6分)3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为1,-,若让他们共同破译的概率是多少？534解：设A.表示“第i人能译出密码”，i=1,2,3,A1，A2,A3相互独立，A表示“密码译出”，则A=4•A2-A3・•.p(A)=1-p(A)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)二1-a一go一颉一*I六、(10分)已知一批产品的次品率为4%,今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02,而次品被误认为是正品的概率为0.05,求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率.解：设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品依题意有=99.8%P(B)P(AIB) _ 0.96x=99.8%P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)—0.96x0.98+0.04x0.05七、(10分)假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件,现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回)试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.解：设BrB2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20,12,24件的箱子，A「A2分别表示第一、二次选出的为一等品,依题意,有P(A1)=P(B1)P(A1IB1)+P(B2)P(A1IB2)+P(B3)P(A1IB3)7=一7=一=0,46715一• +-• +—• 350330340

P(P(AA)=2P(B)P(AAIB)=i=1-x—x—+-x—x—+-x—x—=0.220350493302934039八、(10分)设P(A)=i,P(B)=P(P(A1A2)=2P(H)P(A1A21 ,-1,若AB=①，求P(BA)；2,若AuB，求P(BA)；3,若P(AB)=-，求P(BA).8丁 一 1解：1.P(bA)=P(B)-P(AB) 因为A,B互斥，故P(AB)=0,而由已知P(B)=-・•・P(BA)=P(B)=211•・,P(A)=3，由AuB知：P(AB)=P(A)=3111・•・P(BA)=P(B)-P(AB)=---=-2361 7 113P(AB)=- ・•・P(BA)=P(B)-P(AB)=---=-8 288九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂.两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05,一件不合格品被认为合格的概率为0.01,已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率.解：设",表示报名表是第i个地区考生的(i=1,2,3),A.表示第j次抽到的报名表是男生表(j1=1,2),则1P(H1)=P(H2)=P(H3)=37 8 20P(AIH)=—； P(AIH)=—； P(A,IH)=一1J10 12，15'v13725⑴p=P(A)=2P(H)P(AIH)=1 i1ii=11(一310155+——)2529907(2)由全概率公式得P(A2IH.)=-2 1 108P(A21H2)=正10P(A21H3)=名- 7 - 8 - 5P(A1A2IH1)=30，P(A1AIH2)=30，P(A1A2IH3)=30P(A2)=2i=1P(H)P(AIH)=1(—+_8_+4)=_6!- 3101525 90Ih)=1—+5)=2330300 9因此,q=P(A114)=P(Aaj29 20P(A) 61 612 90十、(8分)设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(AIB)+P(AIB)=1,试证事件A与B相互独立.证明：•・•0<P(A)<1,0<P(B)<1・•・P(AIB)=PAB),P(AIB)=哩=1一P(A+B)

() P(B) P(B) 1—P(B)

_1—P(A)—P(B)+P(AB)= 1-P(B)又•・,P(AIB)+P(AIB)=1.1-P(A)-P(B)+P(AB)_P(B)-P(AB)一 1-p(b) PB化简，得：P(AB)=P(A)P(B)・•・事件A、B相互独立自测题(第二章)一、选择题(每小题3分，共15分)：TOC\o"1-5"\h\z.设随机变量X的分布律为P{X=k}=株k(k=1,2,…)，则( ).(A)0＜九＜1，且b=1-X-1 (B)0＜九＜1，且b=X-1(C)0＜九＜1，且b=九-1-1 (D)0＜九＜1，且b=1+X-1.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-x_2x，则( ).(A)二 (B)~^= (C) (D)^2=飞冗 e:e兀 e、R e、:兀.设随机变量X的概率密度和分布函数分别是f(x)和F(x)，且f(x)=f(-x)，则对任意实数a，有F(-a)=( ).(A)1-F(a) (B)1+F(a) (C)2F(a)-1 (D)1-F(a)2 2.设相互独立的随机变量X,Y具有同一分布，且都服从区间［0，1］上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是( ).(A)(X,Y) (B)X+Y(C)X-Y(D)X2.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函).).22(B)a—,b——3313(D)a=-,b=--223, 2(a)a=亍b=-57 3(C)a=--,b=-22一九解£P{X=k}—b九+b九2+…—b —1—九i=1b=X-1-1 故选(C)2解)+"2解)+"f(x)dx=1-8...b=-a又f(x)=aebx^0a即：) aebxdx=—-=10 b・•・a＞0 故选(D)f(x)=f(x)=e202<2rg由4个结论验得(B)为正确答案4解：P(X=Y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}1122故选(D)—X故选(D)3333325解因为F325解因为F(x)必须满足条件0WF(x)W1,而只有取a=5,b=-5时，才会使0WF(x)W1满足，故选(A)、填空题(每小题3分，共15分)：1 -1r(X-UT)2+(^^2)2]2.二维随机变量(X,Y)的联合密度为：f(x,y)= e2(% % ，则X的边缘概率密度2g0为.Ikx2,0<x<13.连续型随机变量X的概率密度为f(x)=〈 ，则常数k3.I0,其匕.设X〜N(10,0.022),已知①(2.5)=0.9938,则P{9.95<X<10.05}=..设X,Y是相互独立的随机变量，X〜N(2,02),Y〜N(-3,02)，且P{|2X+Y-11<8.7654}=0.95，则1解•・•江P=1 a+P+0.2+0.3=1即有a+0=0.51当X,Y相互独立 ・•・P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)a=(a+0,2)(a+p)a=0.22解•・•f(x)=f+"f(x,y)dy=卜—~e-2[(o])2-(%2)2]dyX-9 -g2g,21 -(x-|L1)2二一e2o2v;2ko1k解•「』f(x)dx=1 j1kx2dx=—=1-9 0 3.k=3解•・•X〜N(10,0.022)P{9.95WXP{9.95WX<10.05}=P19.95-10I0.0210.05-1010.02J=P{-2.5<X<2.5}=2^(2.5)-1=2x0.9938-1=0.98765解 ：X,Y相到独立 :fx,y)=fX(xf(y)

IxI<-三、（12分）随机变量X的概率密度为f（x）=<0,,试求（1）三、（12分）随机变量X的概率密度为f（x）=<0,IxI>-4一「一九、X落在0,—内的概率.I6；正 工4Acosxdx=AsinI4宏 塞=2A,a=1解(1)•「J正 工4Acosxdx=AsinI4宏 塞=2A,a=1-8・•.a二a2兀(2)当x<--时，F(x)=0兀当1xIW下时4F(x)=Jxf(x)dx=-8Jx21cosxdx=1+兀当1xIW下时4F(x)=Jxf(x)dx=-8Jx21cosxdx=1+Esinx兀当x三一时

4F(x)=Jxf(x)dx=cosxdx=1-80,1,兀x<——4兀 兀——<x<—4 4兀x>一4cosxdx二二4四、动关机，（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为。二5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数.解：（1）：X可能的取值为0,1,2,3设Ai=｛第i个元件出故障）i=1,2,3.・.P(X=0)=P(AJP(A2)P(A3)二(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28P(X=1)=P(AAA)+(AAA)+P(AAA)123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)12312323=0.2x0,7x0.5+0.8x0,3x0.5+0.8x0,7x0.5=0.47同理P(X=2)=P(A]A2A3)+P(AA2A3)+P(A]A2A3)=0.22P(X=3)=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=0.03123・•.X的分布律:0.28 0.47 0.22 0.03(2)由(1)及分布函数的定义知当％<0时，F(x)=0当0Wx<1时，F(x)=P(X=0)=0.28当1Wx<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75当2Wx<3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97当x三3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3)=10 x<00.28 0<x<2其图为・•.F(x)=^0.75 1<x<2其图为0.97 2<x<31 x>3° Ie-x,x>0五、(10分)随机变量X的概率密度为f(x)=〈 ；求Y=X2的概率密度.I0,x<0、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y)由于y=x2三0,故当yW0时，FY(y)=0当y=x2>0时,有FY(y)=P(YWy)=P(X2<y)=P(-q5WXW%y)Jy_f(x)dx=Jye-xdx=1-e-yTOC\o"1-5"\h\z--■yX 0将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为(1-e--:y)'=-e*(-、5)'=—^=e-，y,y>0fY(y)={ 2后[0 其它0,其它0,六、(12分)随机变量X和Y均服从区间［0,1］上的均匀分布且相互独立.… ―..3、.写出二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度和联合概率密度.2.求P{X+Y<-}.解：(1)由题意得:L0<L0<x<220,其它fY(yJ2,0<y<20,其它・•・f(x,y・•・f(x,y)=fX(x)fY(y)=；40,其它(2)P{X+Y<—}=JJf(x,y)dxdy=JJLxdy^2 ^4七、(12分)已知随机变量X与Y的分布律为:X-1X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知尸{XY=0}=1.（1）求（X,Y）的联合分布律；（2）X与Y是否相互独立？为什么？解：（1）由P（XY==0）=1,可见P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=01易见P{X=-1,Y=0}=P{X=-1}=—41P{X=0,Y=1}=P{Y=1}=-1P{X=1,Y=0}=P{X=-1}=—414)14)=0P{X=0,Y=0}=1-勺+-+于是，得X和Y的联合分布：-11(2)•・•P(X=0,Y=0)=0而P(X=0)-11(2)•・•P(X=0,Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)=—义2111(4+4)1=—丰

4・•.P(X=0)P(Y=0)WP(X=0,YW0)・•・X,Y不独立八、（12分）设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:11,0<x<1Axf0,其它求随机变量Z=X+Y的概率密度函数.设Z的密度函数为fZz），则由卷积公式得f（z）」f（z-x）dx①士」Z0Y z-1a)当z<0时，fY(t)=0,・・・fZ(z)=0b)当0Wz<1时，z-1<0,z三0f(z)=J00dt+Jze-tdt=1-e-zz z-1 0c)当z三1时，z-1三0f(z)=Jze-tdt=e1-z-e-z=(e-1)e-zz-10,1—e-z,

(e-1)e-z,自测题（第三章）一、选择题（每小题3分，共6分）：1.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于( ).(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.42.若D(X—Y)=D(X+Y)，则( ).(A)X与Y独立 (B)D(X)=D(Y)(C)D(X+Y)=0 (D)X与Y不相关.选(D)；由题意知：X〜B(3,p)，而D(X)=3-p-(1-p)=0.72・•・p=0.4。.选(B)；•・,E(X)=f+"xf(x)dx=J°一xdx，而被积函数为对称区间上的奇函数，E(X)=0。-8 -a兀工a2—x2二、判断题(每小题3分，共12分)：.设随机变量X的概率密度为f(x)= 1 -8<x<+8，则E(X)=0.()九(1+x2).设X〜N(0,。2)，则对任何实数a均有：X+a〜N(a,。2+a2).().设X〜N(生。2),Y从参数为九的指数分布，则E(X2+Y2)=从2+。2.().设E(XY)=E(X)E(Y)，则X与Y独立.( )1[X]； •/E(X)=卜8x-f(x)dx=18——x——dx=—18—2—d(1+x2)-8 -8兀(1+x2)兀-81+x21一一.1=——ln(1+x2)+8=8-8不一定等于零。TOC\o"1-5"\h\z28 J[X]； •/E(X+a)=E(X)+a=a,D(X)=D(X+a)=D(X)=。2・•・X+a〜N(0,。2)3.[V]；•・•D(X)=E(X2)-[E(X)]23.[V]；•・•D(X)=E(X2)-[E(X)]2,E(Y)= ，D(Y)=「(其中)=)0k 42 V・•・E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+D(Y)+[E(Y)]2[X]；参见教材例3.14。三、填空题(每空2分，共22分)：1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:Y1211/41/2-101/4TOC\o"1-5"\h\z贝UE(X)=—，D(X)=—，E(Y)=—，D(Y)=—，cov(X,Y)= ，p"=XY2.0<x<1 1其它,且E(X)=3,则常数”3.设随机变量X的数学期望E(X)=75,.D(X)2.0<x<1 1其它,且E(X)=3,则常数”3.设随机变量X的数学期望E(X)=75,.D(X)=5且尸{IX—751>k}<0.05，则k>4.对圆的直径作近似测量，测量近似值X均匀分布于区间［0,a］内，则圆面积的数学期望是5.设随机变量X与Y相互独立，且X〜N(1,2,),Y〜N(0,1).令Z=-Y+2X+3，则D(Z)=6.设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)I0<x<1,IyI<x}内服从均匀分布，则E(3X+5Y+2)=1E(X)=1x]+21D(X)=E(X2)-[E(X)]2=12x-+22x23

=16E⑺二111+(-1)x =-42D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=12X(\1]142)+(-1)2X———423=411cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(-2)x-+(-1)x0+1x-cov(X,Y)P= ——XY,；D(X)%D(Y)\16飞4•・,E(X)=J+sxf(x)dx二J1x•(ax+2)dx=0・•・a=-2o•・•IxIf(x)为奇函数，J+'IxIf(x)dx收敛，・•・-8E(X)=0o设Y=冗—表示圆面积，：X〜U[-a,a],E(X)=0,D(X)=E(Y)=E二E(x2)=a{D(X)+[E(X)]2}二3 12Iax+2,设连续型随机变量X概率密度为f(x)=j0•・•X与Y相互独立，・•・D(Z)=D(-Y+2X+3)=D(-Y)+D(2X+3)二(-1)2D(Y)+4D(X)=1+4x2=9。D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=4{E(X2)-[E(X)]2}=4(4-12)=12。四、(10分)设随机变量(X,Y)的概率密度为:1z1z、/(")=不f0,0<X<2,0<y<1其它求数学期望石(X)及石(V),方差D(X)及D(Y),协方差cov(X,Y)及相关系数pAiE(Y)=( 117 11X2+—xdx--I 2) 9E(Y)=( 117 11X2+—xdx--I 2) 9+co+00、解：E(X)=J+0OJ+c°xf(x,y)dxdy=—00 —00—00 —00(2y2+2y)dy=|E(X2)=+coJ+coE(X2)=+coJ+cox2/(x,y)dxdy--f2dx\xx2(x+y)dy—CO—GO--f2(A：3+—X2)dx--,

3o2 916D(X)=E(X2)-[E(X)]2=--23

~9~16D(X)=E(X2)-[E(X)]2=--23

~9~7D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=~~

io7D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=~~

io2A75-9

z/nk—co—00E(XY)=J+0OJ+Xxyf(x,y)dxdy=\o"CurrentDocument"2115 1.♦・cov(X,—co—00E(XY)=J+0OJ+Xxyf(x,y)dxdy=\o"CurrentDocument"2115 1.♦・cov(X,Y)=E(XY)-E(X)•E(Y)=dyy oi_1 \o"CurrentDocument"cov(X,K) 81 J9x162 '2 I \o"CurrentDocument"X//D(X),6D(Y) |23 81x<23x13 \299]/~9~))162五、(1。分)设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量XjX2,已知均值分别为号方,风险分别为箕巴，相关系数为P,现有资金总额为。(设为1个单位).怎样组合资金才可使风险最小?解：E(X)=+0Ox(p(x)dx=J+o°—co 0x•^-e-xdx=J+o°X，n+ld(-e-x)ml o机! e-x

m\+oo0+f+co——e-xd{xm+i)= f+coxme-xdxoml mlo=••=(m+1)J+8e—xdx=(m+1)(—e—x)+8=m+1；VE(X2)=J+8xVE(X2)=J+8x2中(x)dx二011f+8 ,1—Jxm+2e—xdx——Jm!01m!+8xm+2d(—e—x)-Xm+2e一x+8十—m!=(m+2)(m+1)0m!J+8e-xd(xm+2)=00m+2f+8 J+e—x-xm+1dxm! 0・•・D(X)=E(・•・D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(m+2)(m+1)-(m+1)2=m+1。Iax(1—x),六、(10分)设随机变量X的分布密度为f(x)=j 0解：由18f(x)dx=f1ax(1—x)dx=a-x2—-x312 37得：4=6得：4=6；这时，f(x)=6x(1—x)0<x<1其它E(X)=f+8xf(x)dx=f1x-6x(1E(X)=f+8xf(x)dx=f1x-6x(1—x)dx=6—8(1—x3—13 n〃八、，(1D(X)=E(X2)-[E(X)]2=J1x2•6x(1—x)dx——12120P{lX—E(X)l<2、DX}=PXx—2、厂I AiJ—— 2<5=f2+2f(x)dx=J2+26x(1—x)dx=6(1-x2—121-x33工+1111V52'5=—+ 2 500七、(10分)设随机变量X与Y相互独立，且均服从密度为f(x)=x>0,的分布x<0求(1)X+Y的分布密度；(2)求E(XY).解：由于X与Y相互独立，(1)应用卷积公式，有Z=X+Y的分布密度fZ(z)=f+8fx(x)fY(z—x)dx—8考虑到f(x)仅在x>0时有非零值，f(z-x)仅在z-x>0,即x<z时有非零值，X Y故当z>0时f(z)=Jze—x•e—(z—x)dx=Jze—zdx=xezz=ze—z,0即f(z)=<ze-zz>00z<0

6P{3<X<9}=P{IZ61<3}三1—-九、(10分)X为连续型随机变量，概率密度满足：当xe[a,b]时，f(x)=0,证明：b—aa<E(X)<b,D(X)<(——)2.2证明：：aWxWb,卜8f(x)dx=1-8・•・a=a卜8f(x)dx<E(X)=18xf(x)dx<卜8bf(x)dx-8=b[8f(x)dx=b。-8a+b・•・D(X)WE二j+8容易证明D(X)WE{(x-・•・D(X)WE二j+8WJ+82f(x)dx=f号1卜8f(x)dx=I2J-8一、填空题（满分15分）.已知P（B）=0.3P（%°B）=0.7月A与B相互独立，则尸（八）=P{X=0}=1.设随机变量X服从参数为入的泊松分布，且 3，则入=.设X~N(2,。2),且P{2<X<4}=0.2,则P{X<0}=.已知DX=2,DY=1,<X和Y相互独立，则D(X-2Y)=.设S2是从N（0，1）中抽取容量为16的样本方差，则°（$2）=1.2.ln33.0.3 4.61.2.ln33.0.3 4.6 5.215、选择题（满分15分）1.已知事件A,B满足P（AB）=P（AB），且P（A）=0.4，则P（B）=0.4,0.5,0.6,2.有y0.4,0.5,0.6,2.有y个球，随机地放在n个盒子中（yWn），（D）0.7则某指定的Y个盒子中各有一球的概率为n!(A)ny (B)ny(C)ynCn-yy(D)yn!3.设随机变量3.设随机变量X的概率密度为f（X）=a-|X|,则c=(A(A)—2 (B)0 (C)2(D)1150则参数150则参数N的矩估计量为.掷一颗骰子600次，求“一点”出现次数的均值为(A)50 (B)100 (C)120 (D).设总体X在（从―P,从+P）上服从均匀分布(A)X (B)n-11.Ci=12.A3.C4.B1(C)n-15.D£X2i=1 i(D)X三、计算题（满分60分）已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品.某商店拥有某产品共计已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品nC2 6,C1C1 7.C2 8P=-8-X—+—8~4-X—+—4-X—=0.67C210C2 10C2 10100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。.100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。(①(1)=0.8413 ①(2)=0.9772)P{X<50}=P<与40，=①(1)=0.8413YY=T令10则丫~B（5。8413）.因此P{Y=2}=C20.84132(1-0.8413)3=0.028353.在区间(01)中随机地取两个数，求事件两数之和小于5”的概率。0<J<1

其它所以f(x所以f(x，J)=f(x)f(J)=j00<x<1,0<j<1其它1725.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。E(X)=0.9 D(X)=0.61.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差(①(2.055);0.98,①(2.325)=0.99)pfX—nI<4}=1—0.02=0.98痂,故-1=-1=0.98=0.994 _——=2.325G。=5.44.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。分，问在显著性水平(1002s(35)=2.03011002s(36)=2.0281)X〜N(66.5,二)nH:X=70,H:X丰70，则攻=1111>t(35)或t<-1(35)故拒绝域为o.2即攻={11>2.0301或t<-2.0301}由于t=L4不在拒绝域内，故接受H0，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.四、证明题1.设四、证明题1.设A,B是两个随机事件，0<P(A)<1,0<P(B)<1,P履1A)=pB|",证明：A与B相互独立。P(P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=P(BIA)=P(AB)P(A)所以P(AB)=P(A)P(B)1C)X+S2)、2.设总体X服从参数为入的泊松分布，X1，Xn是X的简单随机样本，试证：2 是入的无偏估计。E(S2E(S2)=九 E(X2)=九十九2，iE，故《概率论与数理统计》试题+s2)是入的无偏估计.(1)判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“J”，错误打“X”)Q)⑴⑵⑶⑷对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)设A、B是Q中的随机事件，则(AUB)-B=A若XQ)⑴⑵⑶⑷对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)设A、B是Q中的随机事件，则(AUB)-B=A若X服从参数为人的普哇松分布，则EX=DX假设检验基本思想的依据是小概率事件原理样本方差S2n1T£(x-x)2是母体方差dx的无偏估计nii=1(((())))X；(2)X；⑶J；⑷)；(5)X。(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来仅A发生，B、C都不发生;A,B,C中至少有两个发生;A,B,C中不多于两个发生;A,B,C中恰有两个发生；A,B,C中至多有一个发生。解(1)ABC(2)ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC；(3)AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；(4)ABCUABCUABC；(5)AB\JAC[JBC或ABCUABCUABCUABC三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解设A=’三段可构成三角形'，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0<x<a,0<y<a,0<x+y<a，不等式构成平面域S. 5分a aaA发生o0<x<—,0<y<—,—<x+y<a2 22不等式确定s的子域A, 所以10分15分四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为-215-116111531130求Y=X2的分布列.Y的分布列为1 7 111530530五、解EX=J+8(10分)设随机变量X具有密度函数f(x)=1e-ixi ，8vx<8五、解EX=J+8x-1e-i]।dx=0,(因为被积函数为奇函数)乙

DX=EX2=J+sx21e-ix।dx=J+Mx2e-xdxTOC\o"1-5"\h\z—g 2 0二-x2e-x+g+2J+gxe-xdx0 0=2[-xe-x|+g+J+ge-xdx]=2 10分0 0六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14<X<30).x0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.994 0.999①(x)0.500 0.691 0.841 0.933 0.9770.994 0.999解X〜b(k;100,0.20),EX=100X0.2=20,DX=100X0.2X0.8=16.----5分30-20 14-2010分P(14<X<30)x①(一)-①(一10分<16 <16二①(2.5)-①(-1.5)=0.994+0.933--1=0.927. 15分七、(15分)设X,X，…,X是来自几何分布:P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，0<p<1,的样本，试求未1 2 n知参数P的极大似然估计.n一、 一、Jx-n 5分解L(x1,…，xjp)="p(1-p)x,-1=pn(1- 5分i=1lnL=nInp+(»X-n)ln(1-p),

ii=1*x-n10分dInLni10分---=—--i=1- 二0, dpp1-p-n+»X n i解似然方程 =-p1-p得p得p的极大似然估计p=X。 15分《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答一、填空题(每小题3分，共15分).设事件AB仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为 ..设随机变量X服从泊松分布，且P(X<1)=4P(X=2)，则P(X=3)=..设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X2在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)=..设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为九的指数分布，P(X>1)=e-2,则九=P{min(X,Y)<1}=.5.设总体X5.设总体X的概率密度为(0+1)x0,0,0<x<1,其它X1,X2,,Xn是来自X的样本，则未知参数0的极大似然估计量为解：1.P(AB+AB)=0.3即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)

所以P(AB)=0.1 P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=0.9./ 八/ 八、 / 八 , z 九2. P(X< 1)=P(X =0)+P(X =1)=e-+九e-, P(X =2)=一e-2由 P(X<1)=4P(X=2)知e-九+九e-九=2九2e-即2九2-九一1=0解得九=1,故P(X=3)=1e-1.6.设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fjx)则Fy(y)=P(Y<y)=P(X2<y)=P(-后<X<向=FX(打)-F[5)因为X〜U(0,2)，所以F(-%.-7)=0,即F(y)=F«)X、 Y Xv1 1— I——, 0<y<4,小小行)=,打另解在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为h另解在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为h(y)=5所以小y小y)=fX(后>东0<y<4,.P(X>1)=1-P(X<1)=e-九=e-2，故九二2P{min(X,Y)<1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1—e-4..似然函数为L(x，…,x;0)=FI(0+1)xe=(0+1)n(x，…,x)01 n ii=1lnL=nln(0+1)+0ZInxii=1dInLnf一l=^——+Zlnx20d0 0+1ii=1解似然方程得0的极大似然估计为0=-―1.1Zlnxnii=1二、单项选择题(每小题3分，共15分).设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C)=1，则AC与BC也独立.(B)若P(C)=1，则AUC与B也独立.(C)若P(C)=0,则AUC与B也独立.(D)若CuB，则A与C也独立. ().设随机变量X〜N(0,1),X的分布函数为①(x)，则P(|X|>2)的值为(A)2[1-①(2)]. (B)2①(2)-1.2-①(2). (D)1-2①(2). ().设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

(A)X与Y独立. (B)D(X—Y)=DX+DY.TOC\o"1-5"\h\z(C)D(X-Y)=DX-DY. (D)D(XY)=DXDY. ().设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)11116 9 18 3若X,Y独立，则a与的值为2 Q1 1 Q2(A)a二—,P——. (A)a二—,P——.9 9 9 95 1()a——,P——()18 185.设总体X的数学期望为日,X〃X2,…,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是X1X1是目的无偏估计量.(C)X1是目的相合(一致)估计量.X1是目的极大似然估计量.(D)X1不是目的估计量.()解：1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以(A),(B),(C)都是正确的，只能选事实上由图可见A事实上由图可见A与C不独立.3.由不相关的等价条件知应选(3.由不相关的等价条件知应选(B).故应选(A).2.X〜N(0,1)所以P(IX1>2)—1-P(IX1<2)—1-P(-2<X<2)―1-①(2)+①(-2)―1-[2①⑵-1]―2[1-①(2)] 应选(A).a―P(X—2,Y—2)―P(X—2)P(Y—2)1八1 21—(一+a+P)(+a)—-(-+a)3 9 395.EX1二日，所以X1是目的无偏估计，应选(A).三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A='任取一产品，经检验认为是合格品'B='任取一产品确是合格品： _则(1)P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.(2)P(AB)0.9x0.950.857―0.9977.四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为23P(X=k)=Ck(-)k(-)3-k35 5k=0,1,2,3.X0123即P2754368125125125125X的分布函数为x<0,0,27125,81后,117咨1,0<x<1,1<x<2,2<x<3,x>3.2318x—x-=—5525五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)1x>0,y>0,x+y<1}上服从均匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;解：⑵利用公式f(z)」x+y=z(2)Z=X+Y的分布函数与概率密度.(1)(X,Y)的概率密度为12,(x,y)eD"九'fa其它.r |2-2x,f(x)=1+8f(x,y)dy=1X-8 I0,0<x<1其它0,+8f(x,z-x)dx-80<x<1,0<z-x<1-x=<其它20<x<1,0,其它.x<z<1.Z的分布函数为当z<0或z>1时f(z)=0Z故Z的概率密度为zdx=2x卜=2zf(z)Jf(y)dy=<-80,J01,z<0,0<z<1,z>1.或利用分布函数法FZ(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=<0,U2dxdy,z<0,0<z<1,「1,z<0,z>1.0<z<1,z>1.0<z<1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D=｛（x,y）11<x2+y2<2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=、：X2+Y2的数学期望.211 e2兀-4-r2、e8d(——)=8P{X,Y)eD}=Uf(x,y)dxdyDx2+y28dxdy=e-8rdrd0r2一e8(2)EZ=EQ；；X2+Y2)=J+8J+8、;;x2+y2.-1e-8-8 8兀x2+y28dxdyJJ2“J+8re-8rdrd0=，J+8e-8r2dr8兀0 0 4 0rL=-re—8\f+8*/_后［+Je8dr- J0 20+81, ev'2兀七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N（从,O2），今抽取容量为16的样本，测得样本均值x=10，样本方差s2=0.16.（1）求日的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H:。2<0.1（显著性水平为0.05）.0（附注）t（16）=1.746,t（15）=1.753,t（15）=2.132,0.050.050.025%2(16)=26.296,X2(15)=24.996,0.050.05X2(15)=27.488.0.025解：（1）口的置信度为1-a下的置信区间为(X-1 (n-1)上,X+1(n-1)a/2 ：'n a/2三）nnX=10,s=0.4,n=16,a=0.05,10025(15)=2.132所以目的置信度为0.95的置信区间为（9.7868,10.2132）(2)H:。2<0.1的拒绝域为X2>X2(n-1).15S2%2= =15x1.6=24，为2(15)=24.9960.1 0.05因为%2=24<24.996=%2(15)，所以接受H.0.05《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答一、填空题(每小题3分，共15分)(1)(2)(3)设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且P(A)=P(B)=0.5，P(C)=0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为.甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 .[2x,0<x<1,设随机变量X的概率密度为f(x)=< 现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大I0,其匕，((4)于0.5的次数，则EY2=.设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为(5)(X,Y)

~P(1,0) (1,1) (2,0) (2,1)0.40.2若EXY=0.8，则Cov(X,Y)=.设X,X，…,X是总体N(r,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2>a)=0.01，则a=1217(注:%0.01(17)=33.4,%；005(17)=35.7,%0.01(16)=32.0,解：(1)P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)%2(16)=34.2)0.005因为A与C不相容，B与C不相容，所以AnC,BnC同理ABC=AB.故ABC=CP(ABC+ABC)=P(C)+P(AB)=0.2+0.5x0.5=0.45.(2)设A=‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，B2+B.2‘四个球都是黑球’所求概率为P(AB)

□—P(B)1 2C2C2 3• = C2C210055所以P(BIA)=L2 2(3)Y〜B(4,p),其中p=其中p=p(X<0.5)=)0.52xdx=X220TOC\o"1-5"\h\z.1— ,133EY=4x—=1,DY=4x—x—=—，4 444EY2=DY+(EY)2=1+1=,P(B,P(B)=1004 4,0.6 0.4这是因为a+b=0.4，由EXY=0.8得0.2+2b=0.8a=0.1,b=0.3EX=0.6+2x0.4=1.4,EY=0.5故cov(X,Y)=EXY—EXEY=0.8—0.7=0.1.16S2(5)P(S2>a)=P{ >4a}=0.01即为2(16)=4a，亦即4a—32 a=8.4 0.01二、单项选择题（每小题3分，共15分）(1)设A、B、C为三个事件，P(AB)>0且P(CIAB)=1,则有(A)P(C)<P(A)+P(B)-1. (B)P(C)<P(AUB).(C)P(C)>P(A)+P(B)-1. (D)P(C)>P(AUB). ()（2）设随机变量X的概率密度为1 _。+2）_ e 2「_ e 2「2)2d2t2兀于（x）=—；—e 4,-^1<x<<^且Y=aX+b〜N（0,1），则在下列各组数中应取（A）a=1/2,b=1. （B）a=22/2,b=<2.TOC\o"1-5"\h\z（C）a=1/2,b=-1. （D）a=<2/2,b=-\/2. （）（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为X01Y01_P0.40.6P0.40.6TOC\o"1-5"\h\z则有（A）P（X=Y）=0. （B）P（X=Y）=0.5.（C）P（X=Y）=0.52. （D）P（X=Y）=1. （）（4）对任意随机变量X，若EX存在，则E[E（EX）]等于（A）0. （B）X. （C）EX. （D）（EX）3. （）（5）设Xjx2,…,xn为正态总体N（日,4）的一个样本，X表示样本均值，则日的置信度为1-a的置信区间为(x-ua/2(x-u1-a/2事(x-ua/2(x-u1-a/2事)•2_-=,x+unn a〃2.—=,x+unn a(x-u 2a/2<nx+ua/2解(1)由P(C|AB)=1知P(ABC)=P(AB)，故P(C)>P(AB)P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)>P(A)+P(B)-1应选C.((2)〜、 1 -ff(x)―-^e42%兀

1 -[x-(-2)]2即X〜N(-2,v'22)之=<2时Y=aX+b〜N(0,1)v2

应选B.P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.4x0.4+0.6x0.6=0.52应选C.E[E(EX)]=EX应选C.因为方差已知，所以R的置信区间为(X—u(X—ua/2X+ua/2应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设A=‘从箱中任取2件都是一等品’B=‘丢失i等号’i=1,2,3.则P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)1C2 3C21C22——,—4-+ •-5―+—,—5———；2C210C25C29所求概率为P(BIA)--3.1 P(A) 8\ax+1,0<x<2,四、(10分)设随机变量X的概率密度为f(x)-1[0,其匕.求(1)常数a； (2)X的分布函数F(x)； (3)P(1<X<3).解：(1)1—J+"f(x)dx—J2(ax+1)dx—(ax2+x)2—2a+2二 0 2 01•••a———2(2)X的分布函数为’0, x<0,F(x)—Jxf(u)du-<Jx(1一U)du,0<x<2,二 0 21, x>2.’0,x<0,-<x-x2, 0<x<2,4,x>2.(3)P(1<x<3)—J3f(x)dx—J2(1一x)dx——1 1 2 41e-x,0<y<x,五、(12分)设(X,Y)的概率密度为f(x,y)—《I0, 其匕.求(1)边缘概率密度f(x),f(y)；0 ,Jxe-xdy,0(2)求(1)边缘概率密度f(x),f(y)；0 ,Jxe-xdy,0x<010,x<0,

x>0.Ixe-x,x>0.f(y)=I+8f(%,y)d%〜Y -80,y<0I+8e-%d%, y>0.y(2)P(X+Y<1)=Uf(%,y)(2)%+y<111 1=J2(e-y一ey•e-1)dy=1一2e-2+e-1.0(3)fz(z)=f+8f(%,z-%(3)%>0,%<z<2%,其它.六、（10分）（1）,设X〜U[0,1]Y〜U[0,1]且X与Y独立，求EIX-YI；解：设X〜N(0,1),Y〜N(0,1)且X与Y独立，求EIX-YI.(2)(1)EIX-YI=I+8I+8f(%,y)I%-yId%dy-8 -8=I11%(%-y)d%dy+I111(y-%)d%dy(2)因X,Y相互独立，所以Z=X-Y〜N(0,2)ZX-Y不二十〜N(0,1)一，所以E1X一Y|=兀七、（10分）设总体的概率密度为f（%；0）=2九10%0-1, 0<%<1,I八,其它 (0>0)I0,其匕.试用来自总体的样本％j%2，…,%,解：先求矩估计日=EX=I10%0d%=1 0j求未知参数0的矩估计和极大似然估计.0

071.•・ 0=丁工故0的矩估计为0= X方1-日 1-X1再求极大似然估计••元)0-1

nL(元，…，元；0)=H0元0-1=0••元)0-1

ni=1lnL=nIn0+(0-1)ZInxidlnL_nZdlnL_nZ10-=0+nRi=1i=1含0所以e的极大似然估计为1—2nlnxnii=1《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）_（1）设P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（BIA）=0.8，则A,B至少发生一个的概率为 .（2）设X服从泊松分布，若EX2=6，则P（X>1）=.U（x+1）,0<X<2,设随机变量X的概率密度函数为f（x）=«4 今对X进行8次独立观测，以Y表示观测0 ,其他.值大于1的观测次数，则DY= .元件的寿命服从参数为焉的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为.设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(口,02)，今随机地测量16个零件，得ZX=8，ii=1ZX2=34.在置信度0.95下，口的置信区间为.ii=1(t(15)=1.7531,t(15)=2.1315)0.05 0.025 _解：⑴0.8=P(BIA)=署"=PB^PABl得p(AB)=0.2P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1-0.2=0.9.(2)X〜P(九),6=EX2=DX+(EX)2=九十九2故九=2.P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e-2-2e-2=1-3e-2（3）Y〜B(8,p)，其中p=P(X>1)=f21(x+1)dx=5（3）DY-8x5x3-15DI8XX888（4）设第i件元件的寿命为X，则X〜E（工），i=1,2,3,4,5.系统的寿命为Y，所求概率为ii100P（Y>100）=P（X>100,X>100，…，X>100）=[P（X>100）]5=[1-1+e-1]5=e-5.1（5）日的置信度1-a下的置信区间为S S(X-1(n-1)4=,X+1(n-1)4=)a/2 弋n a/2 、；n

X=0.5,S2=工[/X2-16X2]=2,S=1.4142,n=1615ii=11002515)=2.1315.所以日的置信区间为(-0.2535,1.2535).二、单项选择题（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）（（A）（B）（C）（D）（2）(A-B)UB=AUB.(AUB)-A=B.(AUB)-AB=ABUAB.(AUB)C=(A-C)U(B-C).设X1,X2是随机变量（），其分布函数分别为F（x）,F（x），为使F（F（元）=aF3+bF⑴是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值1中应取32a32a=—,b=—-.\o"CurrentDocument"J J13(C)a=--,b=-.2227 2a=—,b=.3 31 7 3(D)a=-,b=-.22（3）设随机变量X（3）设随机变量X的分布函数为F（x），则Y=3-5X的分布函数为F（y）=(A)FX(5y-3).(C)F(y+3).X5X（B）(D)5FX(y)-3.1-F(3-2).X5（4）（4）设随机变量X],的概率分布为-1 0 1111i=1,4 2 4且满足P（X1X=0)=1，且满足P（X1X=0)=1，则X1,X之的相关系数为P（A）0.（B）（C）x1x2

(D)-1.（5）设随〜U[0,6]，Y〜B(12,4)且相互独立，根据切比雪夫不等式有P雪夫不等式有P(X-3<Y<X+3)(A)<0.25. (B)<—. (C)12>0.75. (D)解：（1）（A）：成立，（B）：（解：（1）（A）：成立，（B）：（AUB）—A=B—A中BF(+8)=1=a+b.FY(y)=P(Y<y)=P(3-5X<y)=P(X>(3-y)/5)应选应选（B）（C）=1-P(3^5(X],X2)的分布为>X)=1-Fx(T)应选（D）11104041 1 14 2 4EX=0,EX=0,EXX=0，所以cov(X,X)=0,于是PXX=0. 1 1 应选(A)P(X-31<Y<X+3)=P(IY-Xl<3)TOC\o"1-5"\h\z/ 、 八/ 、 c9 21E(Y—X)=EY—EX=0D(Y—X)=DY+DX=3+-=—\o"CurrentDocument"4 4由切比雪夫不等式21应选（D）P(IY-Xl<3)>1应选（D）9 12三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为入的泊松分布，而进入超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。解：设B=’一天中恰有k个顾客购买A种商品’k=0,1,…Cn='一天中有n个顾客进入超市’ n=k,k+1,…则P（B）=£P（CB）=£P（C）P（BIC）nn

n=k n=k-£ne-e-XCkpk(1-p)n-kn!nn-k(pX)k VXn-k/ 、二' e-x£ (1-p)n-kk! (n-k)!n-kk=0,1,….四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数目之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求(1)Y的分布列.(2)EY和DY.(①(2)-0.977,①(1)-0.8413)解：(1)Y〜B(100,p)，其中p-P(60<X<84)=①(84^72)O960222)=2①(―)-1TOC\o"1-5"\h\zC C96-72 24由0.023=P(X>96)=1-①(—--)-1-①(—)24 24 12得①(—)=0.977，即—=2，故——1所以p-2①(1)-1=0.6826.故Y的分布列为P(Y-k)=Ck(0.6826)k(0.3174)100-k100(2)EY=100x0.6826=68.26，DY=68.26x0.3174=21.6657.五、(10分)设(X,Y)在由直线x=1,x=e2,y=0及曲线y-X所围成的区域

(1)(2)X 】求P（X+Y22）.-dx=lnxx解:y=l/¥01区域。的面积S=JDy（x,y）的概率密度为/(x,y)=!，(x,y)eD,0