2022～2022年北京市各区期末考试（包括期中）模拟试题分类解析二创新题1

二十、创新题1.（2022年西城区高三期末考试文8）有限集合中元素的个数记作.已知，，，，且，.若集合满足，且，，则集合的个数是（A）A．B.C.D.2.（2022年海淀区高三期末考试文8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离.已知点，圆：，那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为1的点的轨迹是（D）A．双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线3.（2022年西城区高三期末考试理8）已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，型曲线的个数是（C）A．B.C.D.4.（2022年海淀区高三期末考试理8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是(D)A．圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线5.（2022年朝阳区高三期末考试理8）已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是(A)A．0B.1C6.（2022年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理8）设集合，在上定义运算：，其中为被4除的余数，，则使关系式成立的有序数对的组数为（A）A．B.C.D.7.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）设函数内有定义，对于给定的正数，定义函数：取函数，在下列区间上单调递减的是（D）A.B.C.D.8.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)理6）规定若函数的图象关于直线对称，则的值为（D）.2C9.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)理7）若，，定义：，例如：=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120,则函数的奇偶性为（A）A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数10.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)理8）非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法；③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法。其中关于运算为“融洽集”的是（B）A.①②B.①③ C.②③D.②④11.（顺义区2022届高三尖子生综合素质展示8）对于任意，表示不超过的最大整数，如.定义上的函数，若，则中所有元素的和为（B）B.58C.63分析：，，，，，，，12.（顺义区2022届高三尖子生综合素质展示文8）对于任意，表示不超过的最大整数，如.定义上的函数，若，则中所有元素的和为（B）B.15C.1713.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知定义域为的函数，若对于任意，存在正数，都有成立，那么称函数是上的“倍约束函数”，已知下列函数：①；②；③；④，其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上）答案：①④。14.（2022年东城区高三示范校高三综合练习(一)理13）定义在上的运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是.答案：。15.（2022年西城区高三期末考试理14）有限集合中元素的个数记作.已知，，，，且，.若集合满足，则集合的个数是_____；若集合满足，且，，则集合的个数是_____.（用数字作答）答案：，.16.（2022年昌平区高三期末考试理14）设函数的定义域为，若存在与无关的正常数，使对一切实数均成立，则称为有界泛函.在函数①，②，③，④，⑤中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号).答案：①③⑤。17.（2022年西城区高三期末考试文14）设，不等式组所表示的平面区域是．给出下列三个结论：①当时，的面积为；②，使是直角三角形区域；③设点,对于有．其中，所有正确结论的序号是______．答案：①、③.18.（2022年朝阳区高三期末考试理14）已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为______________.答案：19.（2022年昌平区高三期末考试文20）是具有以下性质的函数的全体：对于任意，，都有，，且.（I）试判断函数，是否属于？（II）证明：对于任意的，且都有；（III）证明：对于任意给定的正数，存在正数，当时，.解：(Ⅰ)由题意可知，若成立则即与已知任意，即相矛盾，故；……2分若成立则即，即成立…..4分故.综上，，.……5分(II)当时，当时，故.……9分(III)据（II），且必有（*）①若，令，则时；②若则存在，使由（*）式可得即当综①、②命题得证。…13分20.（2022年海淀区高三期末考试文20）若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；解：（Ⅰ）集合不是“好集”.理由是：假设集合是“好集”.因为，，所以.这与矛盾.…2分有理数集是“好集”.因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.……4分（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以.若，则，即.所以，即.………7分（Ⅲ）命题均为真命题.理由如下：………9分对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显然.下设均不为0，1.由定义可知：.所以，即.所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，则显然.若且，则.所以.所以.由（Ⅱ）可得：.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题.………14分21.（2022年西城区高三期末考试理20）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.（Ⅰ）解：.…3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，，.因此，猜想.…4分①当时，，猜想成立；②假设时，.当时，故当时猜想也成立.由①、②可知，对于任意正整数，有.………7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以，其中.因此，数列即是数列.…9分证法二：因为，，，……，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即，.……7分由于，，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.……9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可.…10分由（Ⅱ）中结论可知，，所以，，即成等差数列，所以是等差数列.…13分证法二：因为，所以.所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.…10分对于数列及其“衍生数列”，因为，，，……，由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即.设数列的“衍生数列”为，因为，，所以，即成等差数列.同理可证，也成等差数列.即是等差数列.所以成等差数列.………13分22.（2022年海淀区高三期末考试理20）已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.………3分（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底.综上，的最小可能值为5.……14分23.（2022年东城区高三期末考试理20）已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.解：（Ⅰ）因为①当时，，所以方程有实数根0；②，所以，满足条件；由①②，函数是集合中的元素.…………5分（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，则，.不妨设，根据题意存在，满足.因为，，且，所以.与已知矛盾.又有实数根，所以方程有且只有一个实数根.…10分（Ⅲ）当时，结论显然成立；当，不妨设.因为,且所以为增函数，那么.又因为，所以函数为减函数，所以.所以，即.因为，所以，（1）又因为，所以，（2）（1）（2）得即.所以.综上，对于任意符合条件的,总有成立.……14分24.（2022年海淀区高三年级第一学期期中练习文20）已知函数其中集合是非空数集.设，.（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）若，且函数是定义在上的单调递增函数，求集合；（Ⅲ）判断命题“若，则”的真假，并说明理由.解：（Ⅰ）因为，，所以，.所以.……3分（Ⅱ）因为函数是的增函数，且，所以当时，，所以，.同理可知，.因为，所以.……6分（Ⅲ）原命题为真命题.理由如下：…8分假设存在，且，有.因为，若，则.所以，与矛盾.若且，则，.因为，所以，.所以，.由函数的定义可得：，即，与矛盾.所以命题“若，则”为真命题.…14分25.（2022年海淀区高三年级第一学期期中练习理20）已知函数其中是非空数集，且，设，.（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）是否存在实数，使得,且？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若，且，是单调递增函数，求集合.解：（Ⅰ）因为，，所以，.所以.…3分（Ⅱ）若，则，不符合要求.所以，从而.因为，所以，得.若，则.因为，所以的原象且.所以得，矛盾！所以.此时可取，，满足题意.……8分（Ⅲ）因为是单调递增函数，所以对任意，有，所以.所以.同理可证：.若存在，使得，则，于是.记，，…所以.同理可知，…由得.所以.对于，取中的自然数，则.所以.综上所述，满足要求的必有如下表示：，，其中或者，，其中或者，或者，.……14分注：若直接写出结论，且正确，给2分.26.（顺义区2022届高三尖子生综合素质展示文20）已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.（Ⅰ）判断函数是否是“S-函数”；（Ⅱ）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（Ⅲ）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.解：（Ⅰ）若是“S-函数”，则存在常数使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b时，对xR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾.因此不是“S-函数”.………2分若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，即存在常数对（a,32a因此是“S-函数”.………………4分（Ⅱ）是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b）满足.则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.当a=时，tan(a-x)tan(a+x)=-cot2(x)不是常数.…………5分因此，时，则有.即恒成立.………………7分即.当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1,因此满足是一个“S-函数”的常数（a,b）=.…9分(Ⅲ)函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即,……12分………13分因此为以2为周期的周期函数.当时，函数的值域为.…………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.27.（顺义区2022届高三尖子生综合素质展示20）已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.（Ⅰ）判断函数是否是“S-函数”；（Ⅱ）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（Ⅲ）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.解：（Ⅰ）若是“S-函数”，则存在常数，使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b时，对xR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，因此不是“S-函数”.……2分若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，即存在常数对（a,32a因此是“S-函数”…4分（Ⅱ）是一个“S-函数”，设有序实数对（a