2022年中考数学模拟试题分类大全40直线与圆的位置关系

一、选择题1．(2022江苏苏州)如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是A．2B．1C．D．【答案】：C2．（2022甘肃兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A． B．C． D． 【答案】D3．（2022山东青岛）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交BBCA第6题图【答案】B4．（2022四川眉山）下列命题中，真命题是A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【答案】C5．（2022台湾）图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与交于另一点D。若A=70，B=60，则的度数为何？

(A)50(B)60(C)100(D)120。AACBD图(四)【答案】C6．（2022嵊州市）如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线EQ与AC成60°的角,在直线上取一点,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个()个个个D.不存在【答案】B7．（2022浙江省温州）如图，在AABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于(▲)A．B．c．2D．2【答案】C8．（2022四川南充）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）．

ll1l2ABMNO（第10题）1（A）

（B）若MN与⊙O相切，则

（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切

（D）l1和l2的距离为2

【答案】B9．（2022广东珠海）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）° ° ° °【答案】D10．（2022四川眉山）下列命题中，真命题是A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【答案】C11．（2022湖南娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（）A.与x轴相切，与y轴相切B.与x轴相切，与y轴相C.与x轴相交，与y轴相切D.与x轴相交，与y轴相【答案】C12．（2022内蒙赤峰）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．1 cm， B．2cm， C．4cm， D．2cm或4cm【答案】D二、填空题1．（2022江苏南京）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为cm。【答案】82．（2022浙江杭州）如图,已知△,，．是的中点，⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一个交点，连并延长交的延长线于点.则.【答案】3．（2022浙江义乌）已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是▲．【答案】54．（2022重庆）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离是4，则直线与⊙O的位置关是．【答案】相离5．（2022重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是.【答案】相离6．（2022浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点， 以O为圆心，以OE为半径画弧是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.若，则BK﹦▲.AAODBFKE(第16题图)GMCK【答案】,7．（2022湖南怀化）如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC=．【答案】8．（2022山东泰安）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=2，则∠EDC的度数为。【答案】30°9．（2022河南）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是异于点C、A的一点，若∠ABO=,则∠ADC的度数是.【答案】29°10．（2022湖北孝感）P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠APB=50°，点C为⊙O上一点（不与A、B）重合，则∠ACB的度数为。【答案】11．（2022四川泸州）如图7,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为__________.【答案】12．（2022山东淄博）如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有（A）①②OODCBA(第12题)（B）①③④（C）②③④（D）①②③④【答案】D13．（2022青海西宁）如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移个单位时，它与轴相切.【答案】116°14．（2022广东茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝．(第13题图)(第13题图)【答案】30o15．（2022广西百色）如图，⊙的直径为20，弦,，垂足为.则沿射线方向平移时可与⊙相切.第19题第19题ABOD【答案】4三、解答题1．(2022江苏苏州)(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F(1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=AB；(3)若，求的值．【答案】2．（2022安徽蚌埠）已知⊙过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。⑴求的值；⑵如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。yHyHADOOCPFyGDExBxx【答案】⑴BOCPFBOCPFyGDEx解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变过点作于，并延长交于，连接，MNT交于。MNT因为为等腰三角形，，所以平分所以弧BN=弧CN，所以，所以所以=即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。3．（2022安徽芜湖）（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧eq\o(AB,\s\up5(⌒))上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝EQ\F(3,2)AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．【答案】4．（2022广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.CCPDOBAEFFCPDOBAEHG【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．FFCPDOBAEHG∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC)•DE＝l•DE．∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周长为．5．（2022甘肃兰州）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.【答案】解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB……………………1分∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°…………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP…………3分∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线…………………4分（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB……………5分∴BC=OC∴BC=AB………6分(3)连接MA,MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM………7分∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴∴BM2=MC·MN……8分∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4∴BM=………9分∴MC·MN=BM2=8……………………10分6．（2022山东日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．………1分又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；………3分(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．…………………5分又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；…………………6分（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．…………………8分∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．……………………10分7．（2022山东烟台）（本题满分10分）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。（1）求证：DE⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。【答案】8．（2022山东威海）CABDOFE如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切CABDOFE【答案】解：连接OE，OA．……1分∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．∴OE⊥AB，OE=3㎝．………………2分∵∠DAB＝60°，∴∠OAE＝30°．……3分在Rt△AOE中，AE=㎝．…………………5分∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°．……………………6分设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB．……………7分同理可得BN=㎝.…………………9分∴㎝．∴⊙O滚过的路程为㎝．…………………10分CCABDOFEMNO9．（2022四川凉山）如图，为线段上一点，和都是等边三角形，连接并延长，交的延长线于，LINKE:\\2022中考分类\\中考分类汇编\\40.直线与圆的位置关系.docOLE_LINK12\a\r的外接圆交于点。求证：是的切线；求证：；ABCDEMFO第26题图若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知是等边三角形；设等边LINKE:\\2022中考分类\\中考分类汇编\\40.直线与圆的位置关系.docOLE_LINK12\a\r、LINKE:\\2022中考分类\\中考分类汇编\\40.直线与圆的位置关系.docOLE_LINK13\a\r、LINKE:\\2022中考分类\\中考分类汇编\\40.直线与圆的位置关系.docOLE_LINK14\a\r的面积分别为、、，试探究LINKE:\\2022中考分类\\中考分类汇编\\40.直线与圆的位置关系.docOLE_LINK15\a\r、、之间的数量关系，并说明理由。ABCDEMFO第26题图【答案】10．（2022浙江义乌）如图，以线段为直径的⊙交线段于点，点是的中点，交于点，°，，．（1）求的度数；（2）求证：BC是⊙的切线；（3）求的长度．OOBACEMD【答案】解：（1）∵∠BOE=60°∴∠A＝∠BOE＝30°（2）在△ABC中∵∴∠C=60°…1分又∵∠A＝30°∴∠ABC=90°∴∴BC是⊙的切线（3）∵点M是的中点∴OM⊥AE在Rt△ABC中∵∴AB=6……2分∴OA=∴OD=∴MD=11．（2022山东聊城）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90º，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD．（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．【答案】（1）∵AB是直径，∴∠CDB＝90º，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴，∴．（2）证明：连结OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE，又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD+∠DBC＝90º，∠C+∠DBC＝90º，∴∠BDO＝∠CDE，∵AB是直径，∴∠ADB＝90º，∴∠BDC＝90º，∴∠BDE+∠CDE＝90º，∠BDO＝∠CDE，∴∠BDE+∠BDO＝90º，∴∠ODE＝90º，∴ED与⊙O相切．12．（2022福建德化）（9分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【答案】解：（1）直线CE与⊙O相切。证明：∵四边形ABCD是矩形∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90∴∠AE0+∠DEC=90∴∠OEC=90∴直线CE与⊙O相切。（2）∵tan∠ACB=，BC=2∴AB=BC∠ACB=AC=又∵∠ACB=∠DCE∴tan∠DCE=∴DE=DC•tan∠DCE=1方法一：在Rt△CDE中，CE=，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，即解得：r=方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE= 在Rt△AMO中，OA=13．（2022湖南长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C，（1）求证：AD＝DC；（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC.【答案】解：（1）连接DB,∵D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中点，∴eq\o(AD,\s\up8(⌒))＝eq\o(BD,\s\up8(⌒)).∴AD＝DB.∴∠DAB＝∠DBA.∵AB⊥BC,∴∠DBC＝90°－∠DBA,∠C＝90°－∠DAB.∴∠DBC＝∠C.∴DB＝DC.∴AD＝DC.（2）连接OD,交AB于F,∵D是eq\o(AB,\s\up8(⌒))的中点，∴AB⊥OD∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE∵AB⊥BC,∴四边形DEBF是矩形∴∠DEC＝90°,∵DE＝EC，∴∠C＝45°∴sinC＝sin45°＝.14．（2022江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）．••PBAEOCD【答案】证明：(1)连接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PD••PBAEOCD(2)连接AD、BD∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD∴∴∴15．（2022山东济南）（2）如图，是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过作于点．若，，．求：（1）⊙的半径；（2）AC的值．【答案】解①∵AB是⊙O的切线，A为切点∴OA⊥AB在Rt△AOB中，AO===5∴⊙O的半径为5②∵OH⊥AC∴在Rt△AOH中AH===又∵OH⊥AC∴AC=2AH=216．（2022浙江衢州）(本题8分)如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16厘米，．(1)求⊙O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．AABOHCl【答案】解：(1)∵直线l与半径OC垂直，∴． ABOHCABOHC(第20题)l∴OB=HB=×8=10． (2)在Rt△OBH中，． ∴．所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm． 17．（2022江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝，OP=.∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝（）2，解得m=1或3，∴P的坐标为（1，3）或（3，1）⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．综合以上得：b的值为或．18．（2022江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．【答案】解：⑴作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝;∴OH＝，∴P﹙，﹚图1图2图3图1图2图3⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°∴BC＝ ∴PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．19．（2022山东临沂）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.(第23题图)(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；(第23题图)(2)如果，，求的长。【答案】（1）PD是⊙O的切线连接OD,∵OB=OD,∴∠2=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PBD=∠2.又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.即∠1+∠2=90°.∴∠1+∠PDA=90°,即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.（2）方法一：∵∠BDE=60°,∠ODE=60°,∠ADB=90°,∴∠2=30°,∠1=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形。∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.在直角△PDO中，设OD=x,∴，∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）∴PA=1.方法二：∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°,∴∠2=∠PBD=∠PDA=30°∴∠OAD=60°.∴∠P=30°.∴PA=AD=OD.在直角△PDO中，∠P=30°,PD=,∴，∴OD=PDtan∠P=tan30°=1.∴PA=1.20．（2022江苏连云港）（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为eq\r(2)．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点（1）连接CO，求证：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．ADADBADxPO··CFEBADy【答案】21．（2022湖南衡阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．（1）求证：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．【答案】(1)连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴.(2)因为DE=2，，所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=，所以AB=BC·=2，在Rt△ABC中，AC===6，又因为△ABD∽△ACB，所以，即，所以AD=.22．（2022黄冈）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.第20题图【答案】证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线23．（2022河北）图14-1连杆图14-1连杆滑块滑道某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH

⊥l于点H，并测得OH

=4分米，PQ

=

3分米，OP

=

2分米．解决问题HlOPQ图14-2（1）点Q与点HlOPQ图14-2点Q与点O间的最大距离是分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）①分米；HlO图14-3P（QHlO图14-3P（Q）求这个扇形面积最大时圆心角的度数．【答案】解：（1）456； （2）不对． ∵OP

=

2，PQ

=

3，OQ

=

4，且42≠32

+

22，即OQ2≠PQ2

+

OP2，∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．（3）①3； DHlO图3PQ②由①知，在⊙O上存在点P，到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点ODHlO图3PQ连结P，交OH于点D．∵PQ，均与l垂直，且PQ

=，∴四边形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD=D．∴所求最大圆心角的度数为120°．24．（2022山东省德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．BBACDEGOF第20题图【答案】（1）证明：连接OE，BBACDEGOF∵AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．∴∠OEA=∠DAE．∴OE∥AD．∴OE⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∴∠EOB=60°．∴∠EAO=∠EAG=30°．∴∠EFG=30°．25．（2022山东莱芜）（在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.OODCBA（第21题图）【答案】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm．连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB．ODCBAE∴ODCBAE（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切．证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°．∴ED与⊙O相切．26．（2022江西）“6”字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B，OB与小圆相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，设，（１）求证：AD是小圆的切线；（２）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；（３）当，求DH的长【答案】解：（１）证明：∵BC是圆的切线，所以∠CBO＝90°，∵BC∥AD，∴∠BAD＝90°，所以AD是圆的切线.(2)答案不唯一，略（3）∵CD∥BG，BC∥DG，所以四边形BGDC是平行四边形，所以DG=BC=6，又因为∠DGH＝，所以27．（2022年贵州毕节）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．【答案】证明：（证法一）连接． ∵是⊙O的直径，． ∵是的中点，． ． ∵． ．即． 是⊙O的切线． （证法二）连接． ∵，． ． ∵OC=OE．∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3． 又，． ． 是⊙O的切线． 28．（2022湖北武汉）如图，点O在的平分线上，⊙O与PA相切于点C．求证：直线PB与⊙O相切；PO的延长线与⊙O交于点E若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．【答案】（1）证明：过点O作OD⊥PB于点D，链接OC．∵PA切⊙O于点C，∴OC⊥PA又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD∴PB与⊙O相切(2)解：过点C作CF⊥OP于点F，在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=．在Rt△COF中，OF=，∴EF=EO+OF=，∴CE=29．（2022四川巴中）已知如图9所示，△ABC中∠A＝∠B＝30°，CD是△ABC的角平分线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DF。（1）求证：直线AB是⊙C的切线。（2）若AC＝10cm，求DF的长图图9【答案】（1）∵∠A＝∠B＝30°，∴AC=BC，∵CD是△ABC的角平分线，∴CD⊥AB，∴AB是⊙C的切线；（2）∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB=120°，CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=60°，又∵CD=CF，∴∠F＝∠ACD＝30°，∴∠A＝∠F＝30°，∴DF=AF，在Rt△ADC中，=cos30°=，则AD=，∴AF=。30．（2022浙江湖州）如图，已知△ABC内接于⊙O的直径，D是弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线.（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径.（第22题）（第22题）【答案】（1）连OD，∵D是弧AB的中点，∴OD⊥AB，又∵AC为⊙O的直径，∴BC⊥AB，∴OD∥CE，又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即EF是⊙O的切线．（2）∵EF＝8，EC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得CF＝10，设⊙O的半径为r，∵OD∥CE，∴，解得：．31.（2022四川成都）已知：如图，与⊙O相切于点，，⊙O的直径为．（1）求的长；（2）求的值．【答案】.解：（1）由已知，OC=2，BC=4。在Rt△OBC中，由勾股定理，得（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=，OC=2，∴sinA=32。（2022湖南常德）如图8，AB是⊙Ｏ的直径，∠A＝，延长OB到D，使BD＝OB．（1）△OCB是否是等边三角形？说明你的理由；（2）求证：DC是⊙Ｏ的切线．AABODC图8【答案】（1）解法一：∵∠A＝，∴∠COB＝． 又OC＝OB，∴△OCB是等边三角形． 解法二：∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝． 又∵∠A＝，∴∠ABC＝． 又OC＝OB，∴△OCB是等边三角形． （2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝．又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝．∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝，故DC是⊙Ｏ的切线． 33.（8分）（2022湖北荆州）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．【答案】(1)证明：连结OE∵ED∥OB∴∠1=∠2，∠3=∠OED，又OE=OD∴∠2=∠OED∴∠1=∠3又OB=OBOE=OC∴△BCO≌△BEO（SAS）∴∠BEO=∠BCO=90°即OE⊥AB∴AB是⊙O切线.（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=∴在Rt△CEG中，∴EG=根据垂径定理得：34.（2022湖北省咸宁），在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若，求CD的长．AAFCGODEB（第20题）【答案】．解：（1）直线FC与⊙O相切．AFAFCGODEB（第20题）132连接．∵，∴由翻折得，，．∴．∴OC∥AF．∴．∴直线FC与⊙O相切．（2）在Rt△OCG中，，∴．在Rt△OCE中，．∵直径AB垂直于弦CD，∴．35.（2022江苏扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝EQ\F(1,3)，求DE的长．AABCDEO·【答案】（1）证明：连接AD∵AB为半圆O的直径,∴AD⊥BC∵AB=AC∴点D是BC的中点(2)解：相切连接OD∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（3）∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=900在Rt△ADB中∵cosB=∴BD=3∵CD=3在Rt△ADB中∴cosC=∴CE=1∴DE=36.（2022湖北恩施自治州）如图，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.（1）求证：ED是⊙O的切线.（2）如果CF=1,CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC.【答案】解：⑴连接OD∵BC为直径∴△BDC为直角三角形。又∵∠OBD=∠ODBRt△ADB中E为AB中点∴∠ABD=∠EDB∵∠OBD+∠ABD=90∴∠ODB+∠EDB=90∴ED是⊙O的切线。(2)∵PF⊥BC∴∠FPC=∠PDC又∠PCF公用∴△PCF∽△DCP∴PC=CF·CD又∵CF=1,CP=2，∴CD=4可知sin∠DBC=sinA=∴=即=得直径BC=537.（2022北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．【答案】（1） ∵OD＝OC，∠DOC＝90°∴∠ODC＝∠OCD＝45°∵∠DOC＝2∠ACD＝90°∴∠ACD＝45°∴∠ACD＋∠OCD＝∠OCA＝90°∵点C在⊙O上，∴直线AC是⊙O的切线。（2）∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°∴可求CD＝，∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°∴∠BCD＝30°作DE⊥BC于点E∴DE＝CD＝∵∠B＝45°∴DE＝2。38.（2022山东泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值.【答案】解：（1）证明：连结AD、OD∵AC是直径∴AD⊥BC∵AB＝AC∴D是BC的中点又∵O是AC的中点∴OD∥AB∵DE⊥AB∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线（2）由（1）知OD∥AE∴EQ\f(FO,FA)＝EQ\f(OD,AE)∴EQ\f(FC＋OC,FC＋AC)＝EQ\f(OD,AB－BE)∴EQ\f(FC＋2,FC＋4)＝EQ\f(2,4－1)，解得FC＝2∴AF＝6∴cosA＝EQ\f(AE,AF)＝EQ\f(AB－BE,AF)＝EQ\f(4－1,6)＝EQ\f(1,2)39.（2022云南红河哈尼族彝族自治州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度数.（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.【答案】解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如图10，连接O‘P，O‘M.当PM与⊙O‘相切时，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等边三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=，t=3即：t=3时，PM与⊙O‘相切.（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q点的坐标为（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ===（）当t=3时，S△PQR最小=（4）分三种情况：如图11.eq\o\ac(○,1)当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=∴t+4t=∴t=或化简为t=-18eq\o\ac(○,2)当PQ2=AQ2=4t时过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，∴PA=2AD=2AQ2·cosA=t即t+t=∴t=2eq\o\ac(○,3)当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点HAH=PA·cos30°=（-t）·=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，∴t=综上所述，当t=2，t=，t=-18时，△APQ是等腰三角形.40。（2022云南楚雄）已知：如图，⊙与轴交于C、D两点，圆心的坐标为（1，0），⊙的半径为，过点C作⊙的切线交于点B（－4，0）．（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内⊙上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点的坐标；（3）向左移动⊙（圆心始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）连接，∵是⊙A的切线，∴．∴．∵，∴，∴．∴△∽△，∴．即，∴．∴点坐标是（0，2）．设直线的解析式为，∵该直线经过点B（－4，0）与点（0，2），∴解得∴该直线解析式为．（2）连接，过点作．由切线长定理知．在中，∵，∴．在中，由勾股定理得 ．∴．又∵．∴∽，∴，∴．则是点的纵坐标，∴，解得．∴点的坐标．(3)如图示，当在点的右侧时∵、在⊙上，∴．若△是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．过点作，在中由三角函数可知．又∵∽，∴，∴．∴，∴点坐标是．当在点的左侧时：同理可求点坐标是．41.（2022湖北随州）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.第20题图【答案】证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线42.（2022四川乐山）如图（10）AB是⊙O的直径，D是圆上一点，＝，连结AC，过点D作弦AC的平行线MN。（1）求证明人：MN是⊙O的切线；（2）已知AB＝10，AD＝6，求弦BC的长。【答案】（1）证明：连结OD，交AC于E，如图（2）所示，因＝，所以OD⊥AC又AC∥MN，所以OD⊥MN所以MN是是⊙O的切线（2）解：设OE＝ｘ，因AB＝10，所以OA=5ED＝5－x又因AD=6在直角三角形OAE和直角三角形DAE中，因OA－OE＝AE－ED，所以5－x＝6－（5－x）解得x＝因AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90所以OD∥BC所以OE是△ABC的中位线，所以BC＝2OE＝2＝43.（2022陕西西安）如图，在，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE。（1）若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径。【答案】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴∠DEC=90°，∴DC为△DEC外接圆的直径，∴DC的中点O即为圆心。连接OE，又知BE是⊙O的切线，∴∠EBO+∠BOE=90°在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，∴BE=EC，∴∠EBC=∠C又∵∠BOE=2∠C，∴∠C+2∠C=90°∴∠C=30°（2）在，∵∠ABC=∠DEC=90°∴△ABC∽△DEC∴△DEC外接圆的半径为44.（2022广东东莞）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．⑴求∠POA的度数；⑵计算弦AB的长．AABCDPO第14题图【答案】⑴∵PA与⊙O相切于A点∴∠PAO＝90°∵OA＝2，OP＝4∴∠APO＝30°∴∠POA＝60°⑵∵AB⊥OP∴△AOC为直角三角形，AC＝BC∵∠POA＝60°∴∠AOC＝30°∵AO＝2∴OC＝１∴在Rt△AOC中，∴AB＝AC＋BC＝45.（2022福建三明） 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F。（1）求证：DE是⊙O的切线；（6分）（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长。（6分）【答案】（1）证明：连结OD …………1分∵AD平分∠BAC又OA=OD∴AE（2022湖北襄樊） 如图6，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB（2022山东东营）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为5，求点A到CD所在直线的距离．OO(第21题图)ABDCO(第21题图)ABDCE【答案】解：（1）△O(第21题图)ABDCE∠CAD=∠CDA=30°.连接OC,AO=CO,△AOC是等腰三角形．………2分∠CAO=∠ACO=30°,∠COD=60°．…………………3分在△COD中，又∠CDO=30°，∠DCO=90°．………………4分CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．……………5分（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E.………………6分在Rt△COD中，∠CDO=30°，OD=2OC=10．AD=AO+OD=15……………7分在Rt△ADE中，∠EDA=30°，点A到CD边的距离为：．…………9分48.（2022湖北孝感）如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在BC上运动（不与B、C重合），过点D作DE⌒4分）⌒【答案】解：（1）如图1，又∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED…………2分 …………4分（2）①相切：②如图2，当D为弧BC的中点时，有弧BD=弧DC。 …………8分作Rt△ADC的内切线圆⊙O′分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r， …………10分49.（2022江苏镇江）推理证明（本小题满分7分）如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为.【答案】（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°（1分）∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.（3分）（2）在，（4分）（3）（7分）50．（2022广东汕头）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．（1）求∠POA的度数；（2）计算弦AB的长．第14题图第14题图CBPDAO【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点∴OA⊥AP在Rt△OAP中，由OA＝2，OP＝4得∴∴．（2）∵弦AB⊥OP，∴，∵∴∴∴．51．（2022天津）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.AABCOP图①ABCOPD图②第（22）题【答案】解：（Ⅰ）∵是⊙的直径，是切线，∴.在Rt△中，，，∴.由勾股定理，得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ)如图，连接、，ABCOPD∵ABCOPD∴，有.在Rt△中，为的中点，∴.∴.又∵，∴.∵，∴.即.∴直线是⊙的切线.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分52．（2022内蒙古包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是的中点，交于点，若，求的值．OONBPCAM【答案】ONBPONBPCAM又，．又是的直径，，，即，而是的半径，是的切线． （3分）（2），，又，． （6分）（3）连接，点是的中点，，，而，，而，，，，又是的直径，，．，． （10分）53．（2022广西桂林）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．H（1）证明：AF平分∠BAC；H（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】证明（1）连结OFHH∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH……………1分∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC………2分∴∴AF平分∠BAC…………3分（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2……………4分H∴∠1+∠4=∠2+∠3H∴∠1+∠4=∠5+∠3……………5分∠FDB=∠FBD∴BF=FD………………6分（3）解：在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F∴△BFE∽△AFB………………7分∴，……………8分∴∴……9分∴∴AD==…10分54．（2022广西玉林、防城港）（8分）如图8，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45，过点C的直线与⊙O、MN分别交于A、D两点，过C作CE⊥BD于点E。（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠D＝30，BD＝2＋2，求⊙O的半径r。【答案】（1）证明：连接OB，OC，MN是⊙O的切线，所以OB⊥MN，又CE⊥MN，MN∥OB，又∠CBN＝45，OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝∠CBN＝∠BCE，所以有OB＝OC＝CE＝BE四边形OBEC是正方形，所以OC⊥CE，故CE是⊙O的切线。（2）因BE＝CE，BD＝BE＋DE，设CE＝x，∠D＝30，所以CD＝2ｘ，DE＝x，故有：x＋x＝2＋2x＝2故圆的半径为2。55．（2022四川自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3cm，（1）求⊙O的直径。（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0≤t≤2)，连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？【答案】56．（2022山东荷泽）（本题满分12分）如图，△OAB中，OA＝OB，∠A＝30°，⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点，连接CD．⑴求证：AB是⊙O的切线．⑵求证：CD∥AB．⑶若CD＝，求扇形OCED的面积．AABCDEO22题图【答案】⑴证明：连接OE，∵OA＝OB，E是BC的中点，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线。⑵在△OAB，△OCD中，∠COD＝∠AOB，OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB，∴CD∥AB⑶∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝，∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝，∠COD＝120°，OC＝＝4，∴S扇形OCED＝＝ABCABCDEO22题图57．（2022湖北咸宁），在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若，求CD的长．AAFCGODEB（第20题）【答案】解：（1）直线FC与⊙O相切．……1分AFAFCGODEB（第20题）132连接．∵，∴……2分由翻折得，，．∴．∴OC∥AF．∴．∴直线FC与⊙O相切．……4分（2）在Rt△OCG中，，∴．……6分在Rt△OCE中，．……8分∵直径AB垂直于弦CD，∴．……9分58．（2022广西钦州市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；（2）求证：AE2＝EB·EC．【答案】解：（1）解法一：解法二：∵AB为⊙O的直径，∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，∴∠ACB＝90°．……1分∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，∵弦CD⊥直径AB于点M，∴BC＝AB•cos30°＝2×.…2分∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°，∴CD＝2CM＝2×∴CM＝BC=.……4分＝2×＝……5分CD＝2CM＝．……5分（其它解法请酌情给分）（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分又∵∠E＝∠E，∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分∴． 9分∴AE2＝EB•EC． 10分59．（2022鄂尔多斯）如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D。求证：（1）BD是⊙O的切线（2）【答案】证明：（1）∵∴∠1=∠2，AC=AE∴AB⊥CE∵CE∥BD∴AB⊥BD∴BD是⊙O的切线（2）连接CB∵AB是⊙O的切线∴∠ACB=90°∵∠ABD=90°∴∠ACB=∠ABD∵∠1=∠2∴△ACB∽△ABD∴∴（证法二，连接BE，证明略）60．（2022新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE。（1）求证：DE∥CF；（2）当OE=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长。（3）若OE=2，移动三角形ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离。【答案】解：（1）连结OF∵AB切半圆O于 F点∴OF⊥AB∴∠OFB=∠ABC=90°∴OF∥BC∵BC=OE=OF∴四边形OFCB为平行四边形∴CF∥OB即DE∥CF(2)在Rt△ABC中，∠A=30°BC=OE=2∴AC=4AB=∵△OFB∽△ABC∴（3）在Rt△ABC中，BC=OE=2∠A=30°则AC=4当AB与半圆O相切于E点时，B点与E点重合，BE=0当AB与半圆O相切于A点时，△OAB≌△CBAOB=AC=4BE=OB-OE=4-2=2即点B在直径DE的延长线上移动的最大距离为2.61．（2022广西梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12，过点A作直线MN，使∠BAM=eq\f(1,2)∠AOB，（1）求证：MN是⊙O的切线。（2）延长CB交MN于点D，求AD的长。【答案】DABCOMN（1）证明：∵∠BAM=eq\f(1,2)∠AOB(已知)，∠BCA=eq\f(1,2)∠AOB（同弧所对圆周角是圆心角的一半），∴∠BAM=∠BCA（等量代换），DABCOMN∵∠CBA=90°（直径所对圆周角是直角）∴∠BCA+∠CAB=90°，∴∠BAM+∠CAB=90°，即：∠CAM=90°∴MN是⊙O的切线。（2）在Rt△ABC中，AC=13，BC=12，根据勾股定理得：AB=5∵∠BCA=∠ACD，∠CBA=∠CAD=90°,∴△DAB∽△CAB，∴,即：，∴AD=。62．（2022广西南宁）如图11-①，为⊙的直径，与⊙相切于点,与⊙相切于点，点为延长线上一点，且．（1）求证：为⊙的切线；（2）连接，的延长线与的延长线交于点图11-①图11-②(如图11-②所示)．若,求线段和的长．【答案】（1）连接1分∵∴∴2分又∵与⊙相切于点∴3分∴∴为⊙的切线4分（2）过点作于点，∵分别切⊙于点∴5分设为，则，在中，解得：6分∵∴∵∴∵∴∴7分∴∴8分解法一：连接，∴∴9分在中，10分解法二：∵∴9分∴,,解得10分63．（2022广东茂名）已知⊙O1的半径为R，周长为C．（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++<C；（3分）(第25题（1）图)(第25题（1）图)（第25题备用图）（第25题备用图）（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，求的取值范围．（3分）（第25题备用图）：（第25题备用图）【答案】（1）证明：，，．++，因此，++<C．（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，∴点N的坐标为N（R，），把点N坐标代入得：，解得：，②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，因此点A的坐标是A，将点A的坐标代入，解得：．同理可求得点D的坐标为D，将点D的坐标代入，解得：所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：64．（2022云南昭通）如图9，已知直线l的解析式为y=－x＋6,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．（1）求A、B两点的坐标;（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=？若存在，求出t值．若不存在，说明理由.【答案】解：（1）∵y=－x＋6,令y=0，得0=－x＋6,x=6．∴A(6,0)．令x=0，得y=6,∴B（0,6）．……2分（2）∵OA=OB=6，∴△AOB是等腰直角三角形．∵n∥l，∴∠CDO=∠BAO=45°，∴△COD为等腰直角三角形，OD=OC=t．CD=∴．，∴．……8分（3）①分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F．AD=OA-OD=6-t,在Rt△ADE中，sin∠EAD=，DE=，∴PF=DE=．当PF=PD时，半圆与l相切．即，t=3．当t=3时，半圆与l相切．……11分②存在．∵．．若，则，，，．∴存在，使得．…………14分65．（2022辽宁大连）如图10，△ABC内接于⊙O的直径，点D在AB的延长线上，（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）证明：△AOC≌△DBCCDCDB图10AO【答案】66．（2022贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.(1)当AC=2时，求⊙O的半径；(2)设AC=χ，⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。【答案】【答案】解法一：连接OD、OE、OC……1分∵D、E为切点，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………2分∵S△ABC=S△AOC+S△BOC∴AC×BC=AC×OD+BC×OE……3分∵AC+BC=8,AC=2,∴BC=6∴×2×6=×2×OD+×2×OE……4分而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半径为………………5分解法二：连接OD、OE………1分∵D、E为切点，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE……………2分∴∠C＝90°，∴OECD为正方形∴OD＝OE＝EC＝CD＝t………3分而△AOD∽△ABC，∴………