时变时延和捡包网络化控制系统的容错控制

时变时延和捡包网络化控制系统的容错控制

随着人们系统安全和可靠性要求的提高，对容错控制的研究得到了高度重视。网络技术的快速发展以及网络化管理制度（rcs）的广泛应用，导致了rcs的分析和项目，这是网络控制的一个重要课题。然而，引入网络导致延迟和丢失信息的问题，以及线路的延误和丢失。随着时间延和包装时间延的出现，这不仅降低了系统的性能，而且使系统失稳。此外，rcs不仅规模和结构更大、更复杂，而且错误的很多因素都是由于欺骗性。近年来，它引起了越来越多的fs-县志控制，并取得了一些初步成果。文献针对NCS存在的时变时延,在建立具有多输入时延的NCS模型的基础上,研究了此类系统的鲁棒完整性问题.文献考虑网络诱导时延的随机性,借助跳变系统理论,研究了离散网络控制系统执行器失效的容错控制问题.文献针对具有时变时延的不确定NCS,基于时滞依赖稳定理论,对存在执行器失效情况的闭环NCS进行了鲁棒完整性设计.文献针对一类同时存在网络时延和丢包的NCS,研究了执行器部分失效情况下鲁棒H∞完整性问题.文献将随机时延对系统的影响转化为系统不确定参数,研究了执行器或传感器失效情形下的离散不确定NCS的鲁棒容错控制问题.文献针对一类具有时变采样周期的NCS,采用输入时延法,将该系统转化为连续时变时延NCS,研究了执行器失效情形下的不确定NCS的鲁棒容错控制问题.但就现存的NCS容错控制结果来看,对时延或丢包的考虑较单一,性能主要以完整性为主,且结果多为相对保守性较大的时滞不依赖型.由于被动容错源于鲁棒控制,其本身也具有较大的保守性.因而对同时具有时变时延和丢包的NCS,从减少结果的保守性出发研究其容错控制问题,无疑对提高NCS容错的可行性和满意度具有重要意义.近期,在时延系统的研究中出现了一些新结果,文献考虑到变化的网络传输条件,可能会引入具有不同属性的序列时延,从而提出一种具有状态多时延的新模型,并得到较传统单一状态时延模型更少保守性的稳定性判据.在此基础上文献考虑实际系统尤其是NCS时延下界不为零的因素,同时在推证过程中避免了一些多保守性的方法使用,给出更少保守性稳定性准则并讨论H∞问题.但均未考虑系统中元件的故障.基于此,本文针对同时具有网络时延和丢包的线性网络化控制系统,考虑有限能量外部扰动的影响,基于状态多时延模型,在执行器或传感器失效故障情形下,通过构造的时滞依赖Lyapunov-Krasovskii泛函,得到保守性较小的NCSH∞完整性设计准则,并以求解矩阵不等式的方式给出H∞容错控制器的设计方法.由于模型中考虑了时延下界,并以此为准将时延与丢包化分为下界常时延与时变时延两部分,且证明过程未采用模型转换技术,同时也未进行交叉项放大处理,其结果具有较少保守性.文中还对最优H∞容错控制器的设计方法进行讨论.1时延及表现控制器考虑图1所示的NCS,假设被控对象的状态空间模型为˙x(t)=Ax(t)+Bu(t)+Ew(t)z(t)=Cx(t)+Du(t)(1)其中:x(t)∈Rn为状态向量;u(t)∈Rp为控制输入向量;z(t)∈Rq为控制输出向量;w(t)∈Rl为外部有限能量扰动,且w(t)∈L2[0,∞);A、B、C、D、E为具有适当维数的常实数矩阵.对网络系统作如下假设:传感器节点采用时钟驱动,控制器节点和零阶保持器节点采用事件驱动.数据采用单包传输,且无时序错乱.由图1可知,采样器到控制器的时延为τk;控制器到零阶保持器的时延为dk;若采用静态反馈控制,整个闭环系统的时延为ηk(ηk=τk+dk),其中:ηm≤ηk≤ηM,ηm和ηM分别为时延上、下界.若假设所有状态量可测量,采样周期为常数h,并取采样时刻为t*k,k=1,…,∞,则可得ˉx(t*k)=x(t*k)=[x1(t*k)x2(t*k)⋯xn(t*k)]Τ.零阶保持器的更新时刻为tk,k=1,…,∞,则状态反馈控制器可表示为u(tk)=Kx(tk-ηk),考虑零阶保持器的动态属性,则有u(t)=Κx(tk-ηk)(ηm≤ηk≤ηΜ‚tk≤t＜tk+1)(2)其中:K是控制增益矩阵,tk+1为tk之后下一个时刻零阶保持器的更新时刻.其次,由于网络拥塞和连接中断,不可避免地会导致数据包丢失.因此假设在区间[tk,tk+1)内丢包数目为δk+1,ˉδ为最大丢包数目,则δk+1≤ˉδ(3)由式(2,3)可得tk+1-tk=(δk+1+1)h+ηk+1-ηk(4)若将式(4)中的(tk-ηk)表示为tk-ηk=t-ηm-t+tk+ηm-ηk=t-ηm-η(t)则η(t)=t-tk+ηk-ηm(5)综合式(4,5),则有0≤η(t)≤κ,其中:κ=ηΜ-ηm+(ˉδ+1)h将式(5)代入式(2),可得同时考虑时变时延和丢包的状态反馈控制器为u(t)=Κx(t-ηm-η(t))(tk≤t＜tk+1)(6)其中:ηm为常时延,η(t)为不可微的时变时延,且满足ηm≡C<∞,0≤η(t)≤κ<∞.将式(6)代入式(1)得网络化闭环控制系统为˙x(t)=Ax(t)+BΚx(t-ηm-η(t))+Ew(t)z(t)=Cx(t)+DΚx(t-ηm-η(t))(tk≤t＜tk+1)(7)注1由于没有以采样时刻t*k作为零阶保持器的更新时刻,因此不必考虑零阶保持器与采样器的不同步问题,更便于实际系统的设计;而且系统模型中引入了时延下界ηm,使时变时延η(t)的上界减少了ηm;此外时变时延的变化率未作小于等于1和可微的限定,更符合网络通讯的实际情形.2主要结果2.1“h”的h3引理1(Schur补引理)若已知3个矩阵H1=HΤ1,0<H2=HΤ2,H3则H1+HΤ3H-12H3<0,当且仅当[Η1ΗΤ3Η3-Η2]＜0或[-Η2Η3ΗΤ3Η1]＜02.2lyapunov-krasovkii估计考虑执行器可能发生失效故障的情形,引入开关矩阵L,并把它放在输入矩阵和反馈增益矩阵之间,其形式为L=diag{l1,l2,⋯,lp},其中:li={1第i个执行器正常0第i个执行器失效(i=1,2,⋯,p)L∈Ω,Ω为执行器开关矩阵L对角元素任取0或1的各种组合的对角阵集合(L=0除外),表示所有可能的执行器失效故障模式的集合.则网络化闭环故障系统NCFS(networkedclosed-loopfaultsystem)为˙x(t)=Ax(t)+BLΚx(t-ηm-η(t))+Ew(t)z(t)=Cx(t)+DΚx(t-ηm-η(t))(tk≤t＜tk+1)(8)针对执行器失效故障,H∞完整性设计的目标为:寻求状态反馈增益K使得系统(8)满足如下条件:1)闭环系统渐近稳定(w(t)=0);2)在零初始条件下,闭环控制系统满足H∞性能,即‖z(t)‖2<γ‖w(t)‖2,其中w(t)∈L2[0,∞),γ>0.定理1考虑NCFS(8),对于任意可能的执行器故障模式矩阵L∈Ω,当外部有扰时,给定常数γ>0、ηm、ηM和ˉδ,如果存在正定对称矩阵P、R、M、Z1≥Z2,半正定对称矩阵Q和矩阵X、Y、U、V,使[Ξ1+Ξ2+ΞΤ2+Ξ3+Ξ4+Ξ5Ξ6*Ξ7]＜0(9)成立,则存在状态反馈控制律(6)使NCFS(8)渐近稳定,且扰动抑制律为γ,也即对执行器失效故障系统具有H∞完整性.其中:*表示由矩阵的对称性得到的矩阵块.Ξ1=[ϒ0ΡBLΚ0ΡE*-Q000**000***-R0****0)ϒ=ΡA+AΤΡ+Q+RΞ2=[X+VY-XU-Y-U-V0]Ξ3=ΞΤ31[ηmΖ1+κΖ2+νΜ]Ξ31Ξ31=[A0BLΚ0E]Ξ4=[C0DΚ00]Τ[C0DΚ00]Ξ5=diag{0000-γ2Ι}Ξ6=[XYUV]ν=ηm+κΞ7=diag{-η-1mΖ1-κ-1Ζ2-ν-1Ζ2-ν-1Μ}(10)证明结合文献构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)V1(t)=xΤ(t)Ρx(t)V2(t)=∫tt-ηmxΤ(s)Qx(s)dsV3(t)=∫tt-νxΤ(s)Rx(s)dsV4(t)=∫0-ηm∫0β˙xΤ(t+α)Ζ1˙x(t+α)dαdβ+∫-ηm-ν∫0β˙xΤ(t+α)Ζ2˙x(t+α)dαdβ+∫0-ν∫0β˙xΤ(t+α)Μ˙x(t+α)dαdβ(11)其中:P、R、M、Z1≥Z2为正定对称矩阵,Q为半正定对称矩阵,ν=ηm+κ为总时延ηm+η(t)的上界.沿系统(8)的任意轨线,V(t)对时间t的导数为˙V1(t)=2xΤ(t)Ρ[Ax(t)+BLΚx(t-ηm-η(t))+Ew(t)]˙V2(t)=xΤ(t)Qx(t)-xΤ(t-ηm)Qx(t-ηm)˙V3(t)=xΤ(t)Rx(t)-xΤ(t-ν)Qx(t-ν)˙V4(t)=˙xΤ(t)[ηmΖ1+κΖ2+νΜ]˙x(t)-∫tt-ηm˙xΤ(α)Ζ1˙x(α)dα-∫t-ηmt-ν˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα-∫tt-ν˙xΤ(α)Μ˙x(α)dα=˙xΤ(t)[ηmΖ1+κΖ2+νΜ]˙x(t)-∫tt-ν˙xΤ(α)Μ˙x(α)dα-∫tt-ηm˙xΤ(α)Ζ1˙x(α)dα-∫t-ηm-η(t)t-ν˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα-∫t-ηmt-ηm-η(t)˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα(12)根据Newton-Leibniz公式,对于任意适当维数的矩阵X、Y、U、V有θi=0(i=1,…,4):θ1=ξΤ(t)X(x(t)-x(t-ηm)-∫tt-ηm˙x(α)dα)θ2=ξΤ(t)Y(x(t-ηm)-x(t-ηm-η(t))-∫t-ηmt-ηm-η(t)˙x(α)dα)θ3=ξΤ(t)U(x(t-ηm-η(t))-x(t-ν)-∫t-ηm-η(t)t-ν˙x(α)dα)θ4=ξΤ(t)V(x(t)-x(t-ν)-∫tt-ν˙x(α)dα)(13)其中:ξ(t)=[xΤ(t)xΤ(t-ηm)xΤ(t-ηm-η(t))xΤ(t-ν)wΤ(t)]Τ由式(11～13)可得˙V(t)=2xΤ(t)Ρ[Ax(t)+BLΚx(t-ηm-η(t))+Ew(t)]+xΤ(t)Qx(t)-xΤ(t-ηm)Qx(t-ηm)+xΤ(t)Rx(t)-xΤ(t-ν)Rx(t-ν)+˙xΤ(t)[ηmΖ1+κΖ2+νΜ]˙x(t)-∫tt-ηm˙xΤ(α)Ζ1˙x(α)dα-∫tt-ηm˙xΤ(t)Μ˙x(α)dα-∫t-ηmt-ηm-η(t)˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα-∫t-ηm-η(t)t-ν˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα+θ1+θ2+θ3+θ4=ξΤ(t)[Ξ1+Ξ2+ΞΤ2+Ξ3+ˉΞ6]ξ(t)+11∑i=8Ξi(14)其中:ˉΞ6=-Ξ6Ξ7ΞΤ6=ηmXΖ-11XΤ+κYΖ-12YΤ+νUΖ-12UΤ+νVΖ-12VΤΞ8=-∫tt-ηmΞΤ81Ζ-11Ξ81dαΞ81=XΤξ(t)+Ζ1˙x(α)Ξ9=-∫t-ηmt-ηm-η(t)ΞΤ91Ζ-12Ξ91dαΞ91=YΤξ(t)+Ζ2˙x(α)Ξ10=-∫t-ηm-η(t)t-νΞΤ101Ζ-12Ξ101dαΞ101=UΤξ(t)+Ζ2˙x(α)ˉΞ11=-∫tt-νΞΤ111Μ-1Ξ111dαΞ111=VΤξ(t)+Μ˙x(α)(15)因为zΤ(t)z(t)=ξΤ(t)Ξ4ξ(t)γ2wΤ(t)w(t)=-ξΤ(t)Ξ5ξ(t)所以有˙V(t)+zΤ(t)z(t)-γ2wΤ(t)w(t)=ξΤ(t)[Ξ1+Ξ2+ΞΤ2+Ξ3+Ξ4+Ξ5+ˉΞ6]ξ(t)+11∑i=8Ξi由于M、Z1≥Z2为正定对称矩阵,故ˉΞi(i=7,⋯,10)均为非正定的,由Schur补引理,式(9)确保Ξ1+Ξ2+ΞΤ2+Ξ3+Ξ4+Ξ5+ˉΞ6＜0.因此有˙V(t)+zΤ(t)z(t)-γ2wΤ(t)w(t)＜0(16)对于w(t)=0,显然˙V(t)＜0,闭环故障系统(8)渐近稳定.对于任意非零有限能量扰动w(t)∈L2[0,∞),对式(16)从tk到t∈[tk,tk+1)两边积分,可得V(t)-V(tk)＜-∫ttkzΤzdt+∫ttkγ2wΤwdt(17)由于V(t)在t∈[t0,∞)内连续,则V(t)-V(t0)＜-∫tt0zΤzdt+∫tt0γ2wΤwdt(18)在零初始条件下,若t→∞,则可得‖z‖2<γ‖w‖2,即系统具有γ扰动抑制性能.注2定理1中包括了有关的时延属性:最大丢包数目ˉδ、时延下界ηm、总时延上界ν以及时变时延上界κ等所有信息,结果是时滞依赖的.尤其是时延下界ηm的引入,可进一步减少保守性.注3定理1证明中保留了˙V4(t)中的∫t-ηm-η(t)t-ν˙xΤ(α)Ζ2˙x(α)dα项,同时证明过程未进行模型转换,也无需进行交叉项的放大处理,均减少了结果的保守性.由于定理1中所得到的条件是一矩阵不等式,使得式(9)成为非凸问题,不能直接采用LMIs的方法求解,为方便求解需将其转化为LMIs.定理2考虑NCFS(8),对于给定的执行器故障模式矩阵L∈Ω,当外部有扰时,给定常数γ>0、ηm、ηM和ˉδ,如果存在正定对称矩阵ˉΡ、R¯、Μ¯、Ζ¯1≥Ζ¯2,半正定对称矩阵Q¯和矩阵Κ¯、X¯、Y¯、U¯、V¯使(Π1+Π2+Π2Τ+Ξ5Π3Π5Π7*Π4*00**Π60***-Ι)＜0(19)成立,则存在状态反馈控制律(6)使NCFS(8)渐近稳定,且扰动抑制率为γ,控制器增益可通过Κ=Κ¯Ρ¯-1求得.其中:Π1=(AΡ¯+Ρ¯AΤ+Q¯+R¯0BLΚ¯0E*-Q¯000**000***-R¯0****0)Π2=[X¯+V¯Y¯-X¯U¯-Y¯-U¯-V¯0]Π3=[X¯Y¯U¯V¯](20)Π4*=diag{ηm-1(Ζ¯1-2Ρ¯)κ-1(Ζ¯2-2Ρ¯)ν-1(Ζ¯2-2Ρ¯)ν-1(Μ¯-2Ρ¯)}Π5=[AΡ¯0BLΚ¯0E]Τ[ΙΙΙ]Π6=diag{-ηm-1Ζ¯1-κ-1Ζ¯2-ν-1Μ¯}Π7=[CΡ¯0DΚ¯00]Τ证明应用Schur补定理,式(9)等价于下式:[Ξ1+Ξ2+Ξ2Τ+Ξ5Ξ6ψ1ψ3*Ξ700**ψ20***-Ι]＜0(21)其中:ψ1=ψT11ψ12ψ11=[A0BLK0E]ψ12=[Z1Z2M](22)ψ2=diag{-ηm-1Ζ1-κ-1Ζ2-ν-1Μ}ψ3=[C0DΚ00]Τ用J=diag{J1J2J3Ι}对式(21)进行合同变换,其中:J1=J2=diag{Ρ-1Ρ-1Ρ-1Ρ-1Ι}J3=diag{Ζ1-1Ζ2-1Μ-1}令Ρ¯=Ρ-1,Μ¯=Μ-1,Ζ¯1=Ζ1-1,Ζ¯2=Ζ2-1,Κ¯=ΚΡ-1,R¯=Ρ-1RΡ-1,Q¯=Ρ-1QΡ-1,[X¯Y¯U¯V¯]=J1[XYUV]J2,便得到下式:[Π1+Π2+Π2Τ+Ξ5Π3Π5Π7*Π400**Π60***-Ι]＜0(23)其中:Ρ¯、R¯、Μ¯、Ζ¯1、Ζ¯2为正定对称矩阵,Q为半正定对称矩阵,Κ¯、X¯、Y¯、U¯、V¯为适当维的矩阵.Π4=diag{-ηm-1Ρ¯Ζ¯1-1Ρ¯-κ-1Ρ¯Ζ¯2-1Ρ¯-ν-1Ρ¯Ζ¯2-1Ρ¯-ν-1Ρ¯Μ¯-1Ρ¯}(24)如果以上条件是可行的,则式(2)中的控制器增益矩阵为Κ=Κ¯Ρ¯-1(25)由于式(24)中仍存在非线性项Ρ¯Ζ¯i-1Ρ¯和Ρ¯Μ¯-1Ρ¯,注意到Ζ¯i和Μ¯是正定对称阵,故有(Ζ¯i-Ρ¯)Ζ¯i-1(Ζ¯i-Ρ¯)≥0(Μ¯-Ρ¯)Μ¯-1(Μ¯-Ρ¯)≥0(26)式(26)可转化为-Ρ¯Ζ¯i-1Ρ¯≤Ζ¯i-2Ρ¯-Ρ¯Μ¯-1Ρ¯≤Μ¯-2Ρ¯(27)合并式(24,27),定理2得证.当给定H∞扰动抑制指标γ,并已知网络时延及丢包信息参数ηm、ηM和δ¯时,求解LMIs(19)即可得到H∞完整性次优控制器.最优H∞完整性控制器可采用以下方式获得:令ρ=γ2:minδ¯,ηm,ηΜρ(28)s.t.(19)Ρ¯＞0,R¯＞0,Q¯≥0,Ζ¯1≥Ζ¯2＞0,Μ¯＞0,X¯≥0,Y¯≥0,U¯≥0,V¯≥0如果该优化问题有解,则结合定理2,利用该优化问题的最优解可以得到系统(8)的最优H∞控制器,相应的最小扰动抑制率是ρ.2.3传感器失效故障稳定性问题的求解考虑传感器可能发生故障的情形,引入开关矩阵F,并把它放在反馈增益矩阵和状态之间,其形式为F=diag{f1,f2,⋯,fn}其中:fi={1第i个传感器正常0第i个传感器失效(i=1,2,⋯,n)F∈Φ,Φ为传感器开关矩阵F对角元素任取0或1的各种组合的对角阵集合(F=0除外),表示所有可能的传感器失效故障模式的集合.则网络化闭环故障系统(NCFS)为x˙(t)=Ax(t)+BΚFx(t-ηm-η(t))+Ew(t)z(t)=Cx(t)+DFx(t-ηm-η(t))(tk≤t＜tk+1)(29)针对传感器失效故障,H∞完整性设计的设计目标为:寻求状态反馈增益K使得系统(29)满足条件1),2).定理3考虑NCFS(29),对于任意可能的传感器故障模式矩阵F∈Φ,当外部有扰时,给定常数γ>0、ηm、ηM和δ¯,如果存在正定对称矩阵P、R、M、Z1≥Z2,半正定对称矩阵Q和矩阵X、Y、U、V使[Ξ1*+Ξ2+Ξ2Τ+Ξ3*+Ξ4+Ξ5Ξ6*Ξ7]＜0(30)成立,则存在状态反馈控制律(6)使NCFS(29)渐近稳定,且扰动抑制律为γ,也即对传感器失效故障系统具有H∞完整性.其中:Ξ1*=[AΡ+ΡAΤ+Q+R0ΡBΚF0ΡE*-Q000**000***-R0****0]Ξ3*=Ξ32Τ[ηmΖ1+κΖ2+νΜ]Ξ32Ξ32=[A0BΚF0E](31)定理3的证明与定理1类似,不再赘述.定理4考虑NCFS(29),对于任意可能的传感器故障模式矩阵,当外部有扰时,给定常数γ>0、ηm、ηM和δ¯,如果存在正定对称矩阵Ρ¯、R¯、Μ¯、Ζ¯1≥Ζ¯2,半正定对称矩阵Q¯和矩阵Κ¯、X¯、Y¯、U¯、V¯使[Π1*+Π2+Π2Τ+Ξ5Π3Π5*Π7**Π4*00**Π60***-Ι]＜0(32)成立,则存在状态反馈控制律(6)使NCFS(29)渐近稳定,且扰动抑制率为γ,控制器增益可通过Κ=Κ¯Ρ¯-1求得.其中:Π1*=[AΡ¯+Ρ¯AΤ+Q¯+R¯0BΚFΡ-10E*-Q¯000**000***-R¯0****0)Π5*=[AΡ¯0BΚFΡ-10E]Τ[ΙΙΙ]Π7*=[CΡ¯0DΚ¯00]Τ由于定理4中所得到的条件是一矩阵不等式,使得式(32)成为非凸问题,不能直接采用LMIs的方法求解,将式(32)的求解转化为对下述非线性最小化问题的求解,与前类似方法可得minδ¯,ηm,ηΜρ(33)s.t.(32)Ρ¯＞0,R¯＞0,Q¯≥0,Ζ¯1≥Ζ¯2＞0,Μ¯＞0,X¯≥0,Y¯≥0,U¯≥0,V¯≥0相应的最小扰动抑制率是ρ.当已知网络时延及丢包信息参数ηm、ηM和δ¯时,可通过下述方法进行优化H∞扰动抑制指标γ.求解该非线性优化问题的步骤如下:Step1选取P-1=λI,其中λ>0为充分大的常量,设s=1.Step2使用Step1中选取的P-1求解优化问题(33).Step3令Ρ-1=Ρ¯,重新求解优化问题(33),s=s+1.Step4判断条件:若|γs-γs-1|＜ξ,停止;否则,返回Step2.其中ξ为预先选定的充分小量.3执行器和执行器失效故障下的状态响应考虑网络化控制系统(1),其中:A=[-1.3-0.50.7-1.8]B=[10.501]C=[0.9001]D=E=[-0.40]假设扰动信号为w(t)={cos(2πt)exp(-0.2t)(5≤t＜10s)0(其他)取系统的初始状态为x(0)=T.不妨假设采样周期为h=0.1s,每个采样周期内最大丢包数目为δ¯=2,取最小时延ηm=0.1s,最大时延ηM=0.4s,则时变时延的上界和总时延上界分别为κ=ηΜ-ηm+(δ¯+1)h=0.6sν=ηm+κ=0.7s针对执行器正常及失效故障情形,其中:L0=diag{1,1}、L1=diag{0,1}及L2=diag{1,0}分别表示执行器正常、执行器1和执行器2发生完全失效故障,引入状态反馈控制律(6),根据定理2,利用Matlab中LMIs工具箱,取γ=0.9,此时通过求解LMIs(19)可得矩阵Ρ¯a和Κ¯a:Ρ¯a=