《随机变量及其分布》单元教学设计的几点“注重”论文

《随机变量及其分布》单元教学设计的几点“注重”摘要：本文通过对《随机变量及其分布》单元教学设计中的几点“注重”，即注重培养学生对概率的学习兴趣，注重对概率相关概念的教学，注重用概率的语言描述随机现象和随机事件，注重概率模型化思想的渗透，注重加强学生阅读理解能力和数据处理能力的培养，注重问题的多样性和综合性方面的拓广和探索，注重信息技术和课程的深度融合，注重结合相应的教学内容落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。关键词：基本概念，概率语言，概率模型，信息技术，核心素养。引言：本单元是《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》的第七章，所属选择性必修课程里的主题三概率和统计；同时，也是必修课程中概率内容的延续。本单元由必修2里的古典概型入手，构建了条件概率的概念，再由条件概率的公式变形得到概率的乘法公式，又由概率的乘法公式和加法公式得到全概率公式和贝叶斯公式；把随机现象数量化，得到两种随机变量：离散型和连续型随机变量，由离散型随机变量得其分布列及其性质、数字特质（期望和方差），最后学习了概率的三种模型，即二项分布、超几何分布、正态分布。概率的相关概念和性质是本单元的“骨架”，概率的三种模型是本单元的“血肉”，二者构成了一个有机整体，学习的过程构成了由理论到实践，再由实践到理论的知识回路。单元教学设计有利于优化课堂教学设计，提高课堂效率。为了师生整体把握教材体系，更好地理解数学，谈谈本单元教学设计中的几点需要“注重”的问题。1.在整个教学设计中注重培养学生对概率的学习兴趣子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣是最好的老师。数学教育应当让学生从思想上对数学有一个理性地、客观全面的正确的认识，去“妖魔化”，使学生愿意接近数学、了解数学、探讨数学、玩“数学”，对数学现象保持一定的热情和好奇心。正如刘慈欣对宇宙奥妙的好奇心，才创造出风靡世界的《三体》。这就要求课堂教学设计要从学生已有的生活经验、数学经验出发，注意创设良好的问题情境。譬如：以史料作为教学情境，渗透数学文化，激发学生的学习兴趣；结合课本中的典型案例，引入大量生活实例，让学生亲自动手实践和操作，“知行合一”，使其感知经历整个过程，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯，努力增强学生学习数学的热情，使学生对问题内容产生好奇，产生“我想学”的兴趣和“冲动”，促进更多的学生热爱数学，让学生成为问题解决的成功者和幸福者。2.在整个教学设计中注重对概率基本概念的教学数学是最抽象，最不好玩，最难玩的学科。因此，数学教师要想方设法让学生主动地参与学习，学得快乐，学得成功，获得情感上的满足，数学是“玩”概念的，概念是数学教学的核心。本单元涉及概念众多，引导学生读透教材，对教材中的基本概念进行梳理，对概念的来源、产生、发展，以及概念之间的区别和联系，进行深度学习。2.1数学概念教学的本质数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是人们通过实践，从数学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的。概念的形成，标志着人的认识已经从感性认识上升为理性认识。数学中的推理和证明实质上由一连串的概念、判断和原理组成，因此数学概念学习是数学学习的基础，数学概念的教学是数学教学最重要的组成部分。数学概念学习的本质就是概括出数学中一类事物对象的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。一般地，数学概念学习的内容包括以下4个方面:(1)概念的名称，(2)概念的定义，(3)概念的例子，(4)概念的属性。概念教学的本质是要使学生在脑中形成概念表象，帮助学生在脑中建构起良好的概念图式。概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习，而是要帮助学生获得概念的心理意义，即形成概念内涵的心理表象或者说建构起良好的概念图式。概念图式由一些反映概念属性的观念组成。概念图式中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。2.1.1概念的形成概念的形成使指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。低年级学生大多数通过接触概念的例证和反例，或者记住某些典型例子来获得具体概念或日常概念。随着认知水平的提高，学生可以按概念的形成方式来获得精确的科学概念。以概念的形成方式获得精确概念的心理过程如下图1所示。2.1.2概念的同化概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程。概念的同化过程不仅使新概念获得了意义，而且扩大和深化了原有的认知结构。在数学中，大多数概念是以属概念(在概念的从属关系中，外延大的概念称为属概念)加种差(即关键属性)的方式定义的。同化以这种方式定义的概念，实质上就是对属概念重新进行分类，分类的依据是种差，并借助于具体的例证进行，学习者就明确了概念的内涵和外延。同化的结果，概念获得了心理意义，原有的数学认知结构得到扩展和深化。2.2数学概念学习的4种水平数学概念学习可以分成了解、理解、掌握和综合运用4种水平:了解：能回忆出概念的言语信息，能辨认出概念的常见例证，会举例说明概念的相关属性。理解：能把握概念的本质属性，能与相关概念建立联系，能区别概念的例证与反例。掌握：在理解的基础上，能直接把概念运用于新的情境。综合运用：能综合运用概念解决问题。为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念，教师在教学中要注意以下5个方面:(1)加强对数学概念的解剖分析:数学概念是借助于数学语言符号来表达的，其用语、用词一般都非常严密、精练，具有高度的概括性，因而，有的概念叙述十分简练，寓意深刻;有的用符号、式子表示，比较抽象，对这些概念，教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性。(2)利用变式，突出概念的本质属性:利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出本质属性，使学生获得的概念更精确、更稳定。(3)注重概念的对比和直观化:数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能将它们有机地联系在一起进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果。有些数学概念之间，联系紧密，差别较小，形式相似，容易被学生混淆。对这些概念，就要让学生比较它们的内涵和外延，在比较中加以鉴别，澄清模糊。数学教材一般都是从正面阐述概念，这容易使学生形成思维定式，妨碍对概念的深刻理解；因此，教师应注意引导学生从正反两方面去认识概念。比如，可以利用若干反例，让学生从反面去认识概念的内涵和外延。数学概念通常是经过多层次的抽象概括而得来的，它往往脱离了具体的原型。对这类比较抽象的概念，应引导学生将概念具体化、形象化，借助于直观图形，使抽象的数学概念成为看得见摸得着的事物。(4)注重概念体系的建构:在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念，而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知结构。新概念是在原有概念的基础之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或扩充。因此，新旧概念之间有着内在的联系，如相邻关系、对立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，这些联系是构建概念体系的前提。经过章节的学习之后，应引导学生将所学的概念加以整理、归类、理解概念之间的关系，特别是种属关系，将这些概念联点串线。学生一旦形成了这样概念体系，不仅有利于概念的存储和检索，而且有助于理解和吸收新概念。(5)注重概念产生的背景:为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念，关键的问题是不仅要让学生知道一节课学习的内容，更要让学生知道为什么要学这个内容，由“知其然”、发展到“知其所以然”。即使是教师直接告诉学生课题，也要作出充分的铺垫，使得学生觉得这个时候学习这个内容是应该的，自然而然的，不至于产生从天上掉下-一个概念的感觉，长此以往，学生就会逐渐在学习过程中自已给自己提出下一步要研究什么的问题，发展自我探求知识的意思和能力。3.在整个教学设计中注重用概率的语言描述随机现象和随机事件用数学的语言表达世界。在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上，适当进行严格、准确的描述，强调解决问题过程的规范化和统一性。比如，在教学全概率公式时，解决如下的问题：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”(i=1，2)，我们可以用图形来表示事件之间的关系。事件R2可按第1次可能摸球的结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并即R2=(R1R2)∪(B1R2).利用概率的加法公式和乘法公式，得用符号和概率的语言将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.通过概率的相关符号和语言使得解决问题的整个过程明晰清楚有序，简要规范。4.在整个教学设计中注重概率模型化思想的渗透概率问题基本是应用问题，情境贴近学生的实际生活，培养学生的数学建模能力并用概率模型解决实际问题。4.1在教学设计中明确数学建模课教学的重要意义(1)让学生学会通过查询资料、获取信息等手段，培养学生发现问题，提出问题的意识。(2)培养学生的观察力、理解力和抽象能力，对事物进行正确判断的能力，从而，加深对数学本质的理解与认识。(3)能扩展数学概念，增强数学研究的能力，强化数学应用的意识，培养学生灵活运用数学知识与数学方法的能力。(4)提高分析问题和解决问题的能力，树立创新意识。(5)培养学生的自立能力与使用精神，增强对数学的感受和情感体验.4.2正确把握数学建模课的课程标准的教学要求在中学阶段，数学与物理、化学、经济、日常生活以及哲学、社会科学的联系越来越紧密，如人口增长、质量控制、抽样试验等都需要有相应的数学模型。因此，数学教育应重视对数学建模和数学应用的教学。4.3认真解读数学课程标准中的教学建议数学建模课可以采用课题组的学习模式，教师引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助，教师成为学生的使用伙伴;教师应指导学生完成数学建模报告，规范报告的格式(包括问题提出的背景、问题解决的方案、问题解决的进程、合作学习的过程、结果和评价等)。5.在整个教学设计中注重加强学生阅读理解能力和数据处理能力的培养概率教学是相对独立的一个模块，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量。该类问题以实际应用题为载体，题材内容非常的丰富，生活背景知识特别广泛，注重培养学生的应用意识、阅读理解能力、计算能力、分类讨论与化归转化的能力。比如，在正态分布教学中有这样的一个问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g）的观测值如下：对“问题”中食盐质量和标准质量的误差数数据进行统计。通过统计，对整个数据有了初步的了解，如其均值、标准差、中位数等数字特征。再由此作出频率分布直方图（如下图5），根据频率与概率的关系，加以直观想象，水到渠成地得到一条如钟形的曲线。另一方面，随着样本数量越来越大，分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的上方轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线。通过数学实验，让学生经历处理大数据的过程和方式以及动手实践的能力，培养学生数据分析实验结果的能力，发现知识的规律。6.在整个教学设计中注重问题的多样性和综合性方面的拓广和探索近几年的高考题中，对概率统计的考查要求逐渐提高，背景和题型变化多，且在加大综合性方面进行了探索。聪明在于勤奋，天才在于积累；即使天才也要刻意训练，何况普通之人。学生要“阅题无数”，心中有数，实践出真知；在“做”中学，“学”中做，成功不在难易，在于身体力行去做，正如王阳明所说，事上练，破犹豫之贼。7.在整个教学设计中注重信息技术和课程的深度融合基于信息技术的教育资源和教学手段日新月异，正改变着数学教与学的方式。学生和教师都要适应时代的发展，按照课程标准的要求，发挥信息技术直观便捷、资源丰富的优势，帮助学生发展数学学科核心素养。通过信息技术和课程的深度融合，使数学可视化、动态化、简化、美化，提高课堂效率，提高学习效率。举例1：甲、乙两人进行象棋比赛，如果甲的水平比乙高，采用3局2胜或5局3胜哪一种赛制对甲有利呢?直觉上，赛制越长对水平高的一方越有利.通过计算机处理，由下图7，横坐标表示每局甲获胜的概率，纵坐标表示甲和乙经过若干局比赛之后，甲最终获胜的概率。通过动态图的展示，很容易得到选手实力越强局数越多越有利的结论。举例2:将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率。重复掷硬币是最简单的n重伯努利试验,通过计算机处理“恰好出现5次正面朝上的概率”，同时可以计算出X等于其它的值对应的概率。通过计算重复试验中：掷10次硬币正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率为0.65625。掷50次硬币，频率在[0.4,0.6]内的概率为掷100次硬币，频率在[0.4,0.6]内的概率为随着重复试验次数的增加，频率在[0.4,0.6]内的概率增大，并逐渐接近。通过信息技术的使用，助学生进一步认识频率稳定到概率的意义，又培养了学生大数据运算的能力和处理分析数据的手段。在整个教学设计中注重结合相应的教学内容落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。在单元整体教学设计的过程中，“注重”知识结构的整体性来构思教学目标的设立，寻找不同知识点间的关联性和逻辑性，精确定位教学内容的切入，合理的教学