知识讲解-空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题知识网络】平面空间直

线

与平面空间两

个平面—平行直公理4及等角定理|异面直异面直线所成的角 丨 相交直L平面空间直

线

与平面空间两

个平面—平行直公理4及等角定理|异面直异面直线所成的角 丨 相交直L异面直线间的距离三个公理、三个推论空间两条直直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交-I-两个平面平行概念三垂线定理直线与平面所成的角1-两个平面相交【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、 平面的基本性质的应用（1） 公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2） 公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面（3） 公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、 平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、 公理2的推论：（1） 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2） 经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3） 经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、 点共线、线共点、点线共面

（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。要点诠释：证明点线共面的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面B,最后证明平面a、B重合。考点二、直线与直线的位置关系1）位置关系的分类共面直线V共面直线V相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线a'〃a,b'〃b，把a'与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.C兀②范围：0,,I2要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、 定义法（不易操作）2、 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、 客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：

考点三、直线和平面、两个平面的位置关系1、直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示auaaa=Aa//a图形表示打力、/■//2、两个平面的位置关系考点四、平行公理、等角定理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。要点诠释：（1） 以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2） 通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3） 应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4） 多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。【典型例题】类型一、异面直线的判定例1如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A"、叫的中点。问:例1如图所示，正方体（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）Dp和CC］是否是异面直线？说明理由。【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1>ACoVM.N分别是A占、B$］的中点，AMN//AC，又TAA二Cq,・・・A］ACq为平行四边形。.•.AC//AC，得到MN//AC,・：A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下:•••ABCD-ABCD是正方体，・B、C、C、D不共面。假设DB与CC不是异面直线，则存11111111在平面a,使D］BU平面a,CCu平面a,・.D］、B、C、CWa,.：与ABCD-ABCD是正方体矛盾。・••假设不成立，即D1B与cq是异面直线。【点评】（1）易证MN//AC,.・・AM与CN不异面。（2）由图易判断D』和CC］是异面直线，证明时常用反证法。举一反三：【变式】已知E,F分别是正方体ABCD-ABCD的棱AA和棱CC上的点，且111111AE二CF,求证：四边形EBFD是平行四边形11【证明】由AE二CF可以证得AABE今ACDF111所以BE二DF 又可以由正方体的性质证明BE//DF11所以四边形EBFD是平行四边形1类型二、平面的基本性质及平行公理的应用例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=90QBC//-AD,BE//-FA,22G、H分别为FA、FD的中点。证明：四边形BCHG是平行四边形；C、D、F、E四点是否共面？为什么？【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH//-AD.又BC//-AD,「.GH//BC,22・•・四边形BCHG为平行四边形。(2)方法一:BE//-AF,G为FA中点知，BE//FG,・四边形BEFG为平行四边形，2・EF//BG.由(1)知BG//CHEF//CHEF与CH共面.又DeFH,・•・C、D、F、E四点共面.方法二：如图，延长FE,DC分别与AB交于点M,M'，VBE〃；AF,・：B为MA中点。2VBC〃丄AD,・・・B为M'A中点，.・.M与M'重合，即FE与DC交于点M(M'),AC>D、F、2E四点共面。u1u1【点评】(1)G、H为中点TGHII-AD,又BCII-ADTGH//BC；(2)方法一：证明D22点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M,M'，可证M与M'重合，从而FE与DC相交。类型三、异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。【答案】取AC的中点G，连接EG、FG,贝则EG//AB,GF//CD，且由AB=CD知EG=FG,・：ZGEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，ZEGF(或它的补角)为AB与CD所成的角。VAB与CD所成的角为300,AZEGF=30o或150。。由EG=FG知AEFG为等腰三角形，当ZEGF=300时，ZGEF=75。；当ZEGF=150。时，ZGEF=15。。故EF与AB所成的角为150或750。【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD,使已知角和所求的角在一个三角形中求解。【点评】(1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；(2)求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角;求：通过解三角形，求出该角。类型四、点共线、线共点、线共面问题例4.正方体ABCD-A^qD］中，对角线A1C与平面BDC］交于0,AC、BD交于点M.求证：点q、0、M共线.【证明】AA#CC=确定平面AC 'ACu面AC '二0丘面AC111OGAC1面BCDn直线AC=OnOG面BCD0在面AC与平面BCD的交线CM上举一反三：【变式】如