13.反比例函数图象、性质及其应用A

一、选择题1.（2016兰州，2，4分）反比例函数y=的图像在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限【答案】B2．（2016山东烟台，8，3分）反比例函数的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥【答案】B3．（2016江苏连云港，6，3分）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（） A．y=3x B． C． D．y=x2【答案】C4．（2016湖北孝感，8，3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示与函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B5.（2016湖南株洲，9，3分）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是（）DA、B、C、D、或【答案】D6.（2016兰州，15，4分）如图，A，B两点在反比例函数y=的图像上，C，D两点在反比例函数y=的图像上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF=，则k2-k1=（）（第15题）A.4B.C.D.6【答案】A7.（2016，山东淄博，12，4分）反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D8.（2016山东济宁，10，3分）如图，O是坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A.60 B.80 C.30 D.40【答案】D.9.（2016山东菏泽，8，3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．3【答案】D10.（2016山东临沂，14，3分）如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝(x＞0)相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y＝－x＋5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y＝(x＞0)的交点有()A．0个B．1个C．2个D．0个，或1个，或2个CCBAxOy第14题图【答案】B11.(2016四川乐山，10,3分）如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为 答案：D5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.(2016湖南益阳，11，5分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标．【答案】答案不唯一，如：(-3,1)；2.（2016兰州，18，4分）双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________________.【答案】m<13．(2016年湖北荆门，17，3分)如图，已知点A(1，2)是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是______．xxyOAB第17题图[答案](－5，0)，(－3，0)，(3，0)，(5，0)4.（2016江苏淮安，15，3分）若点A（－2，3）、B（m，－6）都在反比例函数的图像上，则m的值是.【答案】1．（2016浙江绍兴，15，5分）如图，已知直线：y＝－x，双曲线y＝eq

\f(1,x)．在上取一点A（a，－a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD．若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1∶2的两条线段，则a的值为__________．【答案】或5．（2016湖北孝感，15，3分）如图，已知双曲线与直线相交于，两点，过点作轴的垂线与过点作轴的垂线相交于点，若△的面积为８，则的值为☆．【答案】6.(2016江西，11，3分）如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA,OB，已知△ABC的面积为2，则______.【答案】4.7．（2016·山西，12，3分）已知点（m-1，），（m-3，）是反比例函数图象上的两点，则（填“>”或“=”或“<”）【答案】>8．（2016江苏扬州，17，3分）如图，点A在函数（x＞0）的图像上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为。【答案】9.（2016四川成都，13，4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”或“＜”）．【答案】＞10．（2016四川广安，13，3分）若反比例函数y＝eq\F(k,x)（k≠0）的图像经过点（1，－3），则一次函数y＝kx－k（k≠0）的图像经过▲象限．【答案】一、二、四．11.（2016江苏无锡，14，2分）若点A（1，－3）、B（m，3）在同一个反比例函数的图像上，则m的值为▲．【答案】－1．12．（2016浙江宁波，18，4分）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为6．【解答】6．13．（2016山东烟台，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为．【答案】-614．（2016浙江衢州，16，4分）如图，正方形ABCD的顶点A，B，在函数的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变.（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于．（2）当变化的正方形ABCD与（1）中正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是．【答案】15．(2016浙江丽水，16，4分）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．（1）b=（用含m的代数式表示）；（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是．【答案】（1）m+．（2）【解析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出EF=AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题．7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.(2016年甘肃白银、张掖，25，10分)如图，函数y1＝－x＋4的图象与函数y2＝(x＞0)图象交于A(m，1)，B(1，n)两点．(1)求k，m，n的值；(2)利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．第25题图第25题图解：(1)将点A(m，1)和点B(1，n)的坐标分别代入y＝－x＋4，求得m＝3，n＝3．将点A(1，3)的坐标代入y＝，求得k＝3；(2)由图象可知：①当1＜x＜3时，y1＞y2；②当x＝1或x＝3时，y1＝y2；③当x＞3时，y2＞y1．23、（2016广东，23，9分）如图10，在直角坐标系中，直线与双曲线（x＞0）相交于P（1，m）.（1）求k的值；（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（）；（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程.图10解析：（1）把P（1，m）代入，得，∴P（1，2）把（1，2）代入，得，（2）（2，1）（3）设抛物线的解析式为，得：，解得，，∴，∴对称轴方程为.2.（2016四川成都，19，0分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∴S△ABC=×（1+5）×4﹣×5×2﹣×2×1=6．3.（2016四川广安，20，6分）如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）和反比例函数y2＝eq\F(m,x)（m≠0）的图像交于点A（－1，6）、B（a，－2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（4分）（2）根据图像直接写出y1＞y2时，x的取值范围．（2分）【答案】将A（－1，6）代入y2＝eq\F(m,x)得m＝－6∴y2＝－eq\F(6,x)，………………1分将B（a，－2）代入y2＝－eq\F(6,x)得a＝3∴B（3，－2），………………2分将A（－1，6）、B（3，－2）代入y1＝kx＋b得eq\b\lc\{(\a\al(－k＋b＝6,3k＋b＝－2))∴eq\b\lc\{(\a\al(k＝－2,b＝4))∴y1＝－2x＋4，………………4分（2）∴x＜－1或0＜x＜3，4.（2016山东菏泽，20，7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=，∴m=﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标为（2，﹣2）．（2016，浙江金华，13,38分）（第21题图）ACDEBOxy如图，直线与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数（k＞0）图象交于点C,D,过点A作x（第21题图）ACDEBOxy（1）求点A的坐标.（2）若AE=AC.①求k的值.②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由.解：（1）当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.∴点A的坐标为(3,0).（2）①过点C作CF⊥x轴于点F.设AE=AC=t,点E的坐标是.在Rt△AOB中，tan∠OAB=,∴∠OAB=30°.在Rt△ACF中，∠CAF=30°,∴，∴点C的坐标是.ACDEBOxyFACDEBOxyF所以，.②点E的坐标为(3，2)，设点D的坐标是,∴，解得，,∴点D的坐标是,（第21题图）所以，点E与点D关于原点O成中心对称.（第21题图）21．（2016四川南充，21，8分）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C． （1）求双曲线解析式； （2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标． 解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2， ∴A（2，3）， 把A坐标代入y=，得k=6， 则双曲线解析式为y=； （2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0）， 设P（x，0），可得PC=|x+4|， ∵△ACP面积为3， ∴|x+4|3=3，即|x+4|=2， 解得：x=﹣2或x=﹣6， 则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）． 24．（2016江苏连云港，24，10分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． （1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【解答】解：（1）分情况讨论： ①当0≤x≤3时， 设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b； 把A（0，0），B（3，4）代入得， 解得：， ∴y=﹣2x+10； ②当x＞3时，设y=， 把（3，4）代入得：m=3×4=12， ∴y=； 综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=； （2）能；理由如下： 令y==1，则x=12＜15， 故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 22、（2016重庆B卷，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，与Y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4，），连接AO，AO=5，sin∠AOC=.求反比例函数解析式；连接OB，求△AOB的面积.解：(1)∵A在反比例函数图象上，且AO=5，sin∠AOC=，作AE⊥x轴，∴AE=AO·sin∠AOC=3,则OE=4.∴A点的坐标为（-4，3），∴反比例函数解析式：.∵点B（m，-4，）在上，∴m=3，即B的坐标为（3，-4）.把A（-4，3），B（3，-4）代入一次函数y=kx+b中，，解得，，∴直线AB解析式为：y=-x-1，∴OD=1.∴2.(2016重庆A卷，22，10分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与y轴交于C点.过A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，，点B的坐标为（m，-2）.（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式.22.（1）因为，OH=3，所以AH=4,由勾股定理求得AO=5.所以△AHO的周长=OA+AH+OH=5+4+3=12.（2）由图可知，点A坐标为（-4，3），因为反比例函数经过点A，所以k=xy=-12。所以反比例函数为。因为点B坐标为（m，-2），所以m=6.所以点B坐标为（6，-2）.又因为一次函数的图象经过点A和点B，所以有解得a=，b=1.所以一次函数的表达式为.5.(2016山东泰安，25，8分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P在直线DM上，且使△OPM得面积与四边形OMNC的面积相等，求P得坐标.答案：解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，又AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D(-3，2)，把D(-3，2)代入y=得，m=-6，∴y=，∵AM=2MO，∴OM=OA=1，∴M(-1，0)，把M(-1，0)和D(-3，2)代入y=kx+b得，解得：k=-1，b=-1，∴一次函数的解析式：y=-x-1；(2)把y=3代入y=得：x=-2，∴N(-2，3)，∴NC=2，设P(x，y)∵△OPM得面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM+NC)×OC=OM×，即(1+2)×3=，∴y=±9，当y=9时，x=-10，当y=-9时，x=8，∴P点坐标为(-10，9)或(8，-9).26.（2016兰州，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图像上.(1)求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得SΔAOP=SΔAOB，求点P的坐标；（3）若将ΔBOA绕点B按逆时针方向旋转600得到ΔBDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上，说明理由.【答案】(1)∵点A（，1）在反比例函数y=的图像上∴k=×1=∴y=（2）∵A（，1）∴OC=，AC=1由射影定理OC2=AC•BC可得BC=3，B（，-3）∴SΔAOB=××4=2∵SΔAOP=SΔAOB∴SΔAOP=设P（m，0）∴××1=∴=2∵P是x轴的负半轴上一点∴m=-2∴m（-2，0）（3）E（-，-1），点E在反比例函数y=的图像上，理由如下：∵（-）×（-1）==k∴点E在反比例函数y=的图像上.5.（2016聊城，23,8分）如图，在直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=的图像交于关于原点对称的A，B两点。已知A点的纵坐标是3.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线直线y=x向上平移与反比例函数在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式。解：（1）设A（m，3），由题意得：，得m=-6；又因为A（-6,3）在反比例函数上，则k=3×（-6）=-18，所以反比例函数的表达式为（2）设平移后的直线为，与y轴交于点D，连接AD，BD因为AB∥CD，所以，因为点A、B关于原点O对称，所以点B的坐标为（6,-3），即，所以即6OD=48，OD=8，所以平移后的直线为（2016四川巴中，29，10分）已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤的解集．解：（1）∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴=，∴=，∴CD=10，∴点C坐标（﹣2，10），B（0，6），A（3，0），∴解得，∴一次函数为y=﹣2x+6．∵反比例函数y=经过点C（﹣2，10），∴n=﹣20，∴反比例函数解析式为y=﹣．（2）由解得或，故另一个交点坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集：﹣2≤x＜0或x≥5．(2016四川乐山，23,10分）如图12，反比例函数与一次函数的图象交于点、.（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值.解析：（1）在反比例函数的图象上，.………（1分） 反比例函数的解析式为. 又在反比例函数的图象上，，得，…（2分） 由、在一次函数的图象上， 得，解得.………（4分） 一次函数的解析式为.………（5分）(2)将直线向下平移个单位得直线的解析式为，………………（6分） 直线与双曲线有且只有一个交点，令，得， ，解得或.…（10分）6.（2016山东德州，21，10分）某中学组织学生参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价定为多少元？解：（1）由表中数据可得：xy=6000，所以y是x的反比例函数，其函数关系式.由题意得：（x-120）y=3000,将代入得，，解得，x=240.经检验x=240是原方程的解.答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价定为240元.（2016山东枣庄，22，8分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E．⑴当F为AB的中点时，求该函数的解析式；⑵当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？解：⑴在矩形O