全国名校大联考2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案

全国名校大联考2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={-2,-1,3,4}，集合B={-1,3}，则C∩B=（）A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-2,4}D.∅2.命题“对于任意x∈(1,+∞)，log2x=x-1”的否定是（）A.对于任意x∈(1,+∞)，log2x≠x-1B.存在x∈(1,+∞)，使得log2x≠x-1C.存在x∈(1,+∞)，使得log2x=x-1D.对于任意x∉(1,+∞)，log2x≠x-13.若sin(π/2+θ)<0，cos(π/2-θ)>0，则θ是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.已知平面向量a,b的夹角为60°，a=1i+3j，b=i，则a+b=（）A.2iB.2√3iC.7iD.4i5.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π/12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A.x=3π/4+kπB.x=5π/6+kπC.x=π/6+kπD.x=π/4+kπ6.设函数f(x)={log2x+4,x>1;a,x≤1}且f(1)=6，则f(2)=（）A.1B.2C.3D.67.已知α∈(0,π)，且sinα=4/5，则tan(-α)=（）A.±1B.±7C.-7或7D.无解8.已知AB=(cos17°,cos73°)，BC=(2cos77°,2cos13°)，则△ABC的面积为（）A.3B.1C.3/2D.29.函数f(x)有4个零点，其图象如下图，和图象吻合的函数解析式是（）A.f(x)=sinx-lgxB.f(x)=sinx-log2xC.f(x)=sinx-lnxD.f(x)=sinx-log10x10.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角所对的边，满足abc=（a+b+c）/2，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形11.某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为29米＜AB＜29.5米。为了测量塔高是否符合要求，先在与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C、D处测得∠BDC＝60°、∠BCD＝75°、CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1米，则发射塔高AB＝406＋1米。12.设向量a、b、c满足a＝b＝2，a·b＝－2，∠(a－c,b－c)＝60°，则c的最大值等于2。13.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[-1,0]，则ab＝1。14.若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则MN的最大值为2。15.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝－x＋2。则不等式f(x)＋1＜0的解集是(-∞，1)。16.已知ΔABC的三边垂直平分线交于点O，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且c²＝2b(2－b)，则AO·BC的取值范围是[0，2]。17.已知函数f(x)＝(mx²)/(a+x²)(a＞0，a≠1)的图象过点m，a(0＜m＜a)。(1)求实数m、a的值；(2)若函数g(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由。解：(1)因为函数f(x)的图象过点m，a(0＜m＜a)，所以有m＝(ma²)/(a＋a²)即1＝a/(a＋a²)解得a＝1/m－1所以m＜a＝1/m－1，即m²＜1－m，所以m＜(√5－1)/2或m＞(√5＋1)/2。由于函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0]，所以有f(x)＝(mx²)/(a＋x²)＜0即mx²＜0，所以m＝0。所以a＝1/m－1不存在，与题意矛盾。所以函数f(x)的图象不可能过点m，a(0＜m＜a)。综上所述，原命题不成立。(2)因为函数f(x)是偶函数，所以有f(-x)＝f(x)即(-mx²)/(a＋x²)＝(mx²)/(a＋x²)所以函数g(x)的分母为0，当且仅当x＝±√a。当x＝√a时，有g(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)＝(m√a－1)/(m√a＋1)当x＝－√a时，有g(x)＝(f(x)－1)/(f(x)＋1)＝(－m√a－1)/(－m√a＋1)所以函数g(x)是奇函数。18.在锐角ΔABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos(B＋C)＋sinA＝1。(1)求A；(2)若a＝6－3，ΔABC的面积为3，求b－c的值。解：(1)因为cos(B＋C)＋sinA＝1，所以有cos(B＋C)＝1－sinA由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bc·cosA所以有cos(B＋C)＝cos(180°－A)即1－sinA＝－cosA解得sinA＝(√5－1)/4或sinA＝(1－√5)/4。因为ΔABC为锐角三角形，所以A＜90°，所以sinA＝(√5－1)/4。所以A＝30°。(2)因为ΔABC的面积为3，所以有bc·sinA＝3所以bc＝6。因为a＝6－3，所以b＋c＝a＋3＝6，所以b－c＝(b²－c²)/(b＋c)＝(a²－2bc)/(b＋c)＝3/2。19.如图，在ΔABC中，B＝π/3，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足。(1)若ΔBCD的面积为3，求AB的长；(2)若ΔADE的面积为6，求角A的大小。解：(1)连接CE，因为∠BCE＝60°，所以有BC/CE＝tan60°＝√3所以CE＝2/√3。因为AD＝DC，所以BD＝2AD。因为∠BDE＝90°，所以有BD²＝BE²＋DE²即4AD²＝(AB－2)²＋(2/√3)²即4AD²＝AB²－4AB＋4＋4/3即12AD²＝3AB²－12AB＋16因为∠B＝π/3，所以有AB/BC＝sinπ/3＝√3/2所以AB＝√3。(2)因为∠A＋∠B＋∠C＝π，所以∠A＝π－∠B－∠C＝π/3。因为∠ADE＝90°，所以有AD·DE＝6因为∠A＝π/3，所以有AD/DE＝tanπ/3＝√3所以AD＝2√3，DE＝2/√3。因为∠B＝π/3，所以有BC/AB＝sinπ/3＝√3/2所以BC＝3。因为∠CDE＝90°，所以有DE²＝CD·CE即4/3＝CD·2/√3即CD＝2/√3。因为BD＝2AD，所以有AB＋2AD＝2BD即√3＋4√3＝2BD即BD＝5√3/2。因为∠BDE＝90°，所以有BD²＝BE²＋DE²即(5√3/2)²＝BE²＋(2/√3)²即75/4＝BE²＋4/3即BE²＝(75/4)－(4/3)＝(269/12)所以BE＝√(269/12)。因为∠A＝π/3，所以有SΔABC/SΔADE＝BC/DE＝3/2所以SΔABC/SΔADE＝3/2＝(AB·BC·sin∠A)/(AD·DE)即3/2＝(√3·3/2·sinπ/3)/(2/√3)·6所以sinπ/3＝1/2，所以∠A＝π/3。20.已知向量m＝(2，sinα)，n＝(cosα，－1)(0＜α＜π/2)，且m⊥n。(1)求sin2α和cos2α的值；(2)若ED＝(3，1)，DE⊥AC，点E在向量m所在直线上，求点D的坐标。解：(1)因为m⊥n，所以有m·n＝0即2cosα－sinα＝0所以sinα/cosα＝2，所以tanα＝2，所以sinα＝2/√5，cosα＝1/√5。所以sin2α＝2sinα·cosα＝4/5，cos2α＝cos²α－sin²α＝3/5。(2)因为点E在向量m所在直线上，所以有ED＝k·m即(3，1)＝k(2，sinα)所以k＝(3/2，1/2sinα)。因为DE⊥AC，所以有DE·AC＝0即(3，1)·(x，y)＝0即3x＋y＝0所以x＝－y/3。因为点D在边AB上，所以有AD/AB＝DE/BC＝1/2所以AB＝2AD，BC＝2DE。因为点D在向量n所在直线上，所以有D＝(x，y)＝(x0，y0)＋t·n即(x，y)＝(cosα，－1)＋t(2，sinα)所以y＝－1＋2t·sinα，x＝cosα＋2t。因为点D在边AB上，所以有y/x＝(1/3)/(2/3)＝1/2所以y＝x/2，所以cosα＋2t＝x＝2y＝x，所以t＝－sinα/2。所以y＝－1＋sinα，x＝cosα－sinα。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。2.若$\sin(\alpha-\beta)=\frac{10\pi}{2}$，且$\beta\in(0,\frac{\pi}{10})$，求角$\beta$。21.设函数$f(x)=\sinx+3\cosx+1$。(1)求函数$f(x)$的值域和函数的单调递增区间；(2)当$\frac{2\alpha+\pi}{3563}<\alpha<\pi$时，求$\sin(2\alpha+13\pi)$的值。22.已知向量$\vec{a}=(k\sinx,\cosx)$，$\vec{b}=(\cosx,-k)$，实数$k$为大于零的常数，函数$f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}$，$x\in\mathbb{R}$，且函数$f(x)$的最大值为$2-1$。(1)求$k$的值；(2)在$\triangleABC$中，$a,b,c$分别为内角$A,B,C$所对的边，若$\angleA=\frac{\pi}{2}$，且$a=2\sqrt{10}$，求$AB\cdotAC$的最小值。答案：一、选择题1-5:CBBCB6-10:CCADC11、12：AA二、填空题13.414.215.$\{x|x>2\}$16.$(-\frac{1}{2},2]$三、解答题17.解：(1)把$A(2,4)$，$B(-1,\frac{1}{2})$的坐标代入$f(x)=\frac{2x-1}{x}+1$，得$m=1$，$a=2$。(2)$g(x)$是奇函数。因为$f(x)=2$，所以$g(x)=\frac{2x-1}{2x+1}$，所以函数$g(x)$的定义域为$\mathbb{R}$。又$g(-x)=\frac{-2x-1}{2x-1}=-g(x)$，所以函数$g(x)$为奇函数。18.解：(1)因为$\cos(B+C)+\sin^2A=1$，所以$-\cosA+2\sinA\cosA=\sinA=\frac{1}{2}$，所以$A=30^\circ$。又因为$\triangleABC$为锐角三角形，所以$\sinA=\frac{1}{2}$。所以$A=30^\circ$。(2)因为$S_{\triangleBCD}=bc\sinA=3$，所以$bc=\frac{6}{\sinA}=12$。又因为$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，所以$39-12^2=b^2+c^2-2bc=15$，所以$b-c=\sqrt{b^2+c^2-2bc}=3\sqrt{5}$。因为$BD$是中线，所以$BD=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\sqrt{15}$。又因为$\triangleABD\sim\triangleBCD$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，所以$AD=\frac{BD^2}{CD}=\frac{15}{2}$。19.解：(1)$\triangleBCD$的面积为$\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}$。又因为$\triangleABD\sim\triangleBCD$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，所以$BD=\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$，$AD=\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{9}}$。所以$\triangleABD$的面积为$\frac{1}{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{9}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。(2)因为$\angleBAC=\frac{\pi}{2}$，所以$BC^2=AB^2+AC^2$，即$(x+2)^2+(x+1)^2=x^2$，解得$x=-\frac{3}{5}$。所以$AB\cdotAC=\left|\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{16}{5}\right|=\frac{16}{25}$。CD=√(BC^2+BD^2-2BC·BD·cosB)=√(4+2127-2·2·√(42127))≈9.323∴AB=AD+BD=CD+BD=9.323(2)∵DE=√(27227+2cosA)=√(333)6DE=6√(333)≈57.74∴CD=AD=2sinA·DE=2sinA·6√(333)/6=√(333)sinAInΔBCD,accordingtothesinetheorem,sinA/sinB=CD/BD∵∠BDC=2∠A∴A=∠BCCD/2=sin⁡(∠BDC)/sinB=√(262)/sinB≈4.004∴cosA=2sinA·sin(60°)/sin(2A)≈0.173(20)(1)Sincem⊥n,wehave2cosα-sinα=0,whichmeanssinα=2cosα.Substitutingsinαintocos^2α+sin^2α=1,weget5cos^2α=1,andα∈[0,π/2].Thus,cosα=√(5/25)=1/√5,sinα=2cosα/5=√(5/25)=1/√5.Thensin2α=2sinαcosα=2/5,cos2α=2cos^2α-1=-3/5.(2)Sinceα∈[0,π/2],β∈[0,π/2],wehaveα-β∈[-π/2,π/2].Also,sin(α-β)=10/√(310^2+102^2)≈0.986,cos(α-β