二维无旋进行波的能流的精确劈分

二维无旋进行波的能流的精确劈分

众所周知，如果是二维、无旋转和周期波传播，则传播方向将随着能量的转移而改变。也就是说，存在能流。能流是单位时间内通过垂直于波传播方向的单位振幅的能量。这是二维、无旋转和周期波的基本特征之一。在波浪的形成、波能的开发和实验机械设计中，有必要考虑能流的计算。在经典的波理论中，讨论了能流的计算。许多科学家在历史上进行了研究。最早对能流进行研究的是Reynolds(1877)和Rayleigh(1877),他们在小振幅的假定下,导出了二维、无旋深水进行波能流的表达式.由于作了小振幅假定,他们把通过某一断面的能流看作是断面的一侧作用在另一侧上的压力所作的平均功,结果,深水进行波的能流就等于此波动的平均能量与群速的乘积.后来,Starr与Platzman利用运动方程和连续方程,导出了二维、无旋、周期深水进行波的精确能流表达式其中C为相速,Tx为单位面积水柱内的水平运动的平均动能,积分中的第一项为动能引起的能流,第二项为势能引起的能流,第三项是流体压强做功引起的能流,分别记为F1、F2和F3.进一步,Starr与Platzman对深水进行波的能流进行了劈分,其结果为其中T和V分别为单位面积水柱内的平均动能和平均势能.继Starr与Platzman的工作之后,Longuet-Higgins在研究有限振幅波的积分性质时,利用伯努利方程及其他一些关系式,经一系列演算,导出了常深度水域中二维、无旋、周期进行波能流的精确表达式其中ρ为海水密度,h为水深,I是单位面积水柱内的平均水平动量,r是用海底速度表示的伯努利积分常数,其定义为Cokelet在讨论任意水深的波动积分性质时,用展成高阶级数的办法,利用能流与其他一些量之间的精确关系,对任意水深进行波的能流进行了数值计算.可见,对于能流研究这个课题,引起了不少科学家的兴趣,并已取得了不少成果.一、有限深水的能流掳分如上所述,Starr与Platzman精确地导出了无限深水时二维、无旋、周期进行波的能流,并对此能流进行了劈分,其主要成果分别由式(1)、(2)给出;Longuet-Higgins虽导出了有限水深时二维、无旋、周期进行波的能流表达式[见式(3)],但未一进步对此能流进行劈分.在理论上或在实际应用上,有限水深的能流劈分较无限深水更有代表性,因此,本文企图把Starr和Platzman的无限深水能流劈分结果推广至有限水深,即对有限水深进行波的能流进行劈分.另外,在有关波动的文献及在一般的实际工作中,大都采用小振幅理论来计算能流,即把能流表示成或在小振幅波理论的精度范围内,这两式是一致的.用这种方法来计算能流时其误差有多大?适用范围如何?本文拟通过数值计算,对这个问题给出答案.二、上式中多个积分的加标算法描述假定:无波动时流体介质没有均匀流动,密度ρ为常数,水深为h,大气压强为零,波动为二维的无旋周期进行波,坐标原点取在未扰动的静止水面上,x轴沿波传播方向,z轴向上为正.分别记速度势、流函数为φ和ψ,于是易于证明,有限水深的二维无旋周期进行波的运动方程的无旋积分具有如下形式其中g为重力加速度,r由式(4)定义.和无限深水情形一样,有限水深进行波的能流也是由三部分组成的,它们分别为动能引起的能流F1,势能引起的能流F2和压强做功引起的能流F3,即下面我们来导出F1、F2和F3的具体表达式.显然,把式(8)代入式(9),就有另外,因为于是上式两边从z=-h到η积分,再求平均,并考虑到,p、φ、u的周期性及零表面压强条件,等式右边最后两项的积分为零,于是有又因为将上式从z=-h到η积分,再求平均,就有其中Tz表示单位面积水柱内的铅直运动的平均动能.根据ωψ的周期性,可证明上式最后一个积分为零;另外,再根据p和ψ的周期性、零表面压强条件以及条件就可求得于是,我们就有联立式(10)、(12)、(14),并利用有限水深二维无旋周期进行波的一个能量劈分关系式〔6〕与Starr和Platzman无限深水能流劈分的结果式(2)比较,在式(16)中,F1、F2和F3都包含关于r的项,显然,当水深很大时,r趋于零,于是式(16)就简化为式(2).所以,本文对能流劈分的结果可包含Starr和Platzman无限深水时的结果.为使我们对构成能流F的三个组成部分F1、F2和F3有一个定量的概念,我们首先对有关的量无因次化,然后利用Cokelet提供的对有关波动积分量的计算结果,确定出F1、F2和F3的相对大小.我们定义如下的无因次量于是,根据式(3)和式(16),我们就可确定无因次能流F*和它的三个组成部分、的表达式,它们分别为我们就深水以及有限水深,分别取kh=1.60944,0.91629,0.1083,计算了,,其结果见图1—图3.从这些图可以看出,能流F的确主要是由流体压强作功而引起的,但随着kh的减小和ka的增大,动能引起的能流F1和势能引起的能流F2在F中所占的比例就变大,两部分合起来最大能占F的30%左右.可见,若我们在计算能流F时,只求压强作功引起的那部分F3而不计动能与势能引起的能流F1和F2,其误差有时会相当大.三、小振幅波理论计算能流的误差前面,我们精确地导出了有限水深二维、无旋、周期进行波的能流F及它的三个组成部分F1、F2和F3的表达式,并且比较了F1、F2和F3的相对大小,但是,在现在的有关流体力学教科书及一般实际应用中,能流大都是按小振幅波理论来近似计算的,即其中下面,我们把按小振幅波理论得到的能流结果与在第二节中得到的精确结果作一比较,以确定用小振幅波理论计算能流的误差.首先,我们可从式(19)分析出按小振幅波理论计算能流的误差来源.其一,按小振幅波理论计算能流时,近似地用压强作功引起的那部分能流F3来作为整个能流,因此忽略了由动能和势能引起的能流F1与F2.其二,在计算流体压强作功引起的能流时,其积分上限用0取代η,即在计算F8中还少算了这部分.其三,在计算F小时,p和u均取自按小振幅波理论得到的结果.为从数值上看出按小振幅波理论计算能流时的误差大小,我们先把F小无因次化,即然后取无限深水及kh=2.30259,1.60944,0.91629,计算,结果见图4.从图4可发现,只有当kh较大,ka很小时,用小振幅波理论计算能流才有较高的精度.而当相对水深较小而且波陡较大时,用小振幅波理论虽可说明波动场的部分性质,但对能流的计算来说,用小振幅波理论所产生的误差是相当大的,而且数值偏高.这一点应在实际工作中加以注意.四、能流引起的误差1.本文对有限水深二维无旋周期进行波的能流进行了严格的劈分,当水深很大时,r趋于零,本文结果简化为Starr与Platzman的无限深水结果.2.通过对能流的计算,证实能流主要是由流体压强作功而引起的,但随着kh的减小和ka的增大,动能和势能引起的能流也不可忽略,这两者最大可占总能流F的30%左右.3.本文讨论了用小振幅波理论