群环zpr上的阿贝尔码

群环zpr上的阿贝尔码

0q元域的循环码近年来，《循环》一文引起了科学家的关注。这些码与自偶码、模格等有密切的关系。Duadic循环码由Leon在1984年提出,后经过Pless的工作在1988年给出了q元域GF(q)上triadic循环码的定义,Brualdi和Pless在1989年进一步推广到GF(q)上的polyadic循环码。最近Ling和Xing给出了GF(q)上polyadic阿贝尔码的定义。Lian又进一步给出了Zpr上polyadic阿贝尔码的定义。在此基础上本文研究Z2r上triadic码存在的条件,进一步完善了环上的编码理论。1群g的元素及性质下面回顾一些术语:Zr表示整数系Z模r的剩余类环,Zr上n长线性码C是Zrn的子模。本文考虑Z2r上的码,r为正整数。设G是n阶阿贝尔群,运算为加法,且n与p互素。群环Zpr[G]由所有形如∑g∈GagYg,ag∈Ζpr的形式多项式组成。Zpr[G]的运算为通常的加法和多项式卷积乘法。Zpr[G]中的理想称为Zpr上n长阿贝尔码。记G={g1,g2,…,gn},c=n-1∑i=0ciYgi∈Ζpr[G],每个c对应于一个向量(c0,c1,…,cn-1)。反之亦然。通过该对应法则可以把Zpr[G]中的一个理想(阿贝尔码)看成Znpr的一个子模(线性码)。由有限阿贝尔群的基本定理知,群可以写成有限个循环群的直和。不妨设G=t∏i=1Ζni,其中ni≥2(1≤i≤t)。则群G的元素g可以写成g=(g1,g2,…,gn),其中gi∈Zni。Galois环GR(pr,M)为环Zpr的唯一d次Galois扩张。设群G的指数为N,M是p模N的阶,则GR(pr,M)包含N次单位根。设ξ为GR(pr,M)中的一个N次本原单位根,G到GR(pr,M)的特征标定义为χh(g)=ξ∑ti=1gihi(N/ni)∈GR(pr,m)。给定c=∑g∈GcgYgΖpr[G],它的Fourier离散变换定义为C=∑h∈GChYh,其中Ch=∑g∈Gcgχh(g)。加群G=t∏i=1Ζni关于通常的分量乘法可以看成一个环RG,记R*G为RG中的所有可逆元的集合。∀s∈R*G,令s*为作用在G上的映射:xsx,x∈G。每个s可诱导出Zpr[G]上映射s*如下:c=∑g∈GcgYg,s*(c)=∑g∈GcgYsg。对应的Fourier离散变换为s*(c)=∑h∈GcgYsg。定义1设整数m≥2,X∞是G某个非空子集,称满足以下条件(X∞,X0,X1,…,Xm-1)的是群G的X∞上的一个m-劈分:(1)X∞,X0,X1,…,Xm-1为G的一些p-轨道的并;(2)X∞,X0,X1,…,Xm-1为的一个划分,即G=X∞∪X0∪…∪Xm-1,且(X∞,X0,…,Xm-1)两两不交;(3)存在s∈R*G,使得s*(X∞),s*(Xi)=Xi+1(0≤i≤m-1)且下标按模m运算。说明:(1)0∈X∞;(2)m-劈分也叫由s给出的劈分,通常把“X∞上”省略。对于G的任意子集X,令ΙX={c∈Ζpr[G]|cx=0,∀x∈X},则IX是Zpr[G]的一个理想。定义2设群G的一个m-劈分为(X∞,X0,X1,…,Xm-1),记X′∞=X∞0},Xc表示X在G中的补集。对于0≤i≤m-1,以下四类码均称为Zpr[G]中的polyadic码:(1)Ci=Ι(X′∞∪Xi)c,(2)ˆCi=ΙX′∞∪Xi,(3)Di=ΙX∞∪Xi,(4)ˆDi=Ι(X∞∪Xi)c。上述的polyadic码也称为m-adic码。特别地,当m=3时,称为triadic码。2循环群即干非零轨道个数记O0,O1,…,Ov为群G在映射p*:x作用下的所有轨道,且d1=|Οi|。有时也用Ox表示中元素x所在的轨道,即Ox={x,px,p2x,…}。由于O0={0},即d0=1,所以GR(pr,d0)=Zpr。定义3设p>1且(p,n)=1。若x3≡n(modp)有解,则称n模p的三次剩余;否则称n模p的非三次剩余。引理4设素数p≡1(mod3),则2是模p的三次剩余当且仅当p=c2+27d2,其中c,d∈Z。定理5设素数p≡1(mod3),且p=c2+27d2,其中c,d∈Z,则s=p-1ordp(2)是3的倍数。证明记u=ordp(2)。G=Zp构成p元域记为RG且R*G=Z*p构成p-1阶乘法群(循环群)。令M是R*G中的三次剩余组成的群,则M为R*G的p-13阶循环子群。令O={1,2,22,…,2n-1},O为R*G的u阶循环子群。由引理4知,当素数p=c2+27d2时,2是模p的三次剩余。则2∈M。从而O是M的循环子群。则u|p-13。即3|p-1u。故s=p-1ordp(2)是3的倍数。证毕。定理6设G=Zp,其中素数p≡1(mod3),则G中存在非平凡的3-劈分(X∞,X0,X1,X2)当且仅当p=c2+27d2,其中c,d∈Z。证明记号u、RG、R*G、O、M同上。商群R*G/O为s=p-1u阶循环群。则存在x∈R*G,使得Oi=xiO(i=1,2,…,s-1)为R*G的一个陪集分解,而且{0},O0=O,O1,…,Os-1为加群G=Zp所有的2-轨道。充分性:当p=c2+27d2时,由定理5知,G的非零轨道个数s=p-1ordp(2)是3的倍数。令X0=O0∪O3∪…∪Os-3,X1=O1∪O4∪…∪Os-2,X2=O2∪O5∪…∪Os-1,X∞={0}。则x*(X0)=X1,x*(X1)=X2,x*(X2)=X0,x*(X∞)=X∞,故(X∞,X0,X1,X2)是G的一个非平凡的劈分。必要性:假设(X∞,X0,X1,X2)是G的在群作用x*下的一个非平凡的劈分,x∈R*G。且X0,X1都是某些非零2-轨道的并,且有x*(X0)=X1,x*(X1)=X2,x*(X2)=X0。如果非零轨道个数不是3的倍数。则存在非负整数t,使得s=3t+1或s=3t+2。一方面,由于商群R*G/O为s=p-1u阶循环群,可得xs*(Oi)=Oi(i=1,2,…,s-1),从而xs*(X0)=X0;另一方面,当s=3t+1时,由x3*(X0)=X0,可得xs*(X0)=x*(x3t*(X0))=x*(X0)=X1。矛盾。当s=3t+2时,由x3*(X0)=X0,可得xs*(X0)=x2*(x3t*(X0))=x2*(X0)=X2。矛盾。故s=p-1u为3的倍数,即3|s,从而u|p-13。又M,O是R*G中阶数分别为p-13‚的循环子群。由循环群的性质得,O是M的子群。由于2∈O,故2∈M,即2是模p的三次剩余。由引理4得p=c2+27d2,其中c,d∈Z。证毕。定理7设G=Zpe,其中素数p≡1(mod3),且e>0。如果p=c2+27d2(c,d∈Z),则G有非平凡的3-劈分。证明设p=c2+27d2,由定理6知群Zp存在非平凡的3-劈分,记为(X(1)∞,X0(1),X1(1),X2(1)),相应群作用记为s*。令Xj(e),={ij+i1p|ij∈Xj(1),0≤i1≤pe-1},(j=0,1,2,∞)。可以验证(X(e)∞,X0(e),X1(e),X2(e))构成群作用s*下G=Zpe的一个非平凡的2-劈分。定理8设G=G1×G2×…×Gt,其中Gt=Zpeii(i=1,2,…,t),且pi为素数,ei>0。如果存在某个pi满足pi=c2+27d2,则G也存在非平凡的3-劈分。证明如果某个pi满足pi=c2+27d2,由定理7知Gi存在si作用下的非平凡的3-劈分(Xi,∞,Xi,0,Xi,1,Xi,2),令Xj=G1×…×Xi,j×…×Gt(j=0,1,2,∞)。可知G在s=(1,…,si,…,1)作用下的劈分(X∞,X0,X1,X2)为非平凡的3-劈分。证毕。3再由定理8求解由polyadic码定义知,Z2r中存在triadic码当且仅当G中存在3-劈分。再由定理8直接可以得到以下结论。定理9设G=G1×G2×…×Gt,其中Gi=Zpeii(i=1,2,…,t),且pi为素数,ei>0。如果存在某个pi满足pi=c2+27d2,则Z2r中存在非平凡的triadic码。4,18百分点o7环为Z4,群G=Z31。G的2-轨道如下:O0={0};O1={1,2,4,8,16};O3={3,6,12,24,17};O5={5,10,20,9,18}O7={7,14,28,.25,19};O11={11,2