层次分析中新元素的强保序条件

层次分析中新元素的强保序条件

1特征根排序、特征向量排序法以及其他无保序比在层次分析（ahp）中，新元素的序列分离是一个重要的研究主题。近年来，许多科学家对此进行了探讨和取得了一些重要的结果。例如，在参考文献中，当引入新元素时，保持现有元素的相应分类权重的不变。在新元素介绍中，保持原始元素的相对权重不发生变化。然而，在当前的决策过程中，新元素的引入往往不是一个组，而是一组。推广了saaty的序列原理，并在统一参考下使用特征分类方法引入新元素时，保持新旧元素的对应关系（即强保护序列）的充分条件。条件改进，证明添加的条件（cd）=max（cd）=max（cd）与保护性条件无关。此外，还使用自适应向量分类方法（乘用新元素最小乘用法、梯度自适应向量法、最小偏差法、广义最小偏差法和混合最小二乘法）对评估矩阵的包序性进行了验证，但这些条件只能验证矩阵评估矩阵的包序性，不能构建评价矩阵的评价矩阵。因此，在一种对应的序列法（对数最小二乘法、梯度自适应向量法、最小差分法、广义最小偏差法和最小混合二乘法）下，增加一组新元素后的强包序性条件。然而，在这项工作中，这项方法没有应用最广泛，也没有调整自适应向量序列法。本文尝试对特征向量排序法在增加一组新元素后的强保序性条件进行研究,给出了一个简洁、实用的保序性定理.利用此定理,决策者可根据客观实际情况及自己的主观意愿构造出具有保序性的判断矩阵.2判断矩阵及定理对于某一决策问题,设有n+m个方案,分为两组进行比较,得到两组排序方案和权重,在保持各自的两两比较的情况下,把它们放在一起比较.设前n个元素的判断矩阵为A=(aij)n×n,后m个元素的判断矩阵为B=(bij)m×m,将n+m个元素放在一起比较,得到判断矩阵A*=(a*ij)n+m,n+m,则有A*=[ACDB]A∗=[ADCB].其中:C=(cij)n×m,D=(dji)m×n,cij=1/dji,i=1,2,…,n;j=n+1,n+2,…,n+m.即A*=[a11⋯a1nc1‚n+1⋯c1‚n+m⋱⋱an1⋯anncn‚n+1⋯cn‚n+mdn+1‚1⋯dn+1‚nbn+1‚n+1⋯bn+1‚n+m⋱⋱dn+m‚1⋯dn+m‚nbn+m‚n+1⋯bn+m‚n+m].A∗=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11an1dn+1‚1dn+m‚1⋯⋱⋯⋯⋯a1nanndn+1‚n⋱dn+m‚nc1‚n+1cn‚n+1bn+1‚n+1bn+m‚n+1⋯⋱⋯⋯⋯c1‚n+mcn‚n+mbn+1‚n+m⋱bn+m‚n+m⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.设判断矩阵A,B的排序向量分别为ω=(ω1‚ω2‚⋯‚ωn)Τ‚v=(v1‚v2‚⋯‚vm)Τ.定理1在原有元素中加入一组新元素,同时保持两组元素各自成对比较不变时,得到的判断矩阵A*的排序权值,保持它们各自原有权值之比的充要条件是λmax(DC)=λmax(CD),且CD和DC的主特征向量分别为A,B的主特征向量ω,v.文献对此条件进行了分析,证明了λmax(DC)=λmax(CD)是与保序性无关的,并得出下列定理:定理2在原有元素中加入一组新元素,同时保持两组元素各自成对比较不变时,得到的判断矩阵A*的排序权值,保持它们各自原有权值之比的充要条件是CD和A有相同的主特征向量ω,且DC和B有相同的主特征向量v.文献对定理1也作出了改进,并给出下面定理:定理3在原有元素中加入一组新元素,同时保持两组元素各自成对比较不变时,得到的判断矩阵A*的排序权值,保持它们各自原有权值之比的充要条件是Cv=aω‚Dω=bv‚a＞0‚b＞0‚并且此时还有λA*为二次方程λ2-(λA+λB)λ+λAλB-ab=0的较大根.其中:λA,λB,λA*分别为A,B,A*的最大特征根;ω,v分别为对应λA,λB的主特征向量.定理2和定理3从不同的角度给出了特征向量排序法在增加一组新元素后的强保序性条件,具有一定的理论价值,但在实际应用时只能对给出的判断矩阵保序性进行检验,而不能直接构造具有保序性的判断矩阵,因而实际意义并不突出.在下一节中,将给出一个简单实用的保序性条件,此条件弥补了这方面的缺陷.3cda的定义及相关结果定理4在原有元素中加入一组新元素,同时保持两组元素各自成对比较不变时,得到的判断矩阵A*的排序权值,保持它们各自原有权值之比的充分条件是ci‚n+j=kωivj.(1)其中:k>0;i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T和v=(v1,v2,…,vm)T分别为判断矩阵A,B的主特征向量.证明由条件ci‚n+j=kωivj(k＞0;i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)可得CDω=[kω1v1kω1v2⋯kω1vmkω2v1kω2v2⋯kω2vm⋯kωnv1kωnv2⋯kωnvm]⋅[1kv1ω11kv1ω2⋯1kv1ωn1kv2ω11kv2ω2⋯1kv2ωn⋯1kvmω11kvmω2⋯1kvmωm]⋅[ω1ω2⋯ωn]=mn[ω1ω2⋯ωn]=mnω‚DCv=[1kv1ω11kv1ω2⋯1kv1ωn1kv2ω11kv2ω2⋯1kv2ωn⋯1kvmω11kvmω2⋯1kvmωm]⋅[kω1v1kω1v2⋯kω1vmkω2v1kω2v2⋯kω2vm⋯kωnv1kωnv2⋯kωnvm]⋅[v1v2⋯vm]=mn[v1v2⋯vm]=mnv‚即CDω=mnω,DCv=mnv,其中λmax(DC)=λmax(CD)=mn.因此,CD和A有相同的主特征向量ω;DC和B有相同的主特征向量v.由定理1的充分性即得定理4成立.推论1判断矩阵A引入一个新元素后强保序的充要条件是ci‚n+1=kωi‚k＞0‚i=1‚2‚⋯‚n.从定理4可知,只需知道原判断矩阵A和导入新元素所构成的判断矩阵B及它们的主特征向量ω,v,就可根据式(1)构造具有保序性的判断矩阵A*.根据定理4及文献中的强保序性条件可知,本文的结果不仅适用于不具有协调性的特征向量排序法,而且适用于所有具有协调性的排序方法(如:对数最小二乘法、梯度特征向量法、最小偏差法、广义最小偏差法、混合最小二乘法、χ2法、广义χ2法等),因而具有广泛的应用前景.性质1设λA,λB,λA*分别为A,B,A*的最大特征根;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,v=(v1,v2,…,vm)T,ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n+m)T分别为对应λA,λB,λA*的主特征向量,则ω,v,ω*三者之间的关系为ω*=(kωΤ‚αvΤ)Τ.(2)其中:α=12m[λB-λA+√(λB-λA)2+4mn];ω*为未归一化的主特征向量.从式(2)中可以看出,k取值越大,在原有元素中导入新元素之后,对应于原有元素的权值越大,而对应于新元素的权值则相对地减少;反之,k取值越小,在原有元素中导入新元素之后,对应于原有元素的权值也越小,而对应于新元素的权值则相对地增大.因此,参数k的取值取决于决策者对原有元素的重视程度,也即取决于决策者对新、旧元素的主观偏好.利用文献中给出的衡量判断矩阵A的一致性程度的指标公式C.Ι.(A)=1n(n-1)∑1≤i≤j≤n(aijωjωi+ajiωiωj-2)‚易知:性质2对于判断矩阵A,B,A*(与性质1中相同),设λA,λB,λA*分别为A,B,A*的最大特征根;ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,v=(v1,v2,…,vm)T,ω*=(ω*1,ω*2,…,ω*n+m)T分别为对应λA,λB,λA*的主特征向量;C.I.(A),C.I.(B),C.I.(A*)分别为判断矩阵A,B,A*的一致性指标,则C.I.(A),C.I.(B),C.I.(A*)之间关系为1)C.Ι.(A*)=1(n+m)(n+m-1)×[n(n-1)C.Ι.(A)+m(m-1)C.Ι.(B)+mnβ]；2)C.Ι.(A*)≤C.Ι.(A)+C.Ι.(B)+β‚其中β=α+1/α-2.特别地,若判断矩阵A,B均为一致性判断矩阵(即C.I.(A),C.I.(B)都为零),则判断矩阵A*也是一致性的.4根据特征构造判断矩阵的主特征向量例1设对于某一决策问题,决策者对现有4个方案之间两两比较所得到的判断矩阵和对后导入的3个新方案之间两两比较所得的判断矩阵分别为A=[12471/21341/41/3121/71/41/21]‚B=[1141121/41/21].利用特征向量排序法计算它们的主特征向量ω=(0.514677‚0.295884‚0.120683‚0.068756)Τ‚v=(0.474230‚0.376397‚0.149373)Τ.假设决策者根据实际情况及自己的偏好设定k=2,则根据定理4的条件构造判断矩阵其主特征向量为ω*=(0.3386925‚0.1947116‚0.0794178‚0.0452461‚0.16215439‚0.12870216‚0.05107540)Τ=(aωΤ‚bvΤ)Τ.其中:a=0.6581,b=0.3419.故而符合定理4的结论,即判断矩阵A*的排序权值,保持它们各自原有的权值之比.5强保序条件的