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2021年中考数学压轴题

1.等腰△BCQ中，Z£)CB=120°,点£满足NQEC=60°.

(1)如图1,点E在边BO上时，求证：ED=2BE；

(2)如图2,过点B作DE的垂线交DE的延长线于点F,试探究DE和EF的数量关系,

并证明；

(3)若/£>EB=150°,直接写出BE,OE和EC的关系.

图1

•.•等腰△8CD中，ZDCB=nO°,

：.BC=CD,

：.ZB=ZD=30°,

VZDEC=60°=ZB+ZECB,

AZECB=30°,

：.BE=CE,

△DEC中,NDCE=180°-30°-60°=90°,

VZD=30°,

：.ED=2EC,

：.ED=2BE；

(2)解：结论：DE=2EF.

理由：如图2中，作。HLEC交EC的延长线于H,连接FH.

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D

图2

VZDHE=90°,NDEH=60°,

.\ZEDH=30°,

*：CD=CB,NBC£>=120°,

：.ZCBD=ZBDC=3O0,

・•・ZBDC=/EDH,

：.ZBDF=ZCDH,

VBF1DF,

：.ZBFD=ZH=90°,

:•丛DFBs^DHC,

DBDF

•9.=,

DCDH

.DBDC

••=",

DFDH

♦：/BDC=/FDH,

:./\BDCS/\FDH,

:./DBC=/DFH=30°,

<NDEH=NEFH+NEHF=60°,

：.ZEFH=ZEHF=30°,

:・EF=EH,

在RtZsOEH中，VZED//=30°,

：.DE=2EH9

：.DE=2EF,

(3)解：结论：BE^=ED・EC.

第2页共4页

理由：如图3中,

D

图3

VZBED=150°,NDEC=60°,

AZBEC=360°ABED-ZDEC=360°-150°-60°=150°,

：・/BED=/BEC,

：.ZEBD+ZEDB=30°,

•：/EBD+NEBC=30°,

:・/BDE=NEBC,

MDEBsABEC,

DEBE

：・B惮=DE・EC.

2.已知：在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,点。是A3的中点，点E是AB边上一点.

（1）直线8/垂直于直线CE于点尸，交C。于点G（如图1）,求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点”，交C。的延长线于点M（如图2）,找出图

中与8E相等的线段，并证明.

(1)证明：:点。是AB中点，AC=BC,

ZACB=90°,

:・CD工AB,ZACD=ZBCD=45°,

：.ZCAD=ZCBD=45Q,

第3页共4页

：.ZCAE=ZBCG,

又・；BF_LCE,

.\ZCBG+ZBCF=90°,

XVZACE+ZBCF=90°,

/.ZACE=ZCBG,

在△AEC和aCGB中，

^CAE=乙BCG

AC=BC

£.ACE=Z-CBG

：./\AEC^/\CGB(ASA),

:・AE=CG,

(2)解：BE=CM.

证明：:CHLHM,CDLED,

，NCMA+NMCH=90°,NBEC+/MCH=9C,

:・/CMA=/BEC,

又・・・N4CM=/C8七=45°,

ZBEC=/-CMA

在△3CE和△CAM中，)乙ACM=K

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