历年高中数学联赛真题分类汇编50立体几何与空间向量

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题50立体几何与空间向量第二缉1．【2018年湖南预赛】在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.【答案】πR【解析】设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高位那么全面积为2π=2π=π=πR其中tanφ=12故最大值为πR故答案为：π2．【2018年广西预赛】如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，AB=2，【答案】7【解析】由正三棱锥A1B1C1−ABC可得AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.在Rt△所以△DEF周长的最小值为7+23．【2018年安徽预赛】在边长为1的长方体ABCD−A1B【答案】4−【解析】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点D1的三个面相切.以D1为原点，D1C1、D再由r<12，得故答案为：4−4．【2018年山东预赛】在正四核锥S−ABCD中，已知二面角A−SB−D的正弦值为63，则异面直线SA【答案】60°【解析】如图，设AC、BD的交点为O，O在又因为AC⊥面SBD，因此AC⊥SB，所以SB⊥面因此∠AEO即为二面角A−SB−D的平面角，从而sin∠AEO=设AB=a，SA=b，则在△SAB中，S△SAB由此得AE=ab2−a从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线SA与BC所成的角为5．【2018年甘肃预赛】已知空间四点A,B,C,D满足AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD，且AB=AC=AD=1,Q是三棱锥A−BCD的外接球上的一个动点，则点Q到平面BCD的最大距离是______．【答案】2【解析】将三棱锥A−BCD补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为O，半径为正方体对角线的一半，即为32在正方体里，可求得点O到平面BCD的距离为36，则点Q到平面BCD的最大距离是36．【2018年天津预赛】半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14【解析】设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX⊥平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知OA=43设OX=x，则AX=由于球A内切于球X，所以AX=r-6即x2+48又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7于是11−x=r−7②从①②两式可解得x=4即大球的半径为14.故答案为：147．【2018年河南预赛】一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．【答案】2【解析】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．记大正四面体的外接球半径为R，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为r，易知r=13R8．【2018年河北预赛】已知棱长3的正方体ABCD−A1B【答案】π【解析】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在AB1、AC、AD1上.设线段AB1上的切点为E，圆柱上底面中心为O1，半径O9．【2018年河北预赛】若△A【答案】77π2【解析】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则x2+y2=4210．【2018年四川预赛】在三棱锥P−ABC中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=1、PB=2、PC=2.若点Q为三棱锥P−ABC的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的最大值为______.【答案】32【解析】三棱锥P−ABC的外接球就是以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2R=又cos∠BAC=15，从而sin∠BAC=故球心O到ABC从而，点Q到面ABC距离的最大值是3故答案为：311．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC，PA=BC=6【答案】3【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2+b12．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD中，已知AB=2，【答案】1【解析】因为BC2−A故答案为：113．【2018年江西预赛】四棱锥P−ABCD的底面ABCD是一个顶角为60°的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60°，棱锥内有一点M到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．【答案】83【解析】设菱形两对角线AC、BD的交点为H，则PH既是线段AC的中垂线，又是BD的中垂线，故是四棱锥的高，且点M在PH上，于是平面PBD与底面ABCD垂直，同理平面PAC与与底面只需考虑四面体P−ABD．如图，设点M在面PAD上的投影为E，平面MEH过点P，且交AD于因∠MHF=90°=∠MEF，则M、由于ME⊥面PAD，得ME⊥AD，由MH⊥面所以AD⊥面MEH，故FH是PF在面ABD内的射影，则即二面角的平面角∠EFH=60°，于是∠EMH=120°．据ME=MH=1，得EH=3，故直线三角形MEF与MHF因∠EFH=60°，所以△EFH是正三角形，即FH=EF=EH=3在直角△AFH中，∠HAF=30°，则AH=2FH=23故正△ABD的边长为4，于是S△ABD在直线△PFH中，PH=FHtan从而VP−ABCD故答案为：814．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____.【答案】21【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH上，因ΔABC≅ΔDBC，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r，由△DOF～△EAF，得r=AE⋅DF而AE2=15．【2018年湖南预赛】已知二面角α−l−β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q【答案】2【解析】试题分析：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，AQ=23,BP=3,∴考点：1.点线面之间的距离；2.二面角的平面角16．【2018年湖南预赛】四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________.【答案】a=2【解析】设正方体的棱长为a，上底为正方形ABCD，中心为O，则OA=22a.由对称性知，球心O2又O1M=1−a，则2整理得3a2−8a+4=0，解得a=23故答案为：a=17．【2018年福建预赛】如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形．若二面角P−AC−B的大小为120°，则三棱锥【答案】84π【解析】如图，取AC的中点D，连结DP、DB，则由△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形，得PD⊥AC，设O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，O1、O则OO1⊥易知O、O2、D所以三棱锥P−ABC的外接球半径R=OB=O所以三棱锥P−ABC的外接球的面积为4π18．【2018年全国】设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为 .【答案】8π【解析】设点P在平面α上的射影为O.由条件知，OPOQ即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为π⋅319．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为 .【答案】8π【解析】设点P在平面a上的射影为O.由条件知，OPOQ即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为π⋅320．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为 .【答案】3π【解析】圆锥顶点P在底面上的投影即为底面中心记之为O.由条件知，OPOQ=tan故所求的区域面积为π⋅221．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥P－ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面α所成角的余弦值为 .【答案】3【解析】设AB、PC的中点分别为K、M，则易证平面ABM就是平面α.由中线长公式知AM所以KM=A又易知直线PC在平面α上的射影是直线MK，而MC=1，KC=3所以cos∠KMC=故棱PC与平面α所成角的余弦值为3522．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在正四面体ABCD中，E、F分别在棱AB、AC上，满足BE=3，EF=4，且EF与面BCD平行，则△DEF的面积为 .【答案】2【解析】由条件知，EF平行于BC.因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE=AF=EF=4,AD=AB=AE+BE=7.由余弦定理得，DE=A同理有DF=37作等腰△DEF底边EF上的高DH，则EH=1故DH=D于是S△DEF23．【2017年天津预赛】在圆锥内部放有一个球,它与圆锥的侧面和底面都相切,则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 .【答案】1【解析】提示:设圆锥的底面半径为r,母线与底面的夹角为2θ,则其内切球半径为R由于球的表面积为S1=4π我们有S1S=4tan可化简得到S可见,当cosθ=23，即24．【2017年河北预赛】正方体ABCD−A1B1C1D1中,设顶点A关于平面C1BD和直线B【答案】15【解析】提示：如图,分别以AB,AD、AA设正方体棱长为1,在正方体ABCD−A1因为C1B//DA2,C1D//易知AC2⊥平面A2BD,设AC2交平面A易知平面ACD1⊥直线B1D,设平面ACD1与直线B显然PQ//P1Q1,所求角转化为直线P易知P1坐标为13,13,−13,设直线PQ与平面A1BD所成角为则sinα=|25．【2017年山西预赛】边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,现将图形沿线段EC、ED折起,使得线段EA,EB重合,这样得到一个四面体CDEA(点B已重合于点A),则此四面体的体积是 【答案】3【解析】提示:如图,显然△ACD为正三角形,其边长为2,取CD的中点F,则AFCD垂直于平面△AEF,AF=3其面积为S=12V=26．【2017年辽宁预赛】如图,设P为立方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB【答案】arctan【解析】提示：延长B1P与A1A交于点Q,则Q为面从而DQ为所成二面角的棱.由PA⊥面ADD1A1,在面ADD1则∠PHA设立方体的棱长为1,则AQ=x1−x.DQ=当且仅当P为AB的中点时等号成立.27．【2017年山东预赛】在边长为1的正方体C内,作一个内切大球O1,再在C内作一个小球O2,使它与大球O1外切,同时与正方体的三个面都相切.则球O2的表面积为【答案】(7−4【解析】提示:如图所示,设正方体C为ABCD−A'B'C'D设大球O1的半径为r1,球O2易知r1=12,且O1所以r2=2−328．【2017年福建预赛】三棱雉P−ABC中,△ABC是边长为23的等边三角形,PB=PC=5,且二面角P−【答案】25π【解析】提示：如图,取BC中点为D,连AD、PD，由△ABC是边长为2PB=PC=所以∠PDA为二面角P−BC−A的平面角,∠PDA=作PO1⊥AD于O1,则PO1为△ABC的外心,三棱锥设三棱雉P−ABC外接球的球心为O,半径为R.则O在直线PO所以R−三棱雉P−ABC的外接球的表面积为29．【2017年江西预赛】体积为1的正四面体被放置于一个正方体中,则此正方体体积的最小值是 .【答案】3【解析】提示：反向考虑,边长为a的正方体(体积为a3),其最大内接正四面体的顶点由互不共棱的正方体顶点组成,其体积为a33,令a30．【2017年河南预赛】单位正方体ABCD−A'B'C'D'的侧面AA'B'【答案】5【解析】提示:以BB'中点O为原点,BA方向为x轴,BB则由MB'=DM则点M的轨迹上的点到点B'的距离的最小值为1所以点M的轨迹上的点到点C'的距离的最小值为531．【2017年湖北预赛】如图,直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ACB=【答案】2【解析】提示：由题设可知,侧面BB1C又A1C1⊥将二面角A1−BC1因此,当且仅当C,P,A1由题设,BC=在△A1所以A1C=21332．【2017年四川预赛】如图,设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1【答案】6【解析】如图,设截面为BMD1N,点M到直线BD显然,ℎ的最小值为异面直线AA1与注意到,当M为AA1的中点、O为BD1的中点时,MO为故ℎmin=2显然,当点M与AA1重合时,此时,截面为ABC1D33．【2017年贵州预赛】如图所示,三个半径为r的汤圆(球形)装人半径为6cm的半球面碗中,三个汤圆的顶端恰与碗口共面,则汤圆半径r= cm【答案】189【解析】提示:三个半径为r的小球的连心线构成边长为2r的正三角形,其球心到该