2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-03 三角形中的面积和周长问题（教师版）

专练03三角形中的面积和周长问题

1.已知AABC的面积是120，请完成下列问题:

(I)如图1所示，若AD是AABC的BC边上的中线，则AABD的面积AACD的面积.(填

“><”或“=”)

(2)如图2所示，若CD,BE分别是AABC的AB,AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以

用如下方法：连接AO,由AD=DB得：S^ADO=^ABDO，同理：SACEO=^AAEO,设^AADO=X，

SACEO=y则)SABDO=x,S^AEO=y•由题意得：S&ABE=]SAABC=60,S^ADC=/AABC=60,可

列方程组为:篙，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为.

X।ZV—OU

(3)如图3所示，AD:DB=1:3,CE:AE=1:2,请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由.

【答案】(1)如图[，过A作AHLBC于H,

图1

•••AD是AABC的BC边上的中线，

:.BD=CD,

11

'S"BD=aBD•AH,SAACD=-CD-AH,

,•S^ABD=SAACD»

(2)解方程组得｛；;黑，

**•^AAOD=S^BOD=20,

S四边形ADOB=S"OD+S^AOE=20+20=40,

故答案为：，40；

(3)解：如图3,连结AO,

A

D

BC

图3

vAD:DB=1:3,

•,S“DO=.S^BDO»

vCE:AE=1:2，

=

••SACEO2^AAEO>

=f

设S^ADO=x,SACEOy则S4BDO=3x,S^AEO=2y,

2i

由题意得：

SAABE=-SAABC—80,S^ADC=[S^ABC=30,

可列方程组为：｛您3短3：o

解得：｛二：，

S四边形ADOE=SAADO+SAAEO=x+2y=36.

2.如图1,RSABC中，ZACB=RtZ,AC=8,BC=6,点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方

向以每秒1个单位的速度向终点C运动,同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB方向运

动到点B,再沿BA方向向终点A运动，以DP,DQ为邻边构造口PEQD,设点P运动的时间为t秒.

(1)当t=2时，求PD的长；

(2)如图2,当点Q运动至点B时，连结DE,求证：DE〃AP.

(3)如图3,连结CD.

①当点E恰好落在AACD的边上时，求所有满足要求的t值;

②记运动过程中。PEQD的面积为S,nPEQD与△ACD的重叠部分面积为Si,当19时，请直接

写出t的取值范围.

【答案】(1)解：如图1中，作DFLCA于F,

A

cQB

图1

当t=2时，AP=2,DF=AD・sinA=5x|=3,

4

VAF=AD*cosA=5x-=4,

APF=4-2=2,

；.PD=VDF2+PF2=V32+22=V13.

图2

在平行四边形PEQD中，

：PE〃DQ,

；.PE〃AD,

VAD=DQ.PE=DQ,

PE=AD,

四边形APED是平行四边形,

，DE〃AP.

（3）解：①分三种情况讨论：

I.当点E在CA上时，

DQ±CB（如图3所示），

p

B

图3

1q

VZACB=RtZ,CD是中线，；.CD=BD,/.CQ=-CB=3BP：t=-

II.当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图4所示），

过点E作EG±CA于点G,过点D作DHLCB于点H,

易证RtAPGE^RtAPHQ,；.PG=DH=4,

:.CG=4-t,GE=HQ=CQ-CH=2t-3,

VCD=AD,ZDCA=ZDAC

...在RtACEG中，tanZECG=^=—=-,At=-

CG4—t411

III.当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图5所示），过点E作EFLCA于点F,

图5

VCD-AD,/.ZCAD=ZACD.

：PE〃AD,AZCPE=ZCAD=ZACD,；.PE=CE,

；.PF=jPC=芋，PE=DQ=ll-2t,

pc8-T4

・••在RtAPEF中，cosZEPF=—=~=-

PEll-2t5

48

综上所述，满足要求的t的值为9或胃或詈；g<t<

/XXxx4nX/

②如图6中，PE交CD于日，作EG」AC于G，，EGJ_AC于G.

图6

当APDE，的面积等于平行四边形PEDQD的面积的:时，PE-：EE'=2：1,

由(II)可知CG=4-t,GE=2t-3,

.\PG=8-t-(4-t)=4,

,.,EC〃EG,

,PG，_EtGf_PE，_2

••=------==—«

PGEGPE3

.,.PG'=-,E'G'=-(2t-3),CG'=8-t--=--t,

3333

式253)_3

解得白5•

如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于日，作E，G」AC于GL

•••△PDE，的面积等于平行四边形PEDQD的面积的；,

・・・PE'：EE'=2：I,

122

-_-

233-2t

4

-

5

解得t=g,

综上所述，当费V［时，请直接写出t的取值范围是||<t<.

3.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，40AB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，

点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每

秒的速度从点A向终点。运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t,

(1)求A点坐标；

(2)如图1,连接BP、0Q交于点C,请问当t为何值时，ZOCP=60°；

(3)如图2,D为OB边上的中点，P,Q在运动过程中，D,P,Q三点是否能构成使NPDQ=120。

的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由.

【答案】(1)解：；(a-6)2+|V3a-b|=0,

XV(a-6)2>0,IV3a-b|>0,

，a=6,b=6y/3

，点A(6,6V3);

•.•△AOB是等边三角形，点A（6,6遍）

，AO=BO=AB=12,ZAOB=ZABO=60°=ZA,

：ZOCP=60°=ZAOB,

.,.ZAOB=ZQOB+ZAOQ=ZQOB+ZPBO=ZPCO=60°,

NAOQ=NPBO,JiAO-BO,NA=NAOB=60°,

/.△AOQ^AOBP(ASA),

AOP=AQ,

A12-2t=3t,

/.t=2.4,

.••当t=2.4时，ZOCP=60°：

(3)解：如图2中，过点D作DFLAO,DEIAB,连接AD,

:△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A(6,6百)

AOD=BD=6,ZAOB=ZABO=60°,AD=6遍,

又：ZDFO=ZDEB=90°,

AAODF^ABDE(AAS)

/.OF=BE,DF=DE,

VAO=AB,

AAO-OF=AB-BE

・・・AF=AE,

VDF=DE,PD=DQ,

ARtADFP^RtADEQ(HL)

，PF=EQ,

VOD=6,ZAOD=60°,ZDFO=90°,

JZODF=30°,

AOF=3,DF=V3OF=3V3,

AAF=AO-OF=9=AE,BE=OF=3,

•.*AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18,

A2t+3t=18,

At=3.6,

・••当t=3.6时,D,P,Q三点是能构成使NPDQ=120。的等腰三角形,

VRtADFPTRSDEQ,

ASADFP=SADEQ,

・・・S四边形APDQ二S四边形AFDQ=SAAOB-2SAOFD

=1x12x673-2x1x3x3V3

=27<3.

4.如图，△ABC为等边三角形，边长为6,P,Q分别为AB,AC边上的动点，点P,点Q同时

从点A出发，若P以|个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C

运动，设运动时间为t.

图1图2

(1)如图1,①当t=时，P是线段AB的中点，此时线段AQ与AC的数量关系是AQ=

________AC.

②在点P、Q运动过程中，△APQ是否能构成等腰三角形？；

A.有可能B.不可能C.无法确定

⑵如图2,连接CP、BQ交于点M,请问当t为何值时，ZBMP=60°；

(3)如图3,D为BC边上的中点，P,Q在运动过程中，D,P,Q三点是否能构成使NPDQ=

120。的等腰三角形？若能，试求：

①运动时间t；

②设四边形APDQ的面积为，,AABC的面积为S2.请直接写出$与S2的关系式；若不能，请说明

理由.

【答案】(I)①当P是AB中点时，AP=3,故t=3+:=2,

此时AQ=2x2=4,故AQ=|AC,

故答案为2,|；②假设△APQ可以成为等腰三角形，

:△ABC为等边三角形，即/A=60。，

则△APQ为等边三角形，

而AP,AQ,故△APQ不可能为等腰三角形，

故答案为B；

(2)解：:△ABC为等边三角形且边长为6,

；.AB=BC=AB=6,ZABC=ZACB=60°=ZA,

VZPMB=60°=ZABC,

二NABC=/QBC+NABQ=NQBC+NPCB=NPBC,

，/ABQ=NPCB,且AB=BC,NA=/ABC,

/.△ABQ^ABCP(ASA),

；.AQ=BP,

3

・・.6--t=2t,

・・.当1=/时，ZBMP=60°；

(3)解：①如图，过点D作DF_LAC,DE1AB,连接AD,

:△ABC是等边三角形，D是CB中点，

・・・CD=BD=3,ZABC=ZACB=60°,AD=3g,

又；NDFB=NDEC=90。，

/.△BDF^ACDE(AAS),

・・・BF=CE,DF=DE,

VAB=AC,

・・・AB-BF=AC-CE,

.♦.AF=AE,

VDF=DE,PD=DQ,

ARtADFP^RtADEQ(HL),

・・・PF=EQ,

VBD=3,NABD=60。，ZDFB=90°,

/.ZBDF=30°,

：.BF=",DF=V3BF=越,

2V2

93

AAF=AB-BF===AE,CE=BF=-，

22

■:AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF,

3

:.-t+2t=9,

2

・18

二当t=弓时，D,P,Q三点是能构成使/PDQ=120。的等腰三角形;

②DFPgRsDEQ,

ASADFP=SADEQ,

6x3\/3

而SAAOB=

2

AS四边形APDQ=S四边形AFDQ=SAAOB-2SAOFD=-2X|X^X|=^,

故Si=；S.

42

5.（感知）如图①,△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE,易知:

△ADCBEA.

（1）（探究）如图②,△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE,△ADC

与4BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由.

（2）（拓展）如图③，在△ABC中，AB=AC,N1=N2,点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE,

若AF=^CF=2BE,SAABF=6,则SABCD的大小为.

【答案】(1)解：△ADC与4BEA全等，

理由：在等边三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=ZABC=60°,

ZDAC=180°-NBAC=120°,ZEBA=180°-ZABC=120°,

，/DAC=/EBA,

VAD=BE,

/.△ADC^ABEA；

(2)拓展：VZ1=Z2,

，AF=BF,ZDAC=ZEBA,

：AD=BE,AC=AB,

.".△ADC^ABEA(SAS),

**.SAADC=SABEA,

VAF=2BE,AF=BF,

ABF=2BE,

ASAABE=|SAABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），

/.SAADO3,

3

VAF=-CF,

2

ASABFC=|SAABF=4（同高的两三角形的面积比是底的比），

.*.SABCD=SABCF+SAABF+SAADC=13,

故答案为13.

(1)如图1,在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E,与AB的延长线相交

于F,使BF=CE.

①已知ACDE的面积为1,AE=kCE,用含k的代数式表示△ABD的面积为多少；

②求证：AAEF是等腰三角形；

(2)如图2,在△ABC中，若/1=2/2,G是△ABC外一点，使/3=/1,AH〃BG交CG于H,且

N4=/BCG-N2,设NG=x,NBAC=y,试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(1)、(2)的条件下，AAFD是锐角三角形，当NG=100。，AD=a时，在AD上找一

点P,AF上找一点Q,FD上找一点M,使APQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示

△PQM周长的最小值________.(只需直接写出结果)

【答案】(1)解：①；AE=kCE,

.*.SADAE=kSADEC,

VSADEC=1,

/.SADAE=k,

ASAADC=SADAE+SADEC=k+l,

CD为BC中点,

ASAABD=SAADC=k+l.

②如图1,过B点作BG〃AC交EF于G.

・・・Z.BGD=ZCED,ZBGF=Z.AED

在会BGD和ZkCED中,

zBGD=zCED

{BD=CD

ZBDG=ZCDE

・・・△BGD=ACED(ASA),

ABG=CE,

又,.・BF=CE,

・・・BF=BG,

・•・ZBGF=ZF,

:.ZF=ZAED

.・・AF=AE,即^AEF是等腰三角形.

(2)解：如图2,设AH与BC交与点N,Z2=a.

图2

则N3=Nl=2N2=2a,

\,AH〃BG,

・・・ZCNH=ZANB=Z3=2a,

ZCNH=Z2+Z4,

；・2a=a+N4,

/.N4=a,

VZ4=ZBCG-Z2,

/.ZBCG=Z2+Z4=2a,

在ABGC中，z3+zBCG-f-zG=180°,即：4a4-x=180°,

在△ABC中，zl+z2+zBAC=180°,B|J：3a+y=180°,

联立消去a得：y=Ix+45°.

(3)如图3,作P点关于FA、FD的对称点P、P",

连接P'Q、P'F、PF、P“M、P"F、P'P"

E

C

图3

则FP'=FP=FP”，PQ=P'Q,PM=P'M,NP'FQ=NPFQ,NP”FM二ZPFM

・・・NPFP”=2NAFD,

VZG=100°,

3

AZBAC=-ZG+45°=120°,

4

VAE=AF,

AZAFD=30°,

.・./PFP”=2NAFD=60°,

•••△FPP”是等边三角形，

・・・PP”=FP=FP,

・・・PQ+QM+PM=PQ+QM+MP”沙P”=FP,

当且仅当P'、Q、M、P”四点共线，且FPJ_AD时，△PQM的周长取得最小值.

vAE=kCE,AF=AE,BF=CE,

.竺k-1

**AF

.c_kc_k(k+l)

**^AADF—k—]、aABDk-]

当FP1AD时，==

AD(k-l)a

PQM的周长最小值为霍芸.

7.如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=120°,AB=6,点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合）,

点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作ACDE,使CE=CD,

/DCE=/ACB,连结BE.

(1)求/ABE的度数；

(2)是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明

理由；

(3)△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴解:VAC=BC,ZACB=120°,

・♦・ZA=ZABC=30°.

VZDCE=ZACB,

・♦・ZDCE-ZDCB=ZACB-ZDCB,即NACD二NBCE.

AC=BC

在△ACD与ABCE中，｛Z.ACD=zBCE,

CD=CE

・・・△ACD^ABCE(SAS),

.\ZA=ZCBE=30o,

/.ZABE=ZABC+ZCBE=60°

(2)解：当点D在线段AB上时，由(1)得NDBE=60。恒成立，

・•・ZDBE/9O0,

・・・ADBE为直角三角形分两种情况讨论.

①当NDEB=90。时，

■:ZDBE=60°,

・・・DB=2BE,

△ACD/△BCE（已证），

・・・AD=BE.

VAD+DB=6,

ABE+DB=6,即3BE=6,

ABE=2,

ABD=4；

②当NEDB=90。时，

DB

VZDBE=60°,

BE=2BD,

△ACD也ABCE（已证），

/.AD=BE,

VAD+DB=6,

q

ABE+DB=6,E|J-BE=6,

2

ABEM,

ABD=2；

当点D在AB的延长线上时，

•；△ACDZ△BCE（已证），

AZA=ZCBE=30°,

:.ZABC+ZCBE=30°+30o=60°,

AZDBE=120°,

・・・不存在直角三角形，

综上所述：当△DBE为直角三角形时，BD的长为4或2.

（3）解：△ACDT△BCE（已证），

:.AD=BE,

・・・△BDE的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE,

VCE=CD,ZDCE=ZACB=120°,

・・・DE=V3CD,

△BDE的周长=6+V3CD,

当CDLAB时，CD取得最小值为V3，△BDE的周长取最小值为9

8.据图回答问题：

图①图②图③

(1)感知：如图①.AB=AD,AB±AD,BFLAF于点F,DGLAF于点G.求证：△ADG丝4BAF；

(2)拓展：如图②，点B,C在/MAN的边AM,AN上，点E,F在/MAN在内部的射线AD上，Zl,

N2分别是AABE,ACAF的外角，已知AB=AC,N1=N2=NBAC.求证：△ABE丝ACAF；

(3)应用：如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点在D边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD

上，Z1=Z2=ZBAC.若△ABC的面积为12,则△ABE与△CDF的面积之和为.

【答案】(1)证明：VAB1AD,BF±AF,

；.NDAG+NBAF=90°,NB+NBAF=90。，

/.ZDAG=ZB,

在4ADG和^BAF中，

Z.DAG=Z.B

{zAGD=ZBFA=90°,

AD=AB

AAADG^ABAF(AAS):

(2)证明:VZ1=Z2,

AZAEB=ZCFA,

Z1=ZABE+ZBAE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,Z1=ZBAC,

.♦./ABE=/CAF,

在^ABE和4CAF中，

ZAEB=ZCFA

{ZABE=ZCAF,

AB=AC

AAABE^ACAF(AAS)；

(3)VCD=2BD,

2

ASAADC=-SAABC=8,

3

由(2)得，△ABE^ACAF,

.,.△ABE与ACDF的面积之和=△CAF与△CDF的面积之和=5△ADC=8,

故答案为8.

9.在△ABC中，AB=AC,P为平面内一点

AAA

图1图2图3

(1)如图1,若Z.BAP=zCAP求证：BP=CP

(2)如图2,若Z.APB=ZAPC求证：BP=CP

(3)如图3,BD为AC边上的高，BE平分4ABD交AC于点E,EFJ.BC于F,EF与BD交于点G,

若ED=a,CD=b,求△BGC的面积(用含a,b的代数式表示).

【答案】(1)证明：如图1

TAB=AC、ZBAP=ZCAP、AP=AP

AAABP^AACP(SAS)

:.BP=CP.

(2)解：如下图2

过A分别作CP、BP的垂线，交它们的延长线于M、N

ZAMP=ZANP=90°

Z.APB=ZAPC

・・・zAPM=Z.APN

XVAP=AP

AAAPM^AAPN

JAM二AN、PM=PN

又TAB二AC

AAACM^AABN(HL)

ACM=BN

・・・BP二CP.

(3)解：如下图3

VBD±CD

・・・ZDBC=90°-ZACB

又〈AB二AC

，ZABC=ZACB

AZABD=ZABC-ZDBC=ZABC-(900-ZACB)

=2ZABC-90°

〈BE平分NABD

/.ZEBD=ZABC-45°

・・・ZEBF=ZEBD+ZDBC=ZABC-45°+90°-ZACB=45°

又・・・EFJ_BC于F

:.ZBEF=45°

AZBEF=ZEBF

AEF=BF

VZBDE=ZEFB=90\ZBGF=ZEGD

AZGBF=ZFEC

/.△BGF^AECF

，BG=EC=ED+DC=a+b

•••△BGC的面积为：%⑪="券=(ab+(b2.

10.已知：如图1,RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,等边ACDE的边CE在CB上，点D在

AB上.

B

E

(1)求证:ZACD=2ZBDE

(2)如图如将AADC沿着CD翻折，得到ACDF.连接EF,求证：AD=EF

(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG1CD交CB延长线于点G,若BE=m,DG=4+2m.

求AFDE的面积.

【答案】(1)证明:

:CA=CB,ZACB=90°,△CDE是等边三角形,

・・・ZB=45°,Z.CED=ZDCE=60°,

JZBDE=4DEC-ZB=60°-45°=15°,

ZACD=90°-Z.DCE=90°-60°=30°,

JZ.ACD=2ZBDE

(2)证明：如图示：

由折叠可知，Z.DFC=zA=45°,Z.ACD=Z.FCD=30°,

・・・ZFCB=900-ZACD-ZFCD=90°-30°-30°=30°,

在ADFG和ACGB中，

ZDFG=ZB=45°,ZDGF=ZCGB,

工Z.FDG=Z.FCB=30°,

・・・ZFDO=ZFDG+ZGDO=30°-F15°=45°,

即有：ZFDO=Z.FDO=45°

・・・ADFO是等腰直角三角形，

:.OD=OF

■:ACDE是等边三角形，zFCB=^FCD=30°,

JOD=OE=OF,

・・・AFOE是等腰直角三角形，并AFOE=AFOD

则ADFE是等腰直角三角形，

・•・DF=FE

・・・AD=FE；

(3)解：如图3所示，

G

B

图3

Z.DCG=60°,DG1CD,

JZ.DGC=30°,

.CD_CD_1

'•DG-4+2m-V3

3

；•DE=CD=同4+如),

3

由(2)可知，ADFE是等腰直角三角形，

DF_DF_J_

・・DE-Q(4+2m)-yf2，

3

...DF="+m),

,,SAFDE=|DF2=工*|、@(2+m)]2=(2+m)2

IL如图，在△ABC中，ZACB=90o,AC=BC,点D为AB的中点，AE=CF.

求证：

(1)DE=DF；

(2)DE1DF；

(3)若AC=3,求四边形CFDE的面积.

【答案】(1)证明：如图，连接CD.

VBC=AC,ZBCA=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

YD为AB中点，

；.BD=CD,C