2021年中考数学解答题压轴题每日一题

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+法+c与x轴交于点A(-2,0),点8(4,

0),与y轴交于点C(0,2b)，连接BC,位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线/,沿x轴

正方向从O运动到8(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段3c以及x轴于点P,D,

E,连接AC,BC,PA,PB,PC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,当直线/运动时，求使得△尸EA和△AOC相似的点P点的横坐标；

(3)如图1,当直线1运动时，求apcg面积的最大值；

(4)如图2,抛物线的对称轴交x轴于点。，过点B作BG〃AC交y轴于点G.点〃、K

分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK,当△PC8的面积最大时，请直接写出P”+”K+

返KG的最小值.

【分析】(1)根据A和8的坐标设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x-4),把点C(0,2«)

代入可得：-返，即可求解；

4

(2)只有当N勿E=N4CO时，△PEAZ\S4OC,可得方程，解方程可得P的横坐标；

(3)如图1,先确定aPCB的面积最大时，PD最大,设P(x,-返/+返2gD

_42

(x,-返户2依)，表示PO的长，根据二次函数的最值可得PO的最大值，最后利用三

2

角形面积公式可得结论；

(4)由(3)知：△PCB的面积最大时，P(2,2«),则0「=正2+(2⑨2=4,如图

2,将直线GO绕点G逆时针旋转60°,得到直线必作直线。于M,KM'，直线a

于“，则PH+HK+迪KG=PH+HK+KM'》PM,求出产例即可解决问题.

2

【解答】解：(1)；点4(-2,0),点8(4,0),

.,.设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x-4),

把点C(0,273)代入得：a=-返，

4

故抛物线的表达式为：y=-返(x+2)(x-4)=-：/“+返计2«；

__442

(2)设尸(x,-返7+返x+2虫)，

42

•••动直线/在)，轴的右侧，尸为抛物线与/的交点，

/.0<x<4,

•.•点A(-2,0)、C(0,2亚，

：.OA=2,OC=2。

；/_Lx轴，

.,./PE4=NAOC=90°,

,：ZPAE^ZCAO,

只有当NB4E=NACO时，XPEAsl\AOC,

AE-0Cx+2273

37-2x-16=0,

(x+2)(3x-8)=0,

x=-2(舍)或其，

3

则点p的横坐标为&；

3

(3)如图1,△PCB的面积=/.PD・OB，

E

图1

'：08=4是定值,

，当PD的值最大时，△PCB的面积最大,

'：B(4,0),C(0,2«),

设直线BC的解析式为：y=H+6,

则傕翁

解得:

b=2,\/3

直线BC的解析式为:

<

+2巧xlD

设P(X,2z

近

返

巧\2

+2IX--V3(217

:.PD=(2Z24X4

4

M，

：-返＜0,

4

...当x=2时，PO有最大值是此时△PCB的面积=/・PD-0B=/XJ§X4=2«；

：.AC=4,

-0=30°,

\'BG//AC,

；./BGO=/ACO=30°,

RtZ\BOG中，08=4,

；.OG=4«,

由(3)知：的面积最大时，P(2,2«),则0「=正+(2a)2=4,

如图2,将直线G。绕点G逆时针旋转60°,得到直线”，

作PM_L直线a于M,KM'_L直线a于M',则PH+HK+'叵KG=PH+HK+KM，^PM,

2

VP(2,2«),

/.ZPOB=60°,

VZM