2021年中考数学 一元二次方程命题角度

讲次01一元二次方程的基础

一元二次方程定义及一般形式

概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数

式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：ax2+bx+c=0（a0）o其中a为二次项系数，Z?为一次项系数,

c为常数项。

【注意】

1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

一元二次方程的解

概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二

次方程的解也叫一元二次方程的根。

命题角度——元二次方程的概念

例题L下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=Q（a,b,c为常数）B.x2-x-2=0

C.--H--2=0D.J^+2X=X^-1

x'x

【解析】A.若a=0,则该方程不是一元二次方程，故A选项错误,

B.符合一元二次方程的定义，故8选项正确，

C.属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故。选项错误，

D.整理后方程为：2x+l=0,不符合一元二次方程的定义，故。选项错误,

选8.

【小结】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程,

首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的

最高次数是2.

变式1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.*-y=lB.?+2r-3=0C.?+^=3D.x-5y=6

【解析】根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程

选R

变式2.若关于x的方程（a-2）f-3彳+。=0是一元二次方程，则（）

A.QW2B.a>2C.a=0D.a>0

【分析】根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次

数为2的方程叫做一元二次方程（二次项系数不为0）.

【解析】由一元二次方程的定义可得可解出故答案为A

【小结】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.

变式3.关于x的方程（加+l）x"*+4x+2=0是一元二次方程，则机的值为（）

A.m\=-1,机2=1B.m=\C.m=-1D.无解

【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2,可得川+1=2且m+1/0,

计算即可求解.

【解析】因为一元二次方程的最高次数是2,所以1+1=2,解得加=-1或1,

又因为〃2+屏0,即所以m=1,选民

【小结】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未

知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是

解决此题的关键.

变式4.关于x的方程（a-1）卅M-3x+2=o是一元二次方程，则（）

A.。丹1B.a=1C.a=-1D.a=±l

【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.

缶一1wO

【解析】由题意可知：］同+1=2'解得。=一1

选C.

【小结】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的

定义，本题属于基础题型.

命题角度二一元二次方程的一般式

例题2.一元二次方程3/-4k5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

（）

A.3,-4,-5B.3,-4,5C.3,4,5D.3,4,-5

【解析】一元二次方程3/-以-5=0的二次项系数是3,一次项系数-4,常数项

-5.选A.

【小结】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=Q（a,b,c是常数

且aWO）,特别要注意aWO的条件.在一般形式中，叫二次项，汝叫一次

项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

变式1.将一元二次方程-3?-2=-4x化成一般形式为（）

A.-4x+2=0B.3X2-4x-2=0C.3/+4x+2=0D.3J?+4X-2=0

【分析】方程整理为一般形式即可.

【解析】方程整理得：3?-4x+2=0,选A.

【小结】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为云+c=0

（存0）.

变式2.一元二次方程*2—2（3尤一2）+（x+l）=0的一般形式是（）

A.X2—5x+5=0B.X2+5JC—5=0C.JC2+5A:+5=0D.f+5=0

【解析】一元二次方程的一般式为：/+云+c=0（办0）,将原方程去括号为：

X2-6X+4+X+1=0,合并为：f_5x+5=0,所以选A.

变式3.把一元二次方程x(x+l)=3x+2化为一般形式，正确的是()

A.W+4x+3=0B.?-2x+2=0C.x2-3x-1=0D.?-2x-2=0

【解析】一元二次方程的一般形式为

x(x+1)=3x+2

x2+x-3x-2=0,

?-2x-2=0

选。.

【小结】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.

变式4.关于x的一元二次方程（机-2）/+5x+"2-4=0的常数项是0,则（）

A.〃2=4B.m=2C."2=2或机=-20.m=-2

【分析】根据常数项为0,可得加2一4=0,同时还要保证"2W0,即可.

【解析】由题意得:nr-4=0,且〃?-2W0,

解得：加=-2,选。.

【小结】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握a^+bx+c=0（a,

b,c是常数且aWO）特别要注意“WO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知

识点.在一般形式中小叫二次项，区叫一次项，c是常数项.其中a,Ac分

别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

命题角度三一元二次方程的解

例题3.已知一元二次方程/+依-3=0有一个根为1,则Z的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

【解析】把x=l代入方程得1+上3=0,

解得仁2.选B.

【小结】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知

数的值是一元二次方程的解.

变式L机是方程f+x-I=O的根，则式子加+2川+2014的值为（）

A.2014B.2015C.2016D.2017

【分析】把代入*+x-1=0得到川+机-1=0,即〃，+加=],把式子"p+2"?2+20]4

变形为"？（〃，+m）+"/+2014的形式，代入即可求出式子的值.

2

【解析】•.,〃2是方程Phx-1=0的根，.♦.疗+加-]=0,gpm+m=1,

.,.w3+2/n2+2014=w(/?z2+m)W+201^m+nr+2014=1+2014=2015.

选B.

【小结】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知,

而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式机，机的值，然后利用“整体代

入法”求代数式的值.

变式2.x=l是关于x的一元一次方程/+如+乃=0的解，则2a+43=（）

A.—2B,—3C.4D,—6

【分析】先把X=1代入方程Y+奴+2b=0得。+2氏-1,然后利用整体代入的方

法计算2a+4b的值

【解析】将x=l代入方程/+以+2》=0,

得a+2"=-l,2a+4b=2（a+2Z?）=2x（-1）=-2,选A

【小结】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键

变式3.如果关于x的一元二次方程（机-3）f+3x+〃-9=0有一个解是0,那

么m的值是（）

A.-3B.3C.+3O.0或-3

【分析】把X=0代入方程⑸-3）炉+3x+机2-9=0中，解关于加的一元二次方程,

注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0

【解析】把x=0代入方程（加-3）尤之+3X+tn2-9=0中，得:m2-9=0

解得m=-3或3

当m=3时,原方程二次项系数m~3=Q,舍去,选A

【小结】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大

变式4.已知关于x的一元二次方程O+3）/+5x+〃，-9=0有一个解是0,则加的值

为（）

A.-3B.3C.±3D.不确定

【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代

替未知数所得式子仍然成立；将户0代入原方程即可求得m的值.

【解析】把户0代入原方程得：疗-9=0；解得：机=±3；

当机=-3时，原方程为：5尸0,不是一元二次方程，故舍去.

所以〃尸3.选B.

【小结】考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次

方程，所以〃?=-3不符合题意，所以机的值是3.

讲次02解一元二次方程

解法一：配方法

配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半

的平方”

用配方法解一元二次方程办2+bx+c=0（。工0）的一般步骤：

1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为

（x+m）2=«（n>0）的形式；

【注意】：当〃<0时，方程无解

4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

解法二：直接开平方法

概念：形如（％+。）2=〃820）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平

方得x+a=VF或者x+a=-Vb,最后通过解两个一元一次方程得到原方程的

解。

【注意】

1）若。20,方程有两个实数根。

（若匕>0,方程有两个不相等的实数根；若8=0,方程有两个相等的实数根）

2）若从0,方程无解。

解法三：公式法

一元二次方程依2+区+。=（）（4#0）根的判别式：△=。2一4砒

1）1>0。方程有两个不相等的实根：％=一"土'"上处（/-4的20）

2a

2）A=0。方程有两个相等的实根

3）A<0=方程无实根

用公式法解一元二次方程*2+云+。=0（。工0）的一般步骤：

1）把方程化为一般形式，确定如乩c的值（若系数是分数通常将其化为整数,

方便计算）；

2）求出Z/-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；

3）如果Z?2-4ac20,将a、b、c的值代入求根公式：x=—二——~色^

2a

4）最后求出Xi,x2

解法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）

用因式分解一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的一般步骤：

1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0;

2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

4）求解

归纳：右化零，左分解，两因式，各求解

方法五：韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0（a=0,△20）之后，设它的两个

根是西和%，则％和W与方程的系数b,c之间有如下关系：

b_c

+马-----;Xj•x-----

a2a

命题角度一利用配方法解一元二次方程

例题L用配方法解方程£+8X+9=0,变形后的结果正确的是()

A.(x+4)2=-9B.(x+4)2=-7C.(x+4)?=25D.(x+4)2=7

【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方

后进行判断即可.

【解析】£+8X+9=0,

X?+8x=-9,

%2+8x+42=-9+42，

所以(X+4)2=7,

选D

【小结】考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项

是解题关键.

2

变式L用配方法解方程％2-1=0时，应将其变形为()

1,81210

A.(x--)=—B.U+-)

39~9

八/1、2_10

C.(X-二")2=0D・U-

3

7

【解析】V?-jx-1=0,

22211110

.'.%2-，龙22-§x+§=l+g,(x--)2.选D

【小结】配方法的一般步骤:

(1)把常数项移到等号的右边;

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1,一次项的系

数是2的倍数.

变式2.用配方法解方程f+3x+l=0,经过配方，得到()

A.(x-)2=-B.(x+-)2=-

+2424

C.(x+3)2=10D.(x+3)2=8

【分析】把常数项1移项后，在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方,

由此即可求得答案.

【解析】VX2+3X+1=O,

.'.X2+3X=-1,

.,.x2+3x+(—)2=-1+(—)2,

22

即(x+31),2=\5,

选B.

【小结】本题考查了解一元二次方程-配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:

(1)形如f+px+qR型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两

边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开

方即可.(2)形如加+bx+c=O型，方程两边同时除以二次项系数，即化成

x2+px+q=O,然后配方.

变式3.用配方法解方程2/一］-1=0,变形结果正确的是()

A.(x-1)2=jB.(xfC.(x-；)2=1D.

2444416416

【分析】将原方程二次项系数化为1后用配方法变形可得结果.

【解析】根据配方法的定义,将方程2/一-1=0的二次项系数化为1,得:

111111

x-----X—0,配方得犬一—x+一=一+一

22216216

Ia

即：(x-：)2=.选D.

4716T

【小结】本题主要考查用配方法解一元二次方程.

变式4.用配方法解一元二次方程2P4/2=1的过程中，变形正确的是()

A.2(x-1)2=1B.2(x-1)2=5C.(x-1)2=-D.(x-2)2=—

22

【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后

根据等式的性质，方程两边都除以2,将二次项系数化为1,再根据等式的性质,

方程两边都加上一次项系数一半的平方1,然后左边利用完全平方公式分解因

式，右边合并同类项，即可得答案.

【解析】2X2-4X-2=1,

2X2-4X=3,

X2-2X=j,

2

3

x-92x+l=—+1,

2

(X-1)2=1,选C.

【小结】考查配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是

解题的关键.

命题角度二利用直接开平方法解一元二次方程

例题2.方程（x+1）2=0的根是（）

A.X\"X2=1B.X\"X2=-1C.X\--19>2=1D,无实根

【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.

【解析】（龙+1）2=0,解：x+l=0,所以X/=X2=-1,选8

【小结】考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程

的解法.

变式1.方程（X-2）2=9的解是（）

A.X1=5,x2=-1B.X|=~5,x7=1

C.工］=11，x2=-7D.芭=-11,x2=7

【解析】（x-2『=9,故x—2=3或x—2=-3,解得：汨=5,%2=-1»故答案

选A.

【小结】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难

度不大.

变式2.一元二次方程（x+6/=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元

一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是（）

A.x—6=-43.x—6=4C.x+6=4D.x+6=—4

【解析】将（X+6）2=16两边开平方，得X+6=±4,则则另一个一元一次方程

是x+6=-4o选。。

变式3.解方程（5x-1）2=（2x+3）2的最适当方法应是（）

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

【分析】把方程（5x-l）2=（2X+3）2,两边开方得到5X-1=±（2X+3）,然后解两

个一元一次方程即可.

【解析】方程（5x-1>=（2X+3）2的最适当方法应是直接开平方法，选A

【小结】考查一元二次方程的解法，观察方程选择合适的方法是解题的关键.

变式4.解方程：4(X+3)2=25(X-2)2

【解析】4(X+3)2=25(X-2)2,

开方得：2(x+3)=±5(x-2),

解得：%i=y>x2=y

【小结】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程

转化成一元一次方程，难度适中.

命题角度三利用公式法法解一元二次方程

例题3.卡盘也出妇是下列哪个一元二次方程的根（）

2x3

A.3』+5尤+1=0B.3*-5x+1=0C.3/-5x-1=0D.3x2+5x-1=0

【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.

【解析】一元二次方程的求根公式是但但三2,对四个选项一一代入求根

2a

公式，正确的是。

【小结】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.

变式1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定纵氏C的值.对于方程

-4?+3=5x,下列叙述正确的是（）

A.a=-4,b=5,c=3B.a=-4,b=—5,c=3

C.a=4,b=5,c=3D.a=4,b=—5,c=-3

【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式.

【解析】-4x?+3=5x,/.-4X2-5X+3=0,或4d+5X-3=0

.♦.a=-4,h=-5,c=3或a=4,b=5,c=-3,选B.

【小结】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般

形式.

变式2.若一元二次方程犬+2田〃?=0中的/-4ac=0,则这个方程的两根为（）

A.心=1,x2=•1B.xi=x2=lC.xi=x2=-1D.不确定

【分析】根据求出〃2的值，再把求得的机的值代回原方程，然后解一元二次方

程即可求出方程的两个根.

【解析】-4ac=0,/.4-4/M=0,解得：加=1,

••.原方程可化为：x2+2x+l=0,

（九+1）2=0,.\X\=X2=~1.选C.

【小结】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方

法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法

是解答本题的关键.

变式3.方程(x-5)(x+2)=l的解为()

A.5B.-2

C.5和-2D.以上结论都不对

【解析】•；(x-5)(x+2)=1,

.'.Ai-Sx-l1=0,

Va-\,b=-3,c=-11,

3也小主画，选D

22

【小结】考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公

式，当，注意△»()时，I："工7"”

2a

变式4.关于％的方程/一3一4=0的一个根是%=3,则它的另一个根马是

()

-445

A.3B.—C.一二■D.—

333

【分析】先将玉=3代入方程/_/加一4=0,求出机的值；再解一元二次方程组

求出另一个根看即可.

【解析】将％=3代入方一程f一mx—4=0,得9一3机一4=0,解得：w=|

将加=|代入原方程：X2-|X-4=0

4

方法一：解方程组，得：X=3,x2=-y

方法二：根据根与系数的关系：N尤,=反可知：%x,=-=-4

a1

/.3/=-4

4

x——

2-3

选C

【小结】本题为考查解一元二次方程的变式题，稍有难度，熟练掌握一元二次方

程求解的几种方法是解答本题的关键.

命题角度四利用因式分解法解一元二次方程

例题4.一元二次方程x(x—2)=2—x的根是()

A.-1B.2C.1和2Q.-1和2

【分析】先移项得到x(x-2)+(x-2)=0,然后利用提公因式因式分解，最后转

化为两个一元一次方程，解方程即可.

【解析】x(x-2)=2-xn

x(x—2)+(x—2)=0=>

(x-2)(x+l)=0=>

x-2=0或x+l=O=

X1=2,x9=—1,

选D

变式1.方程x(x+2)=0的根是()

A.x=2B.x=0C.xi=O,X2=-2D.%I=0,X2=2

【解析】x(x+2)=0,

=40或x+2=0,

解得*=0，X2=-2.

选C

变式2.方程/+犷12=0的两个根为()

A.Xi=-2,X2=6B.x尸一6,X2-2C.x产-3,x2=4D.无尸-4,X2=3

【解析】将d+x-12分解因式成(x+4)(x-3),

解x+4=0或x-3=0即可得出结论.

j^+x-12=(x+4)(x-3)=0,

则x+4=0,或尤-3=0,

解得：龙尸-4,光2=3.

变式3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是()

A.(2x-2)(3x-4)=0,二2-2x=0或3x-4=0

B.(x+3)(x—1)=1,x+3=0或x-l=1

C.(x-2)(x-3)=2x3,x-2=2或x-3=3

D.x(x+2)=0,/.x+2=0

【分析】用因式分解法时，方程的右边为0,才可以达到化为两个一次方程的目

的.因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x=0,x+2=

0.

【解析】用因式分解法时，方程的右边为0,才可以达到化为两个一次方程的目

的.因此第二、第三个不对，

第四个漏了一个一次方程，应该是x=0,x+2=0.

所以第一个正确，

选A.

【小结】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致

用的能力.

变式4.已知一元二次方程f-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长

和腰长，则△ABC的周长为()

A.13B.11或13C.11D.12

【解析】JC2-8X+15=0,

分解因式得：(x-3)(x-5)=0,

可得x-3=0或x-5=0,

解得：%i=3,历=5,

若3为底边，5为腰时，三边长分别为3,5,5,

周长为3+5+5=13；

若3为腰，5为底边时，三边长分别为3,3,5,

周长为3+3+5=11,

综上，的周长为11或13.

选B.

命题角度五利用换元法法解一元二次方程

例题5.已知(x2+y2)2_y2=f+6,则f的值是()

A.-2B.3C.12或3D.—2且3

【解析】根据题意，先移项得(d+y2)2—y2—x2—6=o,

即任+力2_(/+/_6=0,然后根据“十字相乘法”可得

(x2+y2+2)(x2+J；2-3)=0,由此解得V+产〜？(舍去)或/+产=3,选B.

【小结】此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一

个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.

变式1.我们知道方程f+2x-3=0的解是看=1,忿=-3,现给出另一个方程

(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是()

A.用=1,历=3B.%I=1,应=-3C.xi=-l,检=3D.x\=-1,M=-3

【分析】将X1=1,X2=-3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出

新的方程.

2

【解析】将修=1，x2=-3代入至!jX+2X-3=0得

12+2X1-3=0,(-3)2+2X(-3)-3=0

对比方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,可得2x+3=l或-3

解得：尤尸-1,光2=~3

选D

【小结】此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.

变式2.若实数x、y满足(x+y—3)(x+y)+2=0,贝Dx+y的值为()

A.-1或-2；B.-1或2；C.1或-2；D.1或2；

［解析】t=x+y,则由原方程，得t(t-3)+2=0,

整理，得(r-1)Ct-2)=0.

解得t=l或t=2,

所以x+y的值为1或2.

选D

命题角度六韦达定理

例题6.已知a,p是一元二次方程W+尤-2=0的两个实数根，则a+p-ap的值

是()

A.3B.1C.-1D.-3

【分析】根据根与系数的关系得a+(3=-1,ap=-2,求出a+(3和ap的值，再把

要求的式子进行整理，即可得出答案.

【解析】Va,B是方程f+x-2=0的两个实数根，

a+P=-1,ap=-2,

a+P-ap=-1-(-2)—1+2=1,

选B.

【小结】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于-2、两

a

根之积等于£是解题的关键.

a

变式L关于x的一元二次方程寸一4%+m=0的两实数根分别为占、x2,且

%+3々=5,则根的值为()

777

A.-B.-C.-D.0

456

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到修+也=4,代入代数式计算即

可.

【解析】,.,汨+九2=4,

X\+3X2=X]+X2+2X2-4+2%2-5，

把X2=—代入x2-4x+m=Q得：（,）2-4X—+m=0,

,7

解得：〃?=：，

4

选A.

【小结】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程

ax2+bx+c=O（。,0）的根与系数的关系为：X\+X2=-—＞汨・应=—是解题的关键.

aa

变式2.若关于x的一元二次方程f-2x+〃『0有一个解为x=-1,则另一个解为

()

A.1B.-3C.3D.4

【分析】设方程的另一个解为西，根据两根之和等于一2，即可得出关于看的

a

一元一次方程，解之即可得出结论.

【解析】设方程的另一个解为为，

根据题意得：-1+即=2,

解得:%i=3,

选C.

【小结】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于

b两根之积等于c反是解题的关键.

aa

变式3.若a,〃是关于工的一元二次方程f-2x+初=0的两实根，且

112

一+力=一二，则机等于()

ap3

A.-2B.-3C.2D.3

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到。+4=2,ab=m,再化简

J_1_a+j3

代入即可求解;

a[3a/3

【解析】a,，是关于x的一元二次方程21+m=0的两实根,

:.a+0=2,ab=m,

.1।1_a+尸_2_2

•a°apm3'

m=-3；

选8

【小结】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题

的关键.

变式4.已知关于x的一元二次方程/-巾+2加-1=0的两个实数根的平方和

为7,那么机的值是（）

A.5B.-1C.5或-1D.-5或1

【分析】设方程的两个根为汨、必，则处2+必2=7,根据方程根与系数的关系可知

为、X2的和与积，列出方程即可求出机的值.

【解析】设方程的两个根为XI、M，则尤/+应2=7,

Xi、X2,是方程x2-/m+2m-1=0的两个根，

・,•冗1+工2=加，X）x^2m-1,

2222

二.（%i+x2）=X]+x2+2XiX2=m,

:.苏・2（2"卜1）-7=0,

解得：m=5或加=-1,

丁方程Y-加:+2加-1=0有两个实数根，

/.（一6）2-4（26-1）二m2—8m+420,

解得加24+2或

.•・加二5舍去，m=-\,

选B.

【小结】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与

系数的关系和判别式的性质是解题关键.

讲次03一元二次方程与实际问题

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：

"审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

“列''指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等

式，即方程。

"解''就是求出说列方程的解；

"答''就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

实际问题的解题思路

原野⑴增长率）嘀量

铜岩"超原量红kl降率）啼量

n3nm几何图形性质

二次方程,.几何问题々口而囱秘国K而毋八十

'几何图形周长、面积公式

的应川

」传播问题解题思路：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数

嗨每型方响题「物思路：找到单价与措醒鹤鲤

销售利润=销售总量X单件销售利润

命题角度一传播问题

例题1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后

共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算

式求解即可.

【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得x+l+（x+l）

x=36,

解得：尤=5或尤=-7（舍去）.

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得:5x36=180（个）,

答：第三轮将又有180人被传染.

【小结】考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列

方程.

变式1.“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传

染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经

过两轮传染后，共有121人受到感染，

（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

【分析】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人

受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）将户10代入（x+1）3中即可求出结论.

【解析】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，

根据题意得0+1）2=121

解得：Xi=10,X2=-12（不合题意，应舍去）.

答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.

（2）当410时，（x+1）3=（10+1）3=1331.

答：经过三轮后将有1331人受到感染.

【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

变式2.某人参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，问:

共有多少人参加了同学聚会？

【分析】先设有x人参加聚会，根据每两人都握手一次手，所有人共握手45次，

列出代数式，求出x的值，再根据x只能取正数，即可得出答案.

【解析】有X人参加了同学聚会，

根据题意得：yx(x-1)=45,

解得：X|=10,X2=-9(舍去),

答：有10人参加了同学聚会.

【小结】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确找到关键描述语，从而根据

等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，并且要根据实际情况选择合适的

答案.

命题角度二增长率问题

例题2某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月

下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的

下降率都相同.

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本.

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得

出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本x（1-下降率），即

可得出结论.

【解析】

（1）设每个月生产成本的下降率为尤，

根据题意得:400（1-%）2=361,

解得：%|=0.05=5%,X2=1.95（不合题意,舍去）.

答：每个月生产成本的下降率为5%；

（2）361x（1-5%）=342.95（万元），

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

【小结】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算.

变式1.2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持,

发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元.

(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;

(2)若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达

到4200元？

【分析】

(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,根

据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次

方程，解之取其中正值即可得出结论；

(2)根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入=2018年该贫困户的家庭年人

均纯收入x(1+增长率)，可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与

4200比较后即可得出结论.

【解析】

(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,

依题意，得：2500(1+X)2=3600,

解得：内=0.2=20%,%=-2.2(舍去).

答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.

(2)3600x(1+20%)=4320(元)，

4320>4200.

答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.

【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

变式2.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万

元.

(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；

(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少

万元.

【解析】

(1)一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，2015年要投入教育经费是

2500(1+x)万元，在2015年的基础上再增长x,就是2016年的教育经费数额，

即可列出方程求解.

(2)利用2016年的经费x(1+增长率)即可.

试题解析：(1)设增长率为x,根据题意2015年为2500(1+x)万元，2016年

为2500(1+x)(1+x)万元.

贝12500(1+无)(1+x)=3025,

解得40.1=10%,或户-2.1(不合题意舍去).

答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.

(2)3025x(1+10%)=3327.5(万元).

故根据(1)所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5

万元.

命题角度三图形有关的问题

例题3.如图，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20c〃z.在其四角各剪去一个同

样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去

正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为ZOO。/?

」................匚

【分析】设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为

(30-2x)cm,宽为(20-2X)<%2,高为xcm,根据长方体盒子的侧面积为200<加，

即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【解析】设剪去正方形的边长为如，则做成无盖长方体盒子的底面长为

(30-2x)cm,宽为(20-2x)cm,高为xcm,

依题意，得：2x[(30-2x)+(20-2x)]x=200,

整理，得：2f—25x+50=0,解得：石=|,%2=10,

当x=10时，20-2x=0,不合题意，舍去，

*5

答：当剪去正方形的边长为gc相时，所得长方体盒子的侧面积为200cM2.

【小结】考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

变