2021年中考数学11 一次函数（解析版）

专题11一次函数

专题常识回顾

1.一次函数的定义

一样地，形如>=自+"（%,b是常数，且％工°）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

2.一次函数的图像：是不经由原点的一条直线。

3.一次函数的性质:

（1）当k>0时,图象主要经由第一、三象限；此时,y随x的增大而增大;

⑵当k<0时,图象主要经由第二、四象限，此时,y随x的增大而减小;

⑶当b>0时,直线交y轴于正半轴;

（4）当b<0时,直线交y轴于负半轴。

4.用待定系数法确定函数解析式的一样步骤:

（1）根据已知前提写出含有待定系数的函数关系式;

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数

的方程;

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

5.一正比例函数的定义

一样地，形如y=kx（k是常数，k#0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数

是一次函数的特例，一次函数包罗正比例函数.

6.正比例函数的图像：是经由原点的一条直线。

7.正比例函数的性质

（1）当k>0时，直线y=kx经由三、一象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，直线y=kx经由二、四象限，y随x的增大而减小.

8.正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当

b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

专题典型题考法及解析

【例题0（2021贵州省毕节市）已知一次函数〃为常数，的图象经由一、三、四

象限，则下列结论对的是（）

A.kb>0B.kb<0C.k+b>0D.k+b<0

【答案解析】B.

【试题解答】y=kr+〃的图象经由一、三、四象限，：.k>0,〃<0,...妨<0；故选:8.

【例题2］（2021•江苏无锡）已知一次函数丫=去+匕的图象如图所示，则关于x的不等式3履-8>0的解

【试题解答】直接操纵图象把（-6,0）代入，进而得出k,匕之间的关系，再操纵一元一次不等式解

法得出答案.

•图象过（-6,0）,则0=-6k+b,

则b=6k,

故3H-6=3fcv-6Q0,

\'k<0,

：.x-2<0,

解得:x<2.

【例题3】（2021•上海）在平面直角坐标系xO），中（如图），已知一次函数的图象平行于直线

且经由点A（2,3）,与x轴交于点B.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设点C在y轴上，当AC=BC时，求点C的坐标.

yf

i

o~1~

【答案解析】(1)一次函数的解析式为y=lx+2；

2

(2)点C的坐标是(0,-上).

2

【试题解答】设一次函数的解析式为y=kx+b,解方程即可得到结论；

求得一次函数的图形与x轴的解得为3(-4,0),根据两点间的间隔公式即可得到结论.

(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b,

•.•一次函数的图象平行于直线丫=*乂

.'.k=­,

2

•.•一次函数的图象经由点A(2,3),

.,.3=^X2+4

：.b=2,

,一次函数的解析式为y=lx+2;

2

(2)由)>=泰+2,令y=0,得*x+2=0,

・』=-4,

,一次函数的图形与x轴的解得为8(-4,0),

•点C在y轴上，

二设点C的坐标为(0,y),

'：AC=BC,

•，,V(2-0)2+(3-/)2=V(-4-0)2+(0-7)2,

经检验:y=-1是原方程的根，

二点C的坐标是（0,-工）.

2

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021•江苏扬州）若点P在一次函数y=—X+4的图像上，则点P必然不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案解析】C

【试题解答】坐标系中，一次函数y=—x+4经由第一、二、四象限，所以不经由第三象限.

2.（2021广西河池）函数y=x-2的图象不经由（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案解析】B.

【试题解答】一次函数y=x-2,=函数图象经由第一三象限，

■.-b=-2<0.函数图象与y轴负半轴订交，

函数图象经由第一三四象限，不经由第二象限.故选：B.

3.（2021年陕西省）对于正比例函数y=-2x,当自变量x的值增添1时，函数y的值增添（）.

A.-2B.2C.—D.一

33

【答案解析】A

【试题解答】因为正比例函数y=-2x,所以当自变量x的值增添1时，函数y的值削减2,故，当

自变量x的值增添1时，函数y的值增添一2.

4.（2021年陕西省）已知一次函数？=依+人的图象经由点A（%，x）、B（x2,y2）,且々=1+不时

%=M-2,则无等于（）.

A.1B.2C.-1D.—2

【答案解析】D

【试题解答】因为一次函数丁=丘+力的图象经由点44凹）、3（々，为），所以凹=心+以

丫2=g+b、

因为当々=1+玉时，%=K-2,所以当％=1+%时，京2+b=3+人一2，即

2（1+%）+/?=何+/?-2,解得2=-2.

5.（2021广西桂林）如图，四边形ABC。的极点坐标分别为A（-4,0）,B（-2,-l）,C（3,0）,D（0,3）,

当过点3的直线/将四边形ABC。分成面积相等的两部分时，直线/所示意的函数表达式为（）

A.y=——x+—B.y=—x+-C.y=x+1D.y=—x+—

10533.42

【答案解析】D

【试题解答】由A(T,0),B(-2-1),C(3,0),0(0,3),

AC=7,DO=3,

四边形ABC£）分成面积=白4?乂（|）1|+3）=；*7*4=14,

可求C£＞的直线解析式为y=-x+3,

设过6的直线/为y=kx+b,

将点3代入解析式得y="+2〃-1,

二直线CD与该直线的交点为（色二竺，义二b,

k+\左+1

直线丁="+22-1与x轴的交点为（匕竺，0）,

4

,5

..k——,

4

直线解析式为y=-x+-

•42

6.（2021广西梧州）直线y=3x+l向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）

A.y=3x+3B.y=3x—2C.y=3x+2D.j=3x-1

【答案解析】D

【试题解答】直线y=3x+l向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+l-2=3x-l.

7.（2021湖南邵阳）一次函数乂=4俨+4的图象《如图所示，将直线4向下平移若干个单位后得直线4,

4的函数表达式为y2=g+瓦.下列说法中错误的是（)

C.4>仇D.当x=5时，>y2

【答案解析】B

【试题解答】•.•将直线Z,向下平移若干个单位后得直线1

/.直线/,//直线/,,

..k[=k,,

・・•直线向下平移若干个单位后得直线/2,

；.1\>b2,

・•・当x=5时，

（）

【答案解析】A

【试题解答】根据直线①判断出“、力的符号，然后根据。、6的符号判断出直线②经由的象限即

可，做出判断.

4.由①可知：“>0,b>0.

.•.直线②经由一、二、三象限,故A正确;

B.由①可知:。＜0,b>0.

.•.直线②经由一、二、三象限,故8错误;

C.由①可知：。＜0,b>0.

直线②经由一、二、四象限,交点不对，故C错误;

D由①可知:。＜0,b<0,

.♦.直线②经由二、三、四象限,故。错误.

二、填空题

9.（2021•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y=%ix+bi与），=g+例的图象如图所示，则关于x,），

【试题解答】操纵方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.

:一次函数y=%x+历与丫=&＞+历的图象的交点坐标为（2,1）,

y-kix=b＜（v-9

,关于x,y的方程组11的解是X-'.

k2x-b2Iy—1

10.（2021贵州黔西南州）如图所示，一次函数y=or+6（〃、〃为常数，且。＞0）的图象经由点A（4,

【答案解析】x<4

【试题解答】函数)，=ar+b的图象如图所示，图象经由点4(4.1),且函数值y随x的增大而增大,

故不等式侬+6<1的解集是x<4.

【试题解答】这是一个一次函数模型，设尸fcr也则有1辑,

12k+b=125

解得仁工

，产5x+115,

当x=7时，y=150,

・••猜测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶。

J3

12.(2021山东东营)如图，在平面直角坐标系中，函数产方-x和y=-6x的图象分别为直线八，12,

过/i上的点Al(1,—)作x轴的垂线交，2于点A2,过点A2作y轴的垂线交h于点A3,过点A3

作X轴的垂线交/2于点A*…依次进行下去，则点A202I的横坐标为

【答案解析】一31。。9

【试题解答】从简单的入手，分别求出A2到A9的横坐标，找出循环，依此规律联合2021=504X4+3

即可找出点A2O2I的坐标.

当x=l时，y=一百x=一6，A2(1,-V3)；当丫=-^-*=一百，x=-3,Aj(-3,-6)：

当x=-3时，y=—y/3x=3V3,.,.A4(—3,3百)；当丫=^^*=36时，x=9,A5(9,36)；

同理可得A(s(9,-9也),A7(-27,-973),A8(-27,276),A9(81,27A/3),…,

/.A4n+I(32n,32"X,A4n+2(3汽—32nXy/3),A411+3(—32n+1,—32n+lX,A4n+4(-

32n+l,32n+lXx/3),(n为自然数)2021=504X4+3,...点A2021的横坐标为一32*5«4+|=—3\

13.（2021辽宁本溪）函数y=5x的图象经由的象限是.

【答案解析】一、三.

【试题解答】函数y=5x的图象经由一三象限，

故答案为一、三.

14.（2021江苏徐州）函数y=x+l的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若也

ABC为等腰三角形，则满足前提的点C共有个.

【答案解析】4

【试题解答】本题解答时要分类会商.作AB的垂直平分线，交于坐标原点，△048为等腰三角形；以B

为圆心3A长为半径交x轴于C2,2AB为等腰三角形，以A为圆心，A8长为半径，交x轴于C%

Ca,则3A8,△CM8为等腰三角形，所以满足前提的C点的有4个.

三、解答题

15.(2021•河北)长为300〃?的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图1和图2,当队伍排尾行

进到位置。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v

(机/s),当甲返回排尾后，他及队伍均中断行进.设排尾从位置。最先行进的时间为Ms),排头与

。的间隔为S头(/«).

a尾)头一＞东尾靠东

・・-------------•----------------•—

甲—《甲

图1图2

(1)当丫=2时，解答：

①求S头与f的函数关系式(不写f的取值范畴)；

②当甲赶到排头位置时，求S的值;在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置。的间隔为S甲(“)，

求S甲与r的函数关系式(不写r的取值范畴)

(2)设甲此次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范畴)，并写出

队伍在此过程中行进的路程.

【答案解析】见解析。

【试题解答】(1)①排尾从位置。最先行进的时间为，(s),则排头也脱离原排头f(s),

.♦.S头=2什300

②甲从排尾赶到排头的时间为300+(2v-v)=3004=300+2=150s,

止匕时S%=2什300=600m

甲返回时间为：(/-150)s

：.S甲=S头-S甲回=2x150+300-4(r-150)=-4r+1200；

是以，S头与f的函数关系式为S头=2什300,当甲赶到排头位置时，求S的值为600叽在甲从排头

返回到排尾过程中，S中与/的函数关系式为S甲=-4/+1200.

(2)T=r追及+/返同=衿_+普_=坐9,

2v-v2v4-vv

在甲此次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：

vx(T-150)=VX--150)=400-150v；

V

是以T与v的函数关系式为：T=迪，此时队伍在此过程中行进的路程为(400-150v)m.

V

d尾）头f东尾卖东

••--------------------------------------------------•1•

甲—><-甲

图1图2

16.（2021•河南）学校筹划为“我和我的祖国”演讲竞赛采办奖品.已知采办3个A奖品和2个B奖品共

需120元；采办5个A奖品和4个8奖品共需210元.

（1）求4,B两种奖品的单价；

（2）学校筹办采办A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的2.请设计出最省钱

3

的采办方案，并说明来由.

【答案解析】见解析。

【试题解答】（1）设A的单价为x元，5的单价为y元，

根据题意，得

[3x+2尸120

l5x+4y=210-

.•尸。,

ly=15

的单价30元，8的单价15元；

（2）设采办A奖品z个，则采办8奖品为（30-z）个，采办奖品的破费为W元，

由题意可知，z>—（30-z）,

3

2

W=30z+15（30-z）=450+15z,

当z=8时，W有最小值为570元，

即采办A奖品8个，采办8奖品22个，破费起码。

17.（2021•浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去

学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即

步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x（分），图1

中线段0A和折线B-C-O分别示意甲、乙脱离小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系

的图象;图2示意甲、乙两人之间的间隔s（米）与甲步行时间分）的函数关系的图象（不完整）.

根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲脱离小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的间隔；

（3）在图2中，画出当25W烂30时s关于x的函数的大抵图象.（温馨提示：请画在答题卷相对应的图

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明白题意，操纵一次函数的性质和数形

联合的思想解答.

（1）由图可得，

甲步行的速度为：2400+30=80（米/分），

乙出发时甲脱离小区的路程是10x80=800（米），

答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲脱离小区的路程是800米；

（2）设直线OA的解析式为y=kx,

30&=2800,得力=80,

直线OA的解析式为y=80x,

当x=18时，＞=80x18=1440,

则乙骑自行车的速度为：1440+（18-10）=180（米/分），

•.•乙骑自行车的时间为：25-10=15（分钟），

二乙骑自行车的路程为：180x15=2700（米），

当x=25时，甲走过的路程为:80x25=2000（米），

二乙到达还车点时，甲乙两人之间的间隔为：2700-2000=700（米），

答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的间隔是700米；

（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），

乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）+75=29（分），

当25SE30时s关于x的函数的大抵图象如右图所示.

5（米）

700

G252930x（分）

图2

18.（2021北京市）在平面直角坐标系xOy中，直线1:y=匕+1伏片0）与直线x=A,直线y=-%分别

交于点A,B,直线x=无与直线丫=-%交于点C.

（1）求直线/与丫轴的交点坐标;

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC,C4围成的区域（不含界限）为W.

①当％=2时，联合函数图象，求区域W内的整点个数;

②若区域W内没有整点，直接写出A的取值范畴.

【答案解析】见解析。

【试题解答】（1）当工=0时-，由丫=丘+1（壮0）=1；.•.直线/与y轴的交点坐标为（0,1）.

（2）①如下图，当k=2时，直线/:y=2x+\,把尤=2代入直线/,则y=51.A（2,5）；

3

把y=-2代入直线/,-2=2x+lAx=--C（2,-2）.

2

直线y=-2组成的区域,

0）、（1,-1）（1,0）（1,1）（1,2）；明

显区域W内的整点个数有6个.

②由类似①解析图象知区域W内没有整点时有-1支＜0或4=-2.

19.（2021黑龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发觉小明的数学作业

卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷根据同样的路线去追赶小明.小强出发10分钟时，小明才想起没拿数

学作业卷，即将以原速原路返回，在途中与小强相遇.两人离学校的路程y（米）与小强所用时间“分

钟）之间的函数图象如图所示.

（1）求函数图象中。的值；

（2）求小强的速度；

（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范畴.

【答案解析】见解析。

【试题解答】对于（1）,联合图象，全面、卖力解析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义

是：小明出发5分钟时，离学校300米，此时小强出发.由此可知小明脱离学校后的速度.点A（10,a）

的含义是：小强出发10分钟后，小明离学校a米，此时小明运动的时间为10+5=15分钟，联合以上

两个前提，可以求出a的值；对于（2）,小强出发12分钟后与小明相遇，此时小明运动了15+2=17分

钟，其中末了两分钟是折返后的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的间隔，再根据小强运

动到相遇地点所用的时间，即可计算出小强的速度；对于（3）,先确定点B的坐标，再根据待定系

数法即可求出线段AB的函数解析式.

【解题过程】（1）2=壁X（10+5）=900

（2）小明的速度为300+5=60（米/分）

小强的速度为（900-60x2）+12=65（米/分）

（3）由题意得B（12,780）

设AB所在直线的解析式为y=kx+b（k/））,

，，小、川[lOit+/7=900（k=-60

把A（10,900）,B（12,780）代入得：《.解得《,

112k+8=780"1500

二线段AB的解析式为y=-60x+1500,（10<x<12）

20.（2021•贵州省安顺市）安顺市某商贸公司以每千克40元的价钱购进一种干果，筹划以每千克60元的

价钱销售，为了让主顾得到更大的实惠，现决意降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元

降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价几元?

【答案解析】见解析。

【试题解答】(1)设一次函数解析式为：y=kx+b

当x=2,y=120;当x=4,y=140;

/f2k+b=120

'14k+b=140'

解得：(k=1°,

lb=100

与x之间的函数关系式为y=10x+100；

(2)由