人教版八年级数学上册 12.3.1 角的平分线的性质 课件(共20张PPT)

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人教版八年级数学上册

12.3.1角的平分线的性质

O

D

P

P到OA的距离

P到OB的距离

角平分线上的点

几何语言描述：

∵OC平分∠AOB，

且PD⊥OA，PE⊥OB.

∴PD=PE.

A

C

B

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

1、叙述角平分线的性质定理

不必再证全等

E

回顾旧知

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

学习目标

1.理解并记忆角平分线判定定理.(难点）

2.了解角平分线判定定理的证明方法并会运用角

平分线判定定理解题.（重点）

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

探究一：角的平分线的作法

请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.

法一：对折

法二：用量角器

法三：用平分角的仪器

如果在黑板、墙壁呢？

如果画22.5°的角平分线，测量11.25°时，是不是不够精确呢？

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

P

A

O

B

C

如图，OC是∠AOB的平分线，在射线OC上任取一点P，向∠AOB的两边分别作垂线段，垂足分别为D，E，测量PD和PE，它们有什么关系？

D

E

发现：PD=PE

P1

F

G

P1F=P1G

P2

M

N

P2M=P2N

你发现了什么结论？来说说吧！

探究新知

命题：

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

探究一：角的平分线的作法

如图是一个平分角的仪器，其中OA=OB，BC=AC.将点A放在角的顶点，OA和OB沿着角的两边放下，画一条射线OE，OE就是∠AOB的平分线.你能说明它的道理吗

O

A

B

C

E

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

你能证明这个命题吗？

命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

题设：

结论：

这个点到角两边的距离相等

第一步：

第二步：

根据已知和求证，画出图形，并用符号语言书写已知求证.

一个点在一个角的平分线上

P

A

O

B

C

D

E

已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分别为D,E.

求证：PD=PE.

第三步：

分析找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

作法:

⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.

⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.

⑶作射线OC,

射线OC即为所求.

温馨提示:

作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分线.

探究一：角的平分线的作法

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

∴△POD≌△POE（AAS）

已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E.

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△POD和△POE中

∠AOC=∠BOC

∠PDO=∠PEO

OP=OP

∴PD=PE(全等三角形对应边相等)

探究新知

P

A

O

B

C

D

E

求证：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

求证：PD=PE.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.

（2）“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作.

如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

探究一：角的平分线的作法

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

角平分线性质的辨析

精讲精练（一）

例1：判断下列结论是否正确

（1）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别

为OA，OB上的点，则PD=PE．（）

(2)如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别

为D，E，则PD=PE．（）

(3)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足为D、E,则PD=PE．（）

O

D

E

P

A

C

B

O

D

E

P

A

C

B

O

D

P

A

C

B

E

×

×

√

不必再证全等

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

角平分线的性质：

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

几何语言:

∵OP是∠AOB的平分线

（或点P在角平分线上）

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

(角的平分线上的点到角两边距离相等)

两个条件

缺一不可

介绍新知

P

A

O

B

C

D

E

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

变式训练1：如图，PA⊥OA，OP平分∠AOB，

PA=6cm.则点P到OB的距离为________cm.

O

A

B

P

变式训练2：如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PD=4cm，

点C是OB边上一个动点.则PC的最小值为________

O

A

B

P

C

D

6

4

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

例2：在△OAB中，OE是∠AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。

精讲精练（二）

利用角平分线的性质进行简单证明

分析：先利用角平分线的性质定理得到CE=DE，再利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

1.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB.

A

B

C

E

D

┌

┌

拓展提升

证明：过点E作EF⊥AD于点F，

∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥EC，EB⊥AB.

∵DE平分∠ADC，∴EC=EF.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

证明角平分线的方法

只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可.

∵E是BC的中点，∴EC=EB=EF.

又∵EF⊥AD，EB⊥AB，

∴点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB.

F

┌

A

B

C

E

D

┌

┌

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

2.判断正误并说明理由.

（1）如图，若P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.

（2）如图，若P是∠AOB的平分线OC上的一点，点E、F分别在

（3）如图，若OP是∠AOB的平分线，若P到OA的距离PE为3cm，

则P到OB的距离PF也为3cm.

√

×

×

小试牛刀

OA、OB上，则PE=PF.

A

O

B

P

E

F

C

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

3.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，

求证：点P在∠MON的平分线上.

C

D

A

B

P

O

M

N

┌

┌

证明：①若∠PAO≠90°，如图，过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP=∠BDP=90°.

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚

证明：∵OE是∠AOB的角平分线，CE⊥OA,DE⊥OB，

∴DE=CE,∠DEB=∠DFC=90°.

在Rt△BDE和Rt△ACE中，

DE=C