第三章 晶体的宏观对称

第三章晶体的宏观对称第1页，课件共47页，创作于2023年2月第三章晶体的宏观对称第2页，课件共47页，创作于2023年2月一对称的概念

对称就是物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复.例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、雪花第3页，课件共47页，创作于2023年2月各种各样的对称各种各样的对称第4页，课件共47页，创作于2023年2月1)相同部分2)有规律的重复强调第5页，课件共47页，创作于2023年2月

晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。

二晶体对称的特点

晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和晶体分类具有重要意义。第6页，课件共47页，创作于2023年2月完全性：所有晶体都具有对称性。如L1（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；

有限性：晶体的对称要素是有限的。要受到晶体对称规律的控制，即不出现5次或高于6次的对称轴；一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。第7页，课件共47页，创作于2023年2月三晶体的宏观对称操作和对称要素

对称操作:对称操作（变换）就指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。

如：旋转、反映、反伸、旋转反伸等。

第8页，课件共47页，创作于2023年2月对称要素:

对称要素就是指在进行对称操作时所凭借的几何要素。

所凭借的点、线和面被分别称为对称中心（C）、对称轴（L）和对称面（P）。第9页，课件共47页，创作于2023年2月

1.对称面（P）

对称面为一假想的面，相对应的对称操作是对此平面反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。

第10页，课件共47页，创作于2023年2月对称面的分布垂直并平分晶面垂直并平分晶棱包含晶棱并穿过角顶第11页，课件共47页，创作于2023年2月a.晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b.必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c.对称面的数目写在前面：如，9P。注意第12页，课件共47页，创作于2023年2月

2.对称轴（Ln）

对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转，旋转一定角度后可使相同(等）部分有规律地重复。

第13页，课件共47页，创作于2023年2月

L1无实际意义，高于2次的对称轴称为高次轴（L3、L4、L6）第14页，课件共47页，创作于2023年2月

轴次（n）:旋转一周重复的次数；

基转角（α）:重复时所旋转的最小角度。n=360°/α第15页，课件共47页，创作于2023年2月对称轴的分布通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2;通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L4;通过角顶的直线——L3第16页，课件共47页，创作于2023年2月

晶体的对称定律：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴。

晶体对称的有限性所决定第17页，课件共47页，创作于2023年2月

原理：L5、L7和L8等不符合空间格子的规律，在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应该符合于该面网上结点所围成的网孔。

围绕L2、L3、L4、L6所形成的多边形，都能毫无间隙地布满平面，都可能符合空间格子的网孔。而垂直于L5、L7和L8等所形成的正五边形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不可能存在5次或高于6次的对称轴。第18页，课件共47页，创作于2023年2月

3.对称中心（C）

对称中心为一假想的点，相对应的对称操作是对于此点反向延伸，通过此点，等距离两端必能找到相对应的点

。

第19页，课件共47页，创作于2023年2月

在晶体中可没有对称中心，若有则只能有1个，出现在晶体的中心。

若晶体具有对称中心，其相应的晶面、晶棱、角顶都体现反向平行。其晶面必然都是两两平行而且相等的，这一点可以用来作为判别晶体有无对称中心的依据。规律第20页，课件共47页，创作于2023年2月

4.

旋转反伸轴(倒转轴、反轴、反演轴)（Lin）

旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上的一个定点，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直线上的一个定点（相当于对称中心）反伸的复合操作，图形围绕此直线旋转一定角度后，再对直线上的一个定点进行反伸，可使相等部分重复。

第21页，课件共47页，创作于2023年2月Li4的四方四面体及赤平投影※其辅助的对称操作有2个※旋转+反伸第22页，课件共47页，创作于2023年2月Li1=C各种旋转反伸轴的图解Li6=L3+P⊥Li4Li3=L3+CLi2=P第23页，课件共47页，创作于2023年2月

5.旋转反映轴(映转轴)（Lsn）

旋转反映轴为一假想的直线和垂直此直线的一个平面

，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转后对对垂直此直线上的一个平面的反映的复合操作，操作后可使图形相等的部分重复。

第24页，课件共47页，创作于2023年2月各种旋转反映轴的图解第25页，课件共47页，创作于2023年2月四对称要素的组合

在结晶多面体中，当几种对称要素同时存在时，任意两种对称要素的组合必定要导出第三种对称要素。其作用等于前两种对称要素作用之和。但对称要素的组合不是任意的,必须符合对称要素的组合规律。第26页，课件共47页，创作于2023年2月定理1（L2和Ln的组合,轴式组合）

如果一个L2垂直于Ln时，则①必有n个L2同时垂直此Ln;②相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。

Ln×L2（⊥）→LnnL2

例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2

逆定理：如果两个L2相交,在交点上并垂直两个L2必产生一个Ln，其基转角是两个L2夹角的2倍,并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。

第27页，课件共47页，创作于2023年2月

定理2(P、Ln和C的组合,中心式组合)

如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln（n为偶数），则在其交点存在对称中心C。

Ln

×C=Ln

×P（⊥）→LnPC（n为偶数）

例：L2PC、L4PC、L6PC

逆定理：如果有一个偶次对称轴L2n与对称中心共存，则通过C且垂直该对称轴必有一对称面P。或如果有一个对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直P必有一个L2（这个L2可能包含在其他偶次轴中而不独立出现）。第28页，课件共47页，创作于2023年2月定理3（P和Ln的组合,面式组合）

如果有一个对称面（P）包含一个对称轴Ln，则①必有n个P同时包含此Ln；②相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。

Ln

×P(‖)→LnnP例：L22P、L33P、L44P、L66P

逆定理：如果有两个对称面相交，则P的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻两个P的夹角的2倍，并导出其他n个包含Ln的P。第29页，课件共47页，创作于2023年2月定理4（P和Lin的组合,倒转面式组合）

如果有1个L2垂直于n次旋转反伸轴Lin，或有一个P包含n次旋转反伸轴Lin时，则当n为奇数时，必有n个共点的L2垂直此Lin和n个P同时包含此Lin；当n为偶数时，必有n/2个共点的L2垂直此Lin和n/2个P同时包含此Lin。

Lin

×P(‖)=Lin

×L2（⊥）→

LinnL2nPLinn/2L2n/2P当n为偶数时，例：Li42L22P；Li63L23P

当n为奇数时，例：Li33L23P＝L33L23PC第30页，课件共47页，创作于2023年2月

定理4逆定理：如果有一个L2与一个P斜交，则P的法线与L2的交角为δ，则平行于P且垂直于L2的直线必为一Lin，n＝360°/2δ。

定理5(欧拉定理,对称轴之间的组合)两个对称轴的适当组合将产生第三个对称轴第31页，课件共47页，创作于2023年2月五32个对称型(点群)及其推导1.对称型的概念晶体形态中，全部对称要素的组合称为该晶体的对称型。由于全部对称要素都通过一点(几何点)，进行对称操作时该点不移动，因此对称型也称为点群。

第32页，课件共47页，创作于2023年2月2.32种对称型

由于晶体对称要素的有限性，对称要素组合的有规律性，因此，晶体中的对称型也是有限的。这种有限性表现在实际晶体中只有32种对称型（赫赛尔Hessel，1830）。第33页，课件共47页，创作于2023年2月3.32种对称型的推导32种对称型可以分成A类（27种）和B类（5种）。A、B类对称型都可以用投影的方式表达（推导）出来。32种对称型要求重点掌握的对称型有11种。第34页，课件共47页，创作于2023年2月第35页，课件共47页，创作于2023年2月

A类对称型的推导原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒转原始式:Li4、Li6中心式(×C):C、L3C、L4PC、L6PC轴式(×L2（⊥）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2面式(×P(‖)):P、L22P、L33P

、L44P、L66P倒转面式(×P(‖)C):Li42L22P、Li63L23P

面轴式(×P(‖)×L2（⊥）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC第36页，课件共47页，创作于2023年2月B类对称型——推导从略共有5种：

原始式3L24L3中心式3L24L33PC轴式

3L24L36L2面式3Li44L36P面轴式3L44L36L29PC第37页，课件共47页，创作于2023年2月3.对称型的符号

A习惯符号习惯符号（全面符号）以对称要素总和的形式来代表对称型。

如：3L23PC

这种表示方法可以使全部对称要素一目了然，但它不能反映出各对称要素间的组合关系。第38页，课件共47页，创作于2023年2月B国际符号在现代文献中一般都采用的比较简明的对称型符号。由Hermann和Mauguin创立的，亦称HM符号。

国际符号既能表明了对称要素的组合，也能表明了对称要素的方位，这就要求读者要有明确的晶体定向的空间概念。第39页，课件共47页，创作于2023年2月

国际符号中以1，2，3，4，6（n）和1，2，3，4，6（n）分别表示各种轴次的对称轴和旋转反伸轴；以m表示对称面。

若对称面与对称轴垂直,则两者之间以斜线或横线隔开,如：L2PC以2/m表示;L4PC以4/m表示。在国际符号中有1-3个序位,每一序位代表一定的方向,并且在不同晶系中,同一序位所代表的方向不同。第40页，课件共47页，创作于2023年2月各晶系对称型的国际符号中各位序所代表的方向晶系国际符号中的位序代表的方向等轴晶系123x或y或z轴方向(a)三次轴方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z轴之间(a+b)三方及六方晶系123六次或三次轴，即z轴方向(c)与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向上(a)与六次或三次轴垂直,与位2的方向成30°角(2a+b)四方晶系123四次轴,即z轴方向(c)与四次轴垂直,在x或y轴方向(a)与四次轴垂直,与位2成45°角(a+b）斜方晶系123x轴方向(a)y轴方向(b)c轴方向(c)单斜晶系1y轴方向(b)三斜晶系1任意方向第41页，课件共47页，创作于2023年2月C圣弗利斯符号

Schoenflies早期根据对称要素组合的规律创立的符号。

Cn表示L