第三章数字成图的数学基础

第三章数字成图的数学基础测绘工程教研室第1页，课件共75页，创作于2023年2月§3.1常用坐标系及其转换一、测量坐标系概述1、不同基准的坐标系统2、同一基准中的几种常用坐标系二、测量坐标的转换1、不同基准间的坐标转换2、同一基准内坐标的相互转换三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图仪坐标系的转换第2页，课件共75页，创作于2023年2月

地面和空间点位的确定总是要参照于某一给定的坐标系统。坐标系统是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。坐标参考系统分为天球坐标系和地球（地固）坐标系。测量坐标系

根据坐标系原点位置的不同，地固坐标系分为地心坐标系（原点与地球质心重合）和参心坐标系（原点与参考椭球中心重合），前者以总地球椭球为基准，后者以参考椭球为基准。无论是地心坐标系还是参心坐标系均可分为空间直角坐标系和大地坐标系，它们都与地球固连在一起，与地球同步运动。建立某一基准的地固坐标系统必须解决以下问题：①确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α）；②确定椭球中心的位置（椭球定位）；③确定椭球短轴的指向（椭球定向）；④建立大地原点。第3页，课件共75页，创作于2023年2月1、不同基准的坐标系统（1）1954年北京坐标系（2）1980年国家大地坐标系（3）中国地心坐标系统CGCS2000（4）WGS-84坐标系

第4页，课件共75页，创作于2023年2月1954年北京坐标系是我国目前广泛采用的大地测量坐标系。该坐标系源自于原苏联采用过的1942年普尔科沃坐标系。该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球。这是一个只有几何量表示的椭球，其椭球的参数为

a

=6378245mα=1：298.3该椭球并未依据当时我国的天文观测资料进行重新定位，而是直接由前苏联西伯利亚地区的一等锁，经我国的东北地区传算过来的。1、不同基准的坐标系统（1）1954年北京坐标系

1954年北京坐标系存在以下几个方面的缺点：第5页，课件共75页，创作于2023年2月1954年北京坐标系存在以下几个方面的缺点：①克拉索夫斯基椭球参数同现代精确的椭球参数的差异较大，并且不包含表示地球物理特性的参数，因而给理论和实际工作带来了许多不便。②椭球定向不十分明确，椭球的短半轴既不指向国际通用的CIO极，也不指向目前我国使用的JYD极。参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的系统性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达67米。③该坐标系统的大地点坐标是经过局部分区平差得到的。区与区之间存在较大的隙距。如接合部中的有些点，在不同区的坐标值相差1-2米。1、不同基准的坐标系统（1）1954年北京坐标系第6页，课件共75页，创作于2023年2月1980年国家大地坐标系采用国际大地测量协会1975年推荐的参考椭球IAG-75国际椭球，其四个几何和物理参数值为：椭球长半径a=6378140m

引力常数与地球质量的乘积GM=3.986005×1014m3／s2

地球重力场二阶带球谐系数J2=108263×10-8

地球自转角速度ω=7.292115×10-5rad／s椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0JYD地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。按照椭球面与似大地水准面在我国境内符合最好的约束条件进行定位，并将大地原点确定在我国中部——陕西省泾阳县永乐镇。高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。（2）1980年国家大地坐标系1、不同基准的坐标系统第7页，课件共75页，创作于2023年2月（3）中国地心坐标系统CGCS2000利用1999-2005年共7年的24个GPS连续运行基准站观测数据，并联合47个国际IGS核心站，得到这些点于2000.0历元在ITRF2000框架中的坐标及速度，以及其相对于NNR-NUVEL1A板块模型的速度，以此建立起中国地心坐标系的基准点。CGCS2000坐标系采用的地球椭球参数如下：

地球椭球长半径a=6378137m

引力常数与地球质量的乘积GM=3.986004418×1014m3／s2

地球自转角速度ω=7.292115×10-5rad／s2008年7月1日起实施的中国地心坐标系统CGCS2000是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。1、不同基准的坐标系统第8页，课件共75页，创作于2023年2月（4）WGS-84坐标系

WGS-84坐标系(WorldGeodicalSystem-84，世界大地坐标系-84），它属于地心地固坐标系统。坐标系的原点是地球的质心，椭球面与大地水准面在全球范围内最佳符合，Z轴指向BIHl984.0定义的协议地球极(CTP)方向，X轴指向BIHl984.0的零度子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系。WGS-84椭球的参数为：地球椭球长半径a=6378137m引力常数与地球质量的乘积GM=3.986005×1014m3／s2地球重力场二阶带球谐系数J2=1082.62998905×10-6地球自转角速度ω=7.292115×10-5rad／sGPS的星历坐标及由GPS观测值直接计算的坐标，都是WGS-84坐标系的坐标。1、不同基准的坐标系统第9页，课件共75页，创作于2023年2月2、同一基准中的几种常用坐标系（1）空间直角坐标系（2）大地坐标系

（3）高斯平面直角坐标系

（4）平面直角坐标系

第10页，课件共75页，创作于2023年2月空间直角坐标系中空间任意点的坐标用（X，Y，Z）表示，坐标原点位在地球椭球质心或参考椭球中心，Z轴（短轴）与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点，X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点Ge，而Y轴与XOZ平面垂直，且指向东为正。2、同一基准中的几种常用坐标系（1）空间直角坐标系第11页，课件共75页，创作于2023年2月（2）大地坐标系

大地坐标系（亦称地理坐标系）是采用大地经度L、大地纬度B和大地高H来描述地面上一点的空间位置的。地面上一点的大地经度Ｌ为大地起始子午面与该点所在的子午面所构成的二面角；大地纬度Ｂ是过该点作椭球面的法线与赤道面的夹角；大地高H是地面点沿椭球的法线到椭球面的距离。2、同一基准中的几种常用坐标系第12页，课件共75页，创作于2023年2月（3）高斯平面直角坐标系

高斯投影横切椭圆柱等角分带投影。2、同一基准中的几种常用坐标系第13页，课件共75页，创作于2023年2月（4）平面直角坐标系

当测图的范围较小时，可把该部分的球面视为水平面。将地面点直接沿铅垂线方向投影到水平面上。以互相垂直的纵横轴建立平面直角坐标系：纵轴为x轴，与南北方向一致，以向北为正，向南为负；横轴为y轴，与东西方向一致，以向东为正，向西为负。这样任一点平面位置可用其纵横坐标x，y表示。如果坐标原点O是任意假定的，则为独立的平面平面直角坐标系。2、同一基准中的几种常用坐标系第14页，课件共75页，创作于2023年2月

不同基准间的坐标转换本质上是不同坐标系统的转换。不同基准间的坐标转换可以在不同空间直角坐标系之间转换也可以在不同大地坐标系之间转换。在两空间直角坐标系之间转换比较简便，应用广泛。不同空间直角坐标系的转换应包括不同参心空间直角坐标系间的转换，同时也包括参心空间直角坐标系与地心空间直角坐标系间的转换。二、测量坐标的转换1、不同基准间的坐标转换

在进行两个空间直角坐标系间的转换时，要对坐标原点实施三个平移变换，对三个坐标轴实施三个旋转变换（这三个旋转角称为欧勒角），除此之外，还有两个坐标系尺度之间不一样的一个尺度变换参数。以上三个坐标原点平移参数、三个坐标轴旋转参数、一个尺度变换参数统称为七参数。进行空间直角坐标系转换主要有布尔莎（Burse-Wolf）模型莫洛金斯基模型范士公式（武测模型）第15页，课件共75页，创作于2023年2月

布尔莎模型

C点在A空间直角坐标系的坐标为（XA，YA，ZA）；在B空间直角坐标系的坐标为（XB，YB，ZB）。两坐标系间的七个转换参数：3个平移参数（⊿X0，⊿Y0，⊿Z0）：为A空间直角坐标系原点平移到B空间直角坐标系原点的坐标差；3个旋转参数为A空间直角坐标系的三轴指向分别旋转到B空间直角坐标系的三轴指向的旋转角；1个尺度参数m为B基准与A基准两个长度的比。布尔莎模型二布尔莎模型一第16页，课件共75页，创作于2023年2月由A空间直角坐标系到B空间直角坐标系的转换关系为：

布尔莎模型

三个旋转角通常为小角度，称为欧勒角

令：

第17页，课件共75页，创作于2023年2月式中：在作业中，一般把既有A坐标系的坐标，又有B坐标系的坐标的点叫做公共点。转换参数就是根据两坐标系的公共点按最小二乘法原理来确的。

布尔莎模型

布尔莎—沃尔夫模型的另一种形式为：

第18页，课件共75页，创作于2023年2月2、同一基准内坐标的相互转换二、测量坐标的转换（1）空间直角坐标系与大地坐标系间的转换大地坐标系向空间直角坐标系的转换方法

空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换方法

（2）大地坐标系与高斯平面直角坐标系间的转换

高斯投影坐标正算

高斯投影坐标反算第19页，课件共75页，创作于2023年2月大地坐标系向空间直角坐标系的转换方法为：式中：

其中：N为卯酉圈的曲率半径；a为地球椭球长半轴；b为地球椭球的短半轴；e为第一偏心率。2、同一基准内坐标的相互转换二、测量坐标的转换（1）空间直角坐标系与大地坐标系间的转换第20页，课件共75页，创作于2023年2月在采用上式进行转换时，大地纬度B需要用迭代的方法求解。当两次迭代结果之差⊿Ｂ≦ε时，就得到了B。然后就可确定H。空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换方法为：

2、同一基准内坐标的相互转换二、测量坐标的转换（1）空间直角坐标系与大地坐标系间的转换第21页，课件共75页，创作于2023年2月t=tanB；

l=L-Lo，L0为中央子午线经度（2）大地坐标系与高斯平面直角坐标系间的转换

2、同一基准内坐标的相互转换二、测量坐标的转换高斯投影坐标正算式中，第22页，课件共75页，创作于2023年2月（2）大地坐标系与高斯平面直角坐标系间的转换

2、同一基准内坐标的相互转换二、测量坐标的转换高斯投影坐标反算第23页，课件共75页，创作于2023年2月

1、测量坐标与屏幕坐标之间的变换

2、图形缩放时的坐标变换（1）定倍数缩放显示（2）开窗放大显示

3、测量坐标系到绘图仪坐标系的换算三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图仪坐标系的转换第24页，课件共75页，创作于2023年2月测量坐标系通常是高斯平面直角坐标系，北为X正向，东为Y的正向。计算机屏幕坐标系是以屏幕左上角为原点，以从左至右的水平方向为x轴，以从上至下的垂直方向为y轴的直角坐标系，屏幕坐标系的坐标单位为像素，其取值一般只能是0和正整数，具体取值范围与屏幕分辨率有关，如对分辨率为1024×768的显示器而言，x的取值范围为0～1023，y的取值范围为0～767。测量坐标系与屏幕坐标系之间的变换第25页，课件共75页，创作于2023年2月XYOyxo基本图形显示----坐标系、窗口定义第26页，课件共75页，创作于2023年2月

1、测量坐标与屏幕坐标之间的变换XYOyxoSx·P(X0，Y0)Sysysx1.2.第27页，课件共75页，创作于2023年2月

2、图形缩放时的坐标变换-----（1）定倍数缩放显示XYOyxo·M

·P·M

·P设所选点在原窗口中的坐标为（)，其相应的测量坐标为()缩放倍数为k，则原窗口中任一点P的坐标（x,y）与缩放后窗口中的坐标（x′,y′）之间存在如下关系缩放窗口中的坐标（x′,y′）与相应高斯坐标（X,Y）之间存在如下关系第28页，课件共75页，创作于2023年2月XYOyxo·M

·P·M

·P

2、图形缩放时的坐标变换-----（2）开窗放大显示

设所选点在原窗口中的坐标为（），其相应测量坐标为（），所选矩形区域在x方向和y方向上的长度分别为和则原窗口中任一点坐标（x，y）与放大后窗口中的坐标(，)之间的关系为放大后窗口中的坐标（，）与相应高斯坐标之间的关系为第29页，课件共75页，创作于2023年2月

3、测量坐标系到绘图仪坐标系的换算如图所示，XOY为测量坐标系，xoy为绘图仪坐标系，是4个图廓点的测量坐标，则图幅中心的测量坐标为则图副中任一点P的测量坐标与相应的绘图仪坐标存在如下关系第30页，课件共75页，创作于2023年2月一、直线段的裁剪二、多边形的裁剪三、圆和曲线的裁剪§3.2图形裁剪第31页，课件共75页，创作于2023年2月

图形裁剪-------一、直线段的裁剪直线段裁剪算法的基本思想是，根据线段两端点的位置判断该直线段是否与裁剪区域边界相交，如果相交，则计算出交点位置，并用裁剪区域内的线段部分取代原线段。

10011000

101000010000001001010100

0110yx0四位编码线段裁剪方法是依裁剪区域边界把平面划分为9个区域，如图所示，矩形裁剪区域位于中心，每个区域用4位二进制编码表示。此编码的每一位表示相对于矩形裁剪区域边界的位置。设矩形区域的左下角坐标为（xmin,ymim

），左上角坐标为（xmax,ymax）,P(x,y)为平面上一点，则每一位编码的定义如下：

若y>，则C1=1,表示P点位于上边界上方 ，则C2=1,表示P点位于下边界下方 ，则C3=1,表示P点位于右边界右方 ，则C4=1,表示P点位于左边界左方若y<若x>若x<分别表示从左至右的第1位、第2位、第3位和第4位编码。若某位为0，则表示P点的位置与取值为1的位置相反。显然，当P点的四位编码为0000时，P点位于矩形裁剪区域内；当P点的四位编码不为0000时，P点位于区域外。

第32页，课件共75页，创作于2023年2月

图形裁剪-------一、直线段的裁剪如图所示，线段相对于矩形裁剪区域的位置，存在四种可能的情况：1.线段两端点的四位编码均为0000，则该线段位于矩形裁剪窗口内。此时只需保留该线段的两端点即可。

2.线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果不为0。此时该线段位于矩形裁剪区域之外，则将该线段舍弃即可。3.线段一个端点的四位编码为0000，另一端点的四位编码不为0000。此时该线段一个端点位于矩形裁剪区域之内，另一端点位于矩形裁剪区域之外，则需要计算线段与矩形裁剪区域边界的交点，并用求得的交点代替矩形裁剪区域外的线段端点。4.线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果为0，此时该线段两端点均在矩形裁剪区域之外，则需要判断并计算线段与矩形裁剪区域边界的交点。若线段与矩形裁剪区域边界无交点，则表示整个线段在矩形裁剪区域之外，只须将该线段舍弃即可；若线段与矩形裁剪区域边界有交点（必为两个交点），则表示部分线段在矩形裁剪区域内，用两个交点分别代替原线段的两端点即可。第33页，课件共75页，创作于2023年2月设线段的两端点的坐标分别为（x1,y1）和（x2,y2），则线段与裁剪区域边界的交点为： 上边界交点下边界交点

右边界交点

左边界交点

线段与剪切区域存在交点的判别准则为

图形裁剪-------一、直线段的裁剪第34页，课件共75页，创作于2023年2月多边形的裁剪比直线要复杂得多。因为经过裁剪后，多边形的轮廓线仍要闭合，而裁剪后的边数可能增加，也可能减少，或者被裁剪成几个多边形，这样必须适当地插入窗口边界才能保持多边形的封闭性。这就使得多边形的裁剪不能简单地用裁剪直线的方法来实现。把整个多边形先相对与窗口的第一边界裁剪，然后再把形成的新多边形相对与窗口的第二条边界裁剪，如此进行到窗口的最后一条边界，从而把多边形相对与窗口的全部边界进行了裁剪。

图形裁剪-------二、多边形的裁剪

多边形的裁剪步骤第35页，课件共75页，创作于2023年2月图形裁剪-------二、多边形的裁剪步骤1.取多边形顶点Pi(i=1,2,……,n)，对其相对于窗口的第一条边界进行判别，若点Pi位于边界的靠窗口一侧，则把Pi记录到要输出的多边形顶点中，否则不作记录。

2.检查Pi点与点Pi-1点（i=1时，检查Pi与Pn点）是否位于窗口边界的同一侧。若是，

Pi点记录与否，随Pi-1点是否记录而定；否则计算出PiPi-1与窗口边界的交点，并将它记录到要输出的多边形的顶点中去。3.如此判别所有的顶点，P1、P2

…Pn后，得到新的多边形，然后用新的多边形重复上述步骤（1）、（2），依次对窗口的第二、第三和第四条边界进行判别，判别完后得到的多边形即为裁剪的最后结果。第36页，课件共75页，创作于2023年2月把整个多边形先相对与窗口的第一边界裁剪，然后再把形成的新多边形相对与窗口的第二条边界裁剪，如此进行到窗口的最后一条边界，从而把多边形相对与窗口的全部边界进行了裁剪。该算法的步骤为：

1.取多边形顶点Pi(i=1,2,……,n)，对其相对于窗口的第一条边界进行判别，若点Pi位于边界的靠窗口一侧，则把Pi记录到要输出的多边形顶点中，否则不作记录。

2.检查Pi点与点Pi-1点（i=1时，检查Pi与Pn点）是否位于窗口边界的同一侧。若是，Pi点记录与否，随Pi-1点是否记录而定；否则计算出PiPi-1与窗口边界的交点，并将它记录到要输出的多边形的顶点中去。3.如此判别所有的顶点，P1、P2

…Pn后，得到新的多边形，然后用新的多边形重复上述步骤（1）、（2），依次对窗口的第二、第三和第四条边界进行判别，判别完后得到的多边形即为裁剪的最后结果。如图所示，多边形P1

P2P3P4P5

P6经裁剪后得到两个新的多边形Q1

Q2

Q3和Q4Q5

Q6

图形裁剪-------二、多边形的裁剪第37页，课件共75页，创作于2023年2月

图形裁剪-------三、圆和曲线的裁剪圆和曲线都可以用一组短的直线段来逼近，因此可采用对每一短直线段的裁剪，来实现对圆和曲线的裁剪。第38页，课件共75页，创作于2023年2月§3.3规则图形的正形化处理一、直角化处理方法1.采用比较法进行直角化处理2.采用最小二乘法进行直角化处理二、圆形的正形化处理在大比例尺数字成图时，对于矩形构筑物，通常测定其中3个点或者测定4个点来确定其位置，受测量误差的影响，由3个点绘制的平行四边形以及由4个点围成的四边形构筑物往往不是矩形，这就需要对其进行直角化处理。在测量圆形构筑物时，测量圆周上三个点可以唯一确定一个圆，当测量点多于3个时就需要对其进行正形化处理。三、绘制圆滑平行线第39页，课件共75页，创作于2023年2月在外业数据采集过程中，因棱镜所放位置、仪器误差以及个别人为因素等，势必引起碎部点的点位误差，从而使得许多规则图形，如矩形房屋、平行铁路、圆曲线等，测绘成图后的形状有一定的变形，为了解决这些问题，在计算机制图时，常以规则地物应满足的几何条件为基础，运用最小二乘原理对规则地物的测量数据进行平差处理，用处理后的数据作为规则地物计算机制图数据进行制图，以确保规则地物制图结果的美观和制图精度。我们把这一过程称为规则图形的几何纠正，或规则图形的正形化处理。由于规则地物属性参数必须满足一定几何条件，因而以规则图形的几何条件为基础方程，进行条件平差处理，便可实现规则地物的几何纠正。

规则图形的正形化处理第40页，课件共75页，创作于2023年2月一、直角化处理方法1.采用比较法进行直角化处理如图所示,现对四边形ABCD进行直角化处理，先从其中一条边开始进行调整，具体方法与直角化调整步骤如下：第41页，课件共75页，创作于2023年2月（1）过C、D两点且垂直于AB直线垂足交点m、n的坐标分别为，计算如下：式中，

同样可以计算出n的坐标，则Am中点A´和Bn中点B´的坐标为：一、直角化处理方法1.采用比较法进行直角化处理第42页，课件共75页，创作于2023年2月（2）在B´b（B´b⊥AB、A´a⊥AB）方向线上，过C、D两点与B´b直线的垂足交点为p、q，可依据式（3-28）按相同原理求得两点的坐标

，则C´点坐标为：

一、直角化处理方法1.采用比较法进行直角化处理第43页，课件共75页，创作于2023年2月（3）过C´点且垂直于B´b的直线C´c

与A´a直线交点即可确定D´点的位置。经过上述调整后得到以AB为起始边进行调整后的矩形为A´B´C´D´，并计算坐标改正数的平方和。按照上述方法，依次分别以BC、CD、DA为起始边进行直角化调整，从而得到4组经过直角化处理后的矩形各点坐标，分别计算其坐标改正数的平方和，取其中对应坐标改正数平方和最小的那组坐标作为直角化处理的最优结果。一、直角化处理方法1.采用比较法进行直角化处理第44页，课件共75页，创作于2023年2月2.采用最小二乘法进行直角化处理如图所示，测量的i、j、k三点构成一个已知角β，则这三点构成的角间的几何关系可由下式表示：、式中：分别为边jk和边ji坐标方位角的平差值，即：一、直角化处理方法第45页，课件共75页，创作于2023年2月设，…，，并令

是由点位观测值反算的近似边长，将（3-35）式进行线性式中和化处理，经整理后得：式中：分别为边jk和边ji坐标方位角的平差值，即：2.采用最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理方法第46页，课件共75页，创作于2023年2月是由点位观测坐标计算的方位角近似值。将式（3-36）式中

则可得到条件方程如下：

代入（3-34）式，并令

当

时，表示jk和ji边构成直角条件；当

直线，即构成直线条件。在实际应用时，根据式（3-37）可以列出相应条件方程，按照最小二乘原理求解，即可得到经直角化处理后的坐标为：表示jk和ji为一条2.采用最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理方法第47页，课件共75页，创作于2023年2月例如，在如图3-12（b）所示为一矩形房屋建筑，观测了A、B、C三个点，则可按照（3-37）列立条件方程，然后可按最小二乘原理进行处理，得到这三个点的平差坐标值后，再按照矩形图形构成方法推算第4个点D的坐标。当观测了矩形构筑物4个角点坐标时，这时可根据（3-37）式列立三个直角条件方程（或列立一个直角条件加两个对边相等条件形式等），然后按最小二乘原理进行平差处理，得到经直角化处理后的各点坐标，即可消除因测量误差而造成的规则地物各参数间的矛盾，从而达到规则图形几何纠正之目的。2.采用最小二乘法进行直角化处理一、直角化处理方法第48页，课件共75页，创作于2023年2月二、圆形的正形化处理在测量圆形构筑物时，测量圆周上三个点可以唯一确定一个圆，当测量点多于3个时，圆曲线上的测量点应满足圆曲线方程：式中

是圆心坐标，

是圆的半径，均为未知参数。

由于测点存在误差，

所以设

然后线性化处理得：

近似值，将其代入（3-42）并令

其中

是直接观测量，

是对上述附有参数的条件平差方程按最小二乘原理进行平差处理，就可以解算出满足条件的观测点的坐标平差值，然后按照平差后的坐标值进行图形绘制，就可实现圆曲线的几何纠正。第49页，课件共75页，创作于2023年2月§3.2绘制圆滑平行线基于中心线段平行线的求交图1平行线求交图2求交失真(a)(b)基于中心线段平行线求交方法的基本思想是，先列出中心线各线段平行线的直线方程，然后对相邻线段直线方程求交，交点系列的连线即为所求的平行线。如图1所示是本方法常见的两种情况。从图中可以看出，这种方法对于较平缓的中心线来讲是适用的，但当中心线出现尖角时，会出现如图2所示的失真情况。

圆滑平行线的绘制第50页，课件共75页，创作于2023年2月圆滑平行线的绘制如图所示，设中心线上相邻的3个点为i-1,i,i+1,平行线距中心线的距离为d。为叙述方便，假定求左侧平行线。从图中可看出，平行线的绘制随中心点i处左侧转折角βi的大小而异。

圆滑平行线的绘制---βi≤180°

圆滑平行线的绘制---βi≥180°第51页，课件共75页，创作于2023年2月当βi≤180°时，如图所示，i对应的平行线转折点为i′，其计算公式为圆滑平行线的绘制---βi≤180°第52页，课件共75页，创作于2023年2月当βi≤180°时，如图所示，i点出的平行点不是一个点，而是一段圆弧i′i″。i′，i″点的坐标计算公式为圆弧i′i″上任一点k的坐标为圆滑平行线的绘制---βi≥180°第53页，课件共75页，创作于2023年2月§3.5曲线的光滑

线形迭代法分段三次多项式插值法

张力样条函数插值法曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线看成是由一系列的点列连接而成的，只要能根据已知点内插出这些点列的位置，并确保在这些点处具有连续的一阶导数或连续的二阶导数，就可保证得到的曲线是光滑的。曲线的光滑处理方法有两种类型：一种是光滑后的曲线不一定通过已知点，成为曲线拟合；另一种是光滑后的曲线一定通过已知点，称为曲线内插。

正轴抛物线加权平均法第54页，课件共75页，创作于2023年2月地图所描述的地球表面的形态是复杂多变的，如道路、水系、境界和等高线都是曲线，而计算机制图时，在数据采集阶段所采集的是实际曲线上一定数量的特征点，由图形软件根据这些特征点生成相应的曲线，在这个生成过程中，必须有一个对曲线平滑处理的过程，这就是所谓的曲线光滑。曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线看成是由一系列的点列连接而成的，只要能根据已知点内插出这些点列的位置，并确保在这些点处具有连续的一阶导数或连续的二阶导数，就可保证得到的曲线是光滑的。曲线的光滑处理方法有两种类型：一种是光滑后的曲线不一定通过已知点，成为曲线拟合；另一种是光滑后的曲线一定通过已知点，称为曲线内插。曲线的光滑计算机地图制图中大都要求光滑后的曲线通过已知点。光滑曲线的算法很多，如线性迭代法、正轴抛物线加权平均法、B样条法，分段三次多项式插值法、张力样条函数插值法及样条抛物线法等，所用的拟合或插值算法不同也将会有不同的光滑结果，地图制图中曲线的形态有多种，要求平滑处理程序中所应包含的光滑算法应是多样的，考虑到各种拟合算法都较复杂，本书仅对较典型而常用的方法作一介绍。第55页，课件共75页，创作于2023年2月线性迭代法（抹角法）是一种较简单的曲线光滑方法。这种方法建立在线性插值的基础上，是用反复的线性迭代法产生加密的折线对曲线进行光滑处理，每迭代一次，抹去一批拐角点，反复迭代以达到曲线光滑的目的，因而拟合的曲线不通过给定的已知点。

FBE123456线形迭代法如图所示，第n次迭代是在n-1次迭代（点列F,B,E）的基础上，在所有各相邻点间各插两个1/4点，将其两两相连得到n次迭代后的折线点列（2，3，4，5），其中：F2=3B=FB/4；B4=5E=BE/4,进行多次迭代后就可得到一条光滑的曲线。线性迭代法的缺点是：迭代结果会造成曲线偏离全部特点，向内收缩，在曲线挠度大时愈加明显，使曲线定位精度较低。优点是：图形向内收缩可以确保等高线即使在较密集的情况下也不会相交，且计算量小。当曲线定位精度要求较低时，可采用线行迭代法。第56页，课件共75页，创作于2023年2月首先要求给出的数据点是属于一个连续的光滑曲线模型。在曲线上每两个数据点之间（即每条折线段上）建立其一条三次曲线，要求整条曲线上具有连续的一阶导数来保证曲线的光滑性。每个节点上的一阶导数是以该点为中心，加上前后各相邻的两点（共五个点）共同确定的，因此又称五点光滑法。图中3号点处的导数的计算公式21345分段三次多项式插值法在曲线的两端，各有两个点的斜率不能由上式求出。因此在这四个点上，总有一侧不够两个点，所以要求在端点以外设法补足两个点

补点的方法

过相邻两点作一条三次曲线第57页，课件共75页，创作于2023年2月12345要求端点（x3,y3）和其相邻的两个数据点（x2,y2），

（x1,y1）以及将要补足的两个点（x4,y4），（x5,y5）都在抛物线

上，这样可以满足曲线的原有趋势

又设x5

-x3=x4

–x2=x3-x1从而就能相应地确定

y4和y5。于是有至此在每个数据点上的曲线斜率都可确定下来，而且这种确定只涉及到包括该点本身在内的相邻的五个数据点该补点方法只适用于开曲线。如果是闭曲线，由于首位两点相重合，所以在首点的补点直接利用（n-1）、(n-2)两点，在终点的补点则直接利用2、3两点。实际上是重复这些点位。补点的方法第58页，课件共75页，创作于2023年2月我们就可以采用分段三次多项式插值法，按顺序地过相邻两点作一条三次曲线，其方程为确定a0,a1,a2,a3的条件是：1.点

（xi，yi）和

（xi+1，yi+1）通过该曲线

2.根据公式（3-22）确定的在点

（xi，yi）和

（xi+1，yi+1）处的导数

ti和

ti+1从而可以推出由式（3-26）和（3-27）确定的整条曲线，满足了一阶导数的连续性，所以就能表示一条连续的光滑曲线

过相邻两点作一条三次曲线第59页，课件共75页，创作于2023年2月张力样条函数是描述样条曲线的一种函数，它的主要特征是在一般的三次样条函数中引入一个张力系数

σ

。当

σ

→0时，张力样条函数就等同于三次样条函数；当

σ

→∞时，张力样条函数就退化为分段线性函数，即相邻节点之间以直线连接。可以选择适当的张力系数σ

，以改变曲线的松紧程度，使曲线的走向更加合理和美观。张力样条函数插值公式

张力样条函数插值计算过程张力样条函数插值法单值函数y＝f（x）参数方程---多值函数曲线第60页，课件共75页，创作于2023年2月设

（x1,y1），（x2,y2），……，（xn,yn）为平面上已知的一组数据点，且

x1＜x2＜……＜xn另外给出一个常数σ≠0（我们称它为张力系数）。现在求一个具有二阶连续导数的单值函数y＝f（x），使它满足同时还要求必须连续的在每个区间[xi,yi+1]

（i=1，2，···，n-1）上呈线性变化，即方程3-29

是一个二阶非齐次的常系数线性微分方程，他的通解为其中y为它对应的齐次方程

的通解，即

为它的一个特解，即=ax+b张力样条函数插值公式

i＝1，2，···，n

-----（3-28）-----（3-29）单值函数y＝f（x）第61页，课件共75页，创作于2023年2月根据（3-29）式的初始条件（3-28）式，就可以确定出c1、c2和a、b的值。最后经过整理得到（3-29）式的解式（3-30）就是通过所设数据点的张力样条函数显然，只要能确定各数据点的二阶导数

，这样张力样条函数就完全确定了，下面我们就根据定义来解决求的问题。

-----（3-30）张力样条函数插值公式第62页，课件共75页，创作于2023年2月先微分（3-30）式，得-----（3-31）

(i=2,3,…,n-1)

-----（3-32）张力样条函数插值公式第63页，课件共75页，创作于2023年2月式（3-32）就是内接点关系式（或叫连续性方程）,简记作节点关系式（3-33）是一个含有n个未知量（i=1，2，3，…，n）的（n-2）个方程的线性方程组，要惟一定解，必须附加两个方程，在一般情况下可按实际问题给出端点条件，这里有周期和非周期之分。

(i=2,3,…,n-1)

-----（3-33）周期函数非周期函数第64页，课件共75页，创作于2023年2月我们可以给出二端点处的导数：分别代入（3-31）式，整理后可得到：非周期函数--（3-34）简记为：

-----（3-35）-----（3-36）简记为:

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