新教材人教A版3.4函数的应用(一)课件（50张）

3.4函数的应用(一)必备知识·自主学习几类常见函数模型(1)常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y=kx+bk≠0反比例函数模型y=+bk≠0二次函数模型一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=aa≠0幂函数模型y=axn+ba≠0，n≠1(2)本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型解决问题.(3)应用：应用于各类与数学相关的应用题.【思考】解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)在一次函数模型中，系数k的取值不影响函数的性质. ()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负不影响函数的单调性. ()(3)函数y=x2比y=x增长的速度更快些. ()提示：(1)×，系数k影响函数的单调性.(2)×，幂函数的单调性受a和n的影响.(3)×，在区间(0，1)上，y=x2比y=x增长得慢.2.一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为 ()A.y=20-x，0<x<10 B.y=20-x，0<x<20C.y=40-x，0<x<10 D.y=40-2x，0<x<20【解析】选B.根据题意2x+2y=40，所以y=20-x(0<x<20).

3.(教材二次开发：例题改编)一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是 ()A.一次函数模型 C.分段函数模型 【解析】选C.由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型.关键能力·合作学习类型一一次函数模型的应用(数学建模)【题组训练】1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是 ()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)2.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒 ()A.2000套 B.3000套C.4000套 D.5000套3.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式.(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解析】1.选D.由题意知，变速车存车数为(2000-x)辆次，则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=-0.3x+1600(0≤x≤2000).2.选D.利润z=12x-(6x+30000)，所以z=6x-30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套.3.(1)由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1=k1x+29，y2=k2x，得k1=，k2=.所以y1=x+29(x≥0)，y2=x(x≥0).(2)令y1=y2，即x+29=x，则x=96.当x=96时，y1=y2，两种卡收费一致；当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；当x>96时，y1<y2，使用“如意卡”便宜.【解题策略】一次函数模型解题时的注意问题(1)一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则.(2)一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.【补偿训练】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2h时火车行驶的路程.【解析】因为火车匀速行驶的总时间为(277-13)÷120=(h)，所以0≤t≤.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s=13+120t.火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2-(h)，此时火车行驶的路程s=13+120×=233(km).类型二二次函数模型的应用(数学建模)【典例】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【思路导引】本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.【解析】(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55，x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元.【解题策略】二次函数模型解题思路二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.【跟踪训练】随着新冠病毒肺炎疫情在全球范围内爆发，口罩已成为人们日常生活中不可或缺的必备品.某商人将进货单价为8元的某种口罩按10元一个销售时，每天可卖出100个.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种口罩销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.【解析】设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元.每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，进货总额8(100-10x)元，显然100-10x>0，即x<10，则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10，x∈N).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元.类型三分段函数的应用(数学建模)角度1分段方法问题

【典例】动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D，再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示△ABP的面积，求f(x)的解析式并作出f(x)的简图.【思路导引】因为A，B，P三点构成三角形，所以应分为0≤x≤1，1<x≤2，2<x≤3，3<x<4和x=4几种情况，分别求出△ABP的面积.【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；当P在BC上时，即1<x≤2时，S△ABP=AB·BP=(x-1)；当P在CD上时，即2<x≤3时，S△ABP=；当P在DA上时，即3<x<4时，S△ABP=(4-x)；所以f(x)=画出f(x)的图象，如图.【变式探究】若典例中已知条件不变，f(x)表示△ABP的周长，如何求f(x)的解析式？【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；当P在BC上时，即1<x≤2时，f(x)=1+(x-1)+=x+；当P在CD上时，即2<x≤3时，f(x)=1+=1+；当P在DA上时，即3<x<4时，f(x)=1+(4-x)+=5-x+，综上所述，f(x)=角度2求最值问题

【典例】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t-t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f(x)表示为年产量x的函数.(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？【思路导引】(1)根据题意，分段求出函数的解析式.(2)在每一段上，分别求出函数的最大值，比较最大值得出最终的最大值.【解析】(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出5百件.所以f(x)=即f(x)=(2)当0<x≤5时，f(x)=x2+4.75x-0.5，所以当x=4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max=10.78125(万元).当x>5时，f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时，当年所得利润最大.【解题策略】分段函数值域或最值问题(1)应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值.(2)分类讨论思想是解决分段函数问题的主要思想方法.【题组训练】1.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 ()A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16【解析】选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为=15，故组装第4件产品所需时间为=30，解得c=60，将c=60代入=15得A=16.2.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是 ()A.x=60tB.x=60t+50tC.x=D.x=

【解析】选D.显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数.【补偿训练】某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为_______(代金券相当于等价金额).

【解析】当0<x<10时，f(x)=40x；当10≤x<20时，f(x)=35x-10；当20≤x≤40时，f(x)=30x-20.所以f(x)=答案：f(x)=

函数的应用核心知识方法总结易错提醒核心素养在解决具体函数模型问题时要有建模意识求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养利用图形求解析式时注意端点值解决实际问题一定注意定义城，分段函数分类时合理，不重不漏函数模型解析式图象的形式由图象写出解析式一次函数二次函数幂函数课堂检测·素养达标1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ()【解析】选C.若4x=60，则x=15>10，不符合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不符合题意.故拟录用人数为25人.2.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 ()【解析】选B.图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶