“双减”背景下高中数学建模教学的探索与实践 论文

“双减”背景下高中数学建模教学的探索与实践摘要：随着“双减”政策的落地，高中数学的教学更加注重学生能力和素养的提高。本文基于“四个理解”，探索数学建模课程融入课堂教学的切入点，以动态的眼光、生动的案例，探究数学建模教学的实施路径，厘清数学建模教学活动的落实不仅能全面综合地提升数学学科核心素养，还能在构建深度学习过程，培养学生的必备品质和关键能力，让学生形成用数学的眼光观察世界、理解世界甚至改造世界的愿望和能力，切实做到“减负增效”的育人功能。关键词：双减；数学建模；四个理解；深度学习引言：《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的知识与方法构建模型解决问题的素养[1]。随着高中新课程标准的颁布，数学课程结构已发生变化，在内容上强化了数学建模和数学探究活动，把它作为提升学生实践和创新能力的载体；“双减”政策出台的主要目的是减轻当下普遍存在的学生低效甚至无效的学业负担，提升教育教学质量，提高学生学习的质量和效果，满足学生多样化的需求。因此，中学数学建模教育的良好开展是提升学生数学建模素养的最有效的抓手，是减负增效的最有效的途径，是多维度教学评价体系落实的先决条件和基础。自此，数学建模成为高中数学课程展开的主线之一。中国科学院院士李大潜指出：“毫无疑问，数学建模是联系数学与应用的桥梁，是数学通往应用的必经之路”。如何在高中开展数学建模教学活动，切实推进数学课程改革，落实高中课程标准，培养学生的创新精神和创新能力，是广大一线数学教师普遍关心的问题。从2017年11月至今，我校积极致力于高中数学建模教育的推广和落实，成立了以青年骨干教师为核心的建模指导团队，组建建模社团，研发和开设数学建模实验室课程，指导学生参加数学建模活动，组织学生参加各类数学建模竞赛、建模论文写作，取得了优异成绩。一、四个理解章建跃教授在《核心素养统领下的数学教学改革》一文中提出数学教学的“四个理解”---理解数学、理解学生、理解教学、理解技术，提高对数学整体的认识，注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力，促进学生“会学习”，实现“学以致用”、“用以致学”。理解数学，就是用数学的概念、性质及定理正确解答数学问题，特别是要深入理解内容所蕴含的数学思想和方法,要对一些统摄性的“一般观念”有深人理解并能自觉应用；理解学生,就是要全面了解学生的思维规律,把握学生的认知特点；理解教学,就是把握教学的基本规律,按教学规律办事；理解技术,就是要懂得如何有效利用技术帮助学生的学和教师的教。理解学生、理解教学、理解技术的水平是教师专业水平和育人能力的集中体现,是提高数学教学质量和效益的决定性因素,也是有效地提升学生数学学科核心素养的必备条件[2]。数学建模的实践有利于学生深刻地理解数学，有利于老师如何更好地教会学生，有利于老师开展深度教学，掌握教学方法，有利于老师融合先进的信息技术，将数学建模融入中学数学教学中，潜心研究，力争把数学和数学教育的本质准确地传递给我们的学生，进而引导学生深度学习，最终实现立德树人。数学建模不应该游离于数学的课程标准之外，而应该反映在数学的日常教学中。为此，我们一线教师要依托教材，回归基础，回归教材，领会“双减”政策的意义，切实提升教师自身的数学建模能力和数学建模教学能力，遵循新课标理念，深入理解教材，做好数学建模案例的选取，丰富拓展教材的资源，能够借助信息技术，及时做好数据处理和数学模型建立所需要的各种数据，积极践行“四个理解”，构建让深度学习真实发生的新型课堂活动，不断增强学生解决问题的能力，培育迁移应用能力，促进思维进阶，以此落实数学学科核心素养，达成“三会”。二、明晰在中学做数学建模和数学探究的意义在《普通高中课程标准（2020修订版）》中指出，数学建模不仅是构建了现实世界与数学之间的桥梁和纽带，也是数学知识应用与现实世界的基本形式，是进一步推动数学发展的外部驱动力，是应用数学解决现实问题的基本手段。[1]由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍教授编译的《数学建模教学与评估指南》一书对建模的意义有如下表述：数学建模应当在学生数学教育的每一个阶段都被教授……数学建模能够用于激励课程的要求，并且在解决重要问题时能够突出数学的重要性和相关性，它还能帮助学生获得通用技能，如跨学科的思维习惯。我们看到数学建模和数学探究活动进入中小学的课程是一种趋势，在很多国家都发展得非常迅速。我们从现在开始着手数学建模的学习，正是适应了国际数学教育发展的趋势和要求。“数学建模”成为六个核心素养之一，课程标准给出了相应的课时和课程落实的要求，还提出了评价的水平划分和层次要求，明确了中学数学建模教与学涉及内容的性质、目标、功能的认识和把握，数学建模教学资源和教学策略的选择和开发。在数学建模活动中，特别是数学模型形成的过程中，学生可以真实得体验如何通过数学的“眼光”来观察和分析现实世界，提出并利用数学的语言来描述和分析世界，最后能数学化地形成比较合理的假设、目标问题等，让学生感悟数学是现实的是有用的，从而理解数学的价值，增强学习数学的兴趣[3]。因而，数学建模和探究比其他任何数学课程都更强调学生对实际活动过程的亲历和体验。当学生能够在面对学习和生活中遇到的各种现象和问题时主动地调用其掌握的数学思想方法来观察、分析和表达时，该生就具备了良好的数学思维。学生在通过使用学过的数学知识搭建数学模型来解决现实问题，就可以加强对发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力的培养，进而实现“用以致学”。面对我国2035和2050两个重要的战略时间节点，以及当前复杂多变的国际环境，我们就要培养出“知其若不然”的创新型人才，这也正是高中阶段数学建模学习的目的。实践证明，数学建模是提升学生基本学科素养和综合创新能力的有效办法，也是科技创新教育的根本目的。三、探索数学建模教学的开展数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学建模核心素养的提出和融入课程内容是一项新的课程改革举措，也是能有效地、与时俱进地改变教学方式和学生学习方式的一种新教育理念和路径。在教学实践中，狭义的数学建模指教师基于数学学科教材中提供的数学建模问题情境，运用自己已有的数学建模知识，依据课程标准的要求对学生进行数学建模教学活动。广义的数学建模教育指的是教师遵循数学建模的方法和过程，对数学学科教材中综合实践活动开展的教学活动。而从更加广泛的意义看，数学建模教育是指一切依据数学建模的思想理念和方法开展的日常教育教学活动。《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》指出，数学建模活动的课程定位是“作为基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动”，教学要“以课题研究的形式开展，课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节”，常规的教学活动难以让学生经历较为完整的数学建模活动过程，必须通过设置专门的数学建模专题活动才能落实课程目标。张文平院士强调：“数学建模教育需要分阶段、成系统并持之以恒地开展”。我们分三个阶段开展数学建模活动，整体布局，循序渐进。初期阶段，引导学生主动阅读数学建模的典型范例，初步了解数学建模的主要步骤，引导学生初步实践数学建模。可以利用每周的校本课或校级建模社团活动，让学生从不知道什么是数学建模，开始走近数学建模，了解这些模型是如何用数学语言刻画实际背景中的问题的。例如，以学习“哥尼斯堡七桥”问题，引领学生感受数学家眼光的犀利、独到和深远。这一时期主要是让学生以阅读体验为主要目的，充分利用教材上设计安排的教学案例和学习内容相关的实际问题为载体，不断变换问题情境，利用相同或相似模型解决实际问题，提高学好数学建模的兴趣与信心。第二阶段，主要学习数学建模的基本步骤，数学建模活动的主要环节。开展以“问题引领、小组讨论、操作实践、体验建模”为主要特征的课堂教学。当学习数学建模基本步骤时，以交通路口汽车的通行问题，以数学小组的形式开展活动，利用周末或课外活动时间，学生自主制定小组活动方案，观察、收集、整理数据、建立模型，在课堂上汇报建模活动成果。这一时期，老师可以不断提出新的假设，让学生发现问题，验证数据，逐步优化数学模型，构建深度学习环境，用心体会数学建模的步骤及应用价值。第三阶段，数学建模活动阶段，引领学生知道怎样选题、开题、做题、结题。这一时期，要给学生留出足够的时间，比如一个寒假或一个暑假，甚至一个学期的时间，鼓励所有的学生都参与到实践数学建模活动中，确保每一个数学建模活动都能从容、深入、完整地开展，并鼓励学生撰写建模论文，对于有条件的学生积极参加各类数学建模竞赛，使得学生的建模能力螺旋式提升。这一时期的数学建模活动往往需要多人合作，从选题开始，不论是独立研究还是小组研究，都要多方论证：选的题有没有新意，有没有价值，有没有可行性；在调查研究时，往往以团队的形式展开。在数学建模整体方向的把握上，在数学建模基本环节的指导上，在数学模型的正确选取上，在整理成果、撰写论文的具体落实上，教师或者学校建模指导团队都非常重要。让学生亲历建模的苦与乐，在“做数学、学数学、用数学”的过程中，让深度学习真实发生，发展学生的创新精神，培养应用意识和实践能力，提升对数学学科价值的理解，实践师生的“做中学，学中做”，把教与学融为一体，切实推进数学课程改革，最终提升可持续发展所学要的素养[4]。四、积极探索和实践高中数学建模教学活动的设计充分依托教材，循序渐进地开展数学建模活动，让学生逐步感受数学建模的价值。1.建模初期教学模式在开展建模活动的初期阶段，教师要选取课题的背景是学生熟悉的数学建模案例，或选择身边贴近学生生活的实际问题。在课堂教学中，创设情境，激发学生发现问题、提出问题，尝试解决问题，引导学生自主探究建立合适的数学模型、求解模型，让学生初步了解数学建模的主要步骤和基本环节。案例1消防车的调配问题（哥尼斯堡七桥）问题情境现有六个村落，只有三辆消防车，消防车应该停放在哪些村落？问题1：欧拉解决七桥问题的过程与方法对你有什么启发？学会运用抽象的思维，简单极致的把实际问题转化为朴素的数学问题。问题2：确定消防车位置的最优目标是什么？“发生火灾后，消防车应该在最短时间内到达失火村落”作为最优目标。问题3：确定消防车位置需要考虑哪些因素的影响？村落间平均到达的时间；村落的人口；城市消防站建设标准（国家标准）：消防站的布局一般应以接到出动指令后5分钟内消防队可以到达辖区边缘为原则确定。村落ABCDEFA1712141516B716181616C1291.51064D161441912E181610425F161841252图表1村落间平均到达时间（单位：分钟）图表2各村落人口（单位：位）问题4：有哪些停放方案可以实现8分钟全覆盖？问题5：如何确定最优目标的评价指标？以人口为权数的平均救援时间：t 6

=å i=1ti×pip，其中是第个村落的救援时间，itip为第个村落的人口，p是6个村落的总人口.图表-4问题6：将消防车停放在A、B、E村落的方案平均救援时间最短，但从实际出发，该方案存在什么问题？D、E、F村落共有1100人，只能被E村落的消防车覆盖，一旦有两个村落同时发生火灾，就会发生无法按时求援的情况。模型优化问题7：模型中还有那些因素没有考虑？消防车实际需要增加并要预留出消防车，以应对复杂情况发生。这些都可以是我们进一步优化模型的方向。模型推广问题7：我们建立的模型还能应用在哪些场景？指向深度学习，引领迁移创新，有解题教学指向解决问题，发展高阶思维能力。2.建模推广时期教学模式在建模活动的推广体验阶段，更要以实际问题为载体，选择数学建模中的核心问题，如作出假设，模型的建立，模型检验等。学生围绕具体问题展开自学讨论，汇总展示讨论的结果，初步了解了数学建模的主要步骤，感受了数学模型的价值。案例2十字路口汽车通行问题问题情境在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？问题1：解决这个问题，我们要明确这个问题是让我们“求”什么?绿灯亮15秒，可以通过多少辆汽车。问题2：解决这个问题的“目标”是什么？确定“最多”能有多少辆汽车通过！问题3：影响汽车通过的“相关因素”是什么？车道数，车速，车加速度，延迟启动时间，车到路口距离，车长，车距，…问题4：“通过”的数学定义？Sn记交通灯的红灯变绿灯开始的时刻为t=0,在时间第n辆车的位置为Stn()，则当(15)>0时,表明在第15秒第n辆车已通过路口，否则，结论相反.问题5：如何用数学表达式来刻画汽车“通过”路口的含义？用x轴表示车辆行驶的道路,原点O表示交通灯下的停止线的位置，x轴的正方向是汽车行驶的方向,汽车车头在道路上所处的位置表示汽车的位置。只要汽车在时刻t时，汽车行驶的位置在原点O的右侧，即表明该辆汽车通过路口。作出假设1.通过路口的车辆都相同，并且都是从静止状态匀加速启动；2.红灯时等待的每相邻两辆车之间的距离相等，且第一辆车车头恰好停在停止线处；3.前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等；4.所有车辆都是直行穿过马路，且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆；5.十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生堵塞。为此，我们引入以下参数和变量：1.参数：L表示汽车的长度，D表示红灯时等待的相邻两辆车之间的距离，a表示表示相邻两辆汽车启动的延迟时间。汽车的加速度，T2.变量：表示时间，nt表示第n辆汽车开始启动的时间，Stn()表示时刻时第n辆汽车所在的位置。3.模型的参数值：经过实际调查，我们取L=5米，D=2米，a=2ms2，T=1秒。（问题中涉及的数据需要建模者收集）注：我们将要讨论的交通路口通过汽车的数量的问题，就变为求满足条件Sn(15)>0的最大n的问题.它已经是个数学问题了！【建立数学模型】图表-6由假设1和假设2，汽车启动之前停车的位置可以表示为（数学模型）：nS(0)=-(n-1)(L+D)。tt>tn)的位置为：由假设3，汽车启动时间表示为（数学模型）：nt=nT。由假设1，汽车启动时应该按照匀加速的规律运动，汽车启动时刻Stn()=Sn(0) a+2(t-tn)2。综合分析，我们就得到了汽车在道路上行驶的位置与时间的关系为（数学模型）：求解数学模型当t=15时，第n辆汽车的位置为nS(15)=-7(n-1) 2

+×(152-n)2>0，解得n<8或n>29(舍去)。所以，此时最多由7辆汽车通过十字路口！此时，第7辆汽车通过路口的速度为v=at=´72=14ms=50.4kmh。模型优化问题6：同学们，结合我们的生活常识，对上述模型还有没有需要补充或完善的？实际问题背景：城市车辆行驶限速！生活常识告诉我们，在城市的每条道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，不允许无限制的提高车速。我们给定这条道路上的最高限速为vms，汽车在路上必须要限速行驶。学生调查结果，最高限速:1.校园内：v¢=10kmh»2.7ms；2.市内主干道路：v¢=40kmh»11.1ms；3.环城路上：v¢=60kmh=17ms。这样我们还需要再附加一个假设：绿灯亮后汽车将匀加速启动一直到可能的最高限速，达到最高限速后，车辆应停止加速,并以这个速度匀速地向前行驶，按最高限速运动穿过路口，则这时汽车做匀加速运动的时间应该是：tn¢=v¢+tan，其中nt¢是第n辆汽车到达限速的时刻。由模型参数值，易知tn¢=v¢+=n 5.5a+n。由上面分析可以得到，绿灯亮后汽车穿过十字路口行驶的模型是Stn()ì

ï=ïïíïïïîSn(0),),22+vt-tn¢),0£<tn,Sn(0) a+2(t-tntn£<tn¢,Sn(0) a+2(tn¢-tn)t³tn¢.求解数学模型对于本节问题，由计算可得：Sn(15)=-7(n-1)+5.52+11(15-5.5-n)>0，得n£7，且t*=7 5.5+=12.5<15.模型计算结果:该路口最多通过7辆汽车。根据这些参数，我们还可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如下表所示。汽车序号12345678位置/m124.6106.588.470.352.234.116.0-2.1图表-7从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第7辆汽车已经驶过红绿灯16.0米，而第8辆车还距离交通灯2.1米，不能通过.因此15秒的绿灯可以通过7辆汽车。检验模型：1.实际观测数据检验请同学们课后到交通路口进行实地调查，收集若干个路口绿灯亮的时间和通过路口的汽车数量，检验上述模型的正确性，并进一步完善这个模型。指导学生可以从以下几个方面完成：调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。①位置，走向，车道数，时间。绿灯时间，通过的车数（至少三次），分析每次数据不同的原因。②模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。③模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，如何修改模型。2.参数的灵敏度检验（参数值变化对结果的影响）数学模型是否有价值，最好的办法就是实践，在实际生活中去检验它。模型应用如果这个模型经检验与实际情况没有明显的不同，那么就可以使用这个模型对这个十字路口的车流量的情况进行更深入的分析，提取进一步信息.这也恰好是我们组建这个模型的目的。O我们可以考虑每一辆汽车到达交通路口停止线的时间.令第n辆汽车到达坐标原点的时刻为otn()，这时应该有Stn()o=0。根据模型在停止线处将有如下关系：Sn(0) a+2(t-tn)2=0,to£t*，SnonSn(0) a+2(tn*-tn)2+V*(to-tn*)=0,to>tn*.注意到前面我们构建的模型：nS(0)=-(n-1)(L+D)，nt=nT，tn*=V*a+tn中关于(0)，nt和nt*的表达式，并将ot解出来，可以得到：tno()ì

ïï

=íï

ïî(2(n-1)(L+D)+nT,,to£tn*,an-1)(L+D)+nTv*+2at>tn*.v*o由此，我们就可以计算出汽车通过停止线的时间与汽车到达最高限速的时间，如下表：汽车序号n12345678达限速nt*6.57.58.59.510.511.512.513.5到路口otn()14.66.748.5810.2911.9313.5715.2图表-8从上表可以看到，第8辆车要在绿灯亮后15.2秒才到达停止线.这时已经超过了绿灯的时限了，因此第8辆车是不能穿过路口的。这与前面的结果是一致的。问题7：同学们，你们对这个路口红绿灯时长的设置有什么评价？我们还可以发现能够穿过路口的这7辆车当中，对于前5辆汽车有tno()£t*n。这就意味着，在还没有到达最高限速之前就已经进入路口了，真正以最高限速穿过路口的汽车只有最后两辆。显然，这样的交通灯控制策略对于路口的利用率是不高的。问题8:请同学们考虑，这是什么原因引起的？原因就在于15秒的绿灯时间设置太短了。师：如何利用这个模型制定最佳的路口利用策略，这就是老师留给你们的课后作业，请有兴趣的同学进一步研究这个问题，及时把你的成果和大家一起分享！这一时期，老师可以适时鼓励学生对这一类问题深入研究，尝试撰写建模论文。3.数学与数学建模融合模式在建模活动的融合阶段，学生以小组为单位，利用课外活动或节假日，集体参与制定活动方案，分配任务，分工收集整理数据、撰写建模论文等。小组全员参与活动，在实践活动中增强团队合作意思与协调能力，积累实践活动的经验。这一时期，需要数学理论支撑，更需要学生对数据收集、分析和处理的能力，要求信息技术介入使用等，对学生的能力提出挑战，这也是高中数学建模教育的最终价值体现。案例3利用概率推测新同学的性别问题描述下面是我教的两个教学班42位同学的身高（单位：厘米）、体重（单位：斤）、鞋码（单位：厘米）和性别的统计信息，这些信息是同学们根据自己的印象填写，会有少量的误差。过几天该班级将要来一位新同学，仅知道其身高、体重和鞋码分别为172cm、82kg、26.5cm，但不知道其性别，请推断该同学更可能是男生还是女生。图表-9某班同学的身高、体重、鞋码和性别信息序

号身高

（cm）体重

（kg）鞋码

（cm）性别

（男/女）序

号身高

（cm）体重

（kg）鞋码

（cm）性

别

（男/女）11727026男221666024女21838026男2318010528男31837226男241758526.5男41806528.5男251725126男51706526.5男261906826.5男61837628.5男271878026.5男71877029男281826727男81757026.8男291857726.5男91786826.8男301807027.5男101826228.5男311746726.5男111786027男3217562.526.5男121727027男331817227.5男131655524男341805726.5男141675024女351735424.5女151604523女361594723.5女161705524女371554222女171584222女381545523女181626326.5女391606024女191695424女401615124女201737525女411605224女211695324.5女421644924女问题分析：1.数据预处理因为数据带有误差，所以采用等级化的办法将身高分为高、中、低三档，将体重分为高、中、低三档，将鞋码分为大、中、小三档，根据常识将分档标准规定如下表所示：图表-10身高、体重、鞋码分档标准身高

单位：厘米高中低平均值身高≥180180>身高>169身高≤169172.6体重

单位：公斤高中低平均值体重≥7070>体重>59体重≤5963.1鞋码

单位：厘米大中低平均值鞋码≥2727>鞋码>24鞋码≤2425.7以上述确定分档原则，图表-9中的数据分档结果如图表-11所示序

号身高

（cm）体重

（kg）鞋码

（cm）性别

（男/女）序

号身高

（cm）体重

（kg）鞋码

（cm）性

别

（男/女）1中高中男22低中低女2高高中男23高高高男3高高中男24中高中男4高中高男25中低中男5中中中男26高中中男6高高高男27高高中男7高高高男28高中高男8中高中男29高高中男9中中中男30高高高男10高中高男31中中中男11中中高男32中中中男12中高高男33高高高男13低低低男34高低中男14低低低女35中低中女15低低低女36低低低女16中低低女37低低低女17低低低女38低低低女18低中中女39低中低女19低低低女40低低低女20中高中女41低低低女21低低中女42低低低女2.设出事件，推导贝叶斯分类器新同学的身高、体重和鞋码分别对应中、高、中档。设事件如下所示，1A：身高中，：2体重高，：鞋码中；3B=AAA1 2 3；C1：性别男，C2：性别女。PCB( 2)的大为了判断新同学是男同学还是女同学，只需要计算并比较PCB( 1)和小。3.基本假设各位同学的身高、体重、鞋码之间相互独立。根据乘法公式及全概率公式（或贝叶斯公式），可得：同理可得：PBC(2)(PC2)=PAAAC( 1 2 32)=PAC( 12)(PAC22)(PAC32)，（4）根据数据计算求解，得到分类结果根据表格图表-10，根据古典概型可得到把数据带入（3）、（4）可得实际上，根据公式（1）和（2）可以计算新同学为男生或女生的概率分别为4.模型的分析问题1：模型的准确性受哪些因素的影响？原始数据填写的误差大小、分档规则、数据的完备性（大量性、多样性、及时性），以及基本假设中对身高、体重、鞋码之间相互独立关系的假设是否正确。问题2：如何研究分档规则对结果的影响？通过做实验的方法，改变分档规则，分析作为结果的概率值有什么变化。如果分档规则的细微变化就能引起结果的大幅变化，这个模型就是可以推广的模型；反之，入如果结果受分档规则变化的影响并不敏感，这个模型就是比较好的可以应用的模型。5.教学反思及建议（1）数学推导路径的选择学生对条件概率和事件独立性的理解不够自然和深刻；直接选择古典概型计算，对全概率公式的理解不够深入。（2）教学建议：教师在教学过程中，不要急于纠正学生存在的问题，最好是选择学生充分暴露出问题后，对其背后的原理进行点评，或让学生自己思考造成结果的原因，进而让学生深刻理解全概率公式、先验和后验的深层次含义，这在非数学建模课上基本不可能挖掘和实施，而此处正是“用以致学”的集中体现。6.教学的评估与反馈课前发放学生的问卷：（下面呈现自评问卷的部分问题，仅供参考！）（1）问卷设计1.学习目标维度自评：请选出如下角度对自己上完这节课后的评价。完全达到部分达到完全没达到能提出合理基本假设〇〇〇能够对数据进行合理预处理〇〇〇能够合理设出各变量〇〇〇能够确定各变量之间的逻辑关系（谁是条件？谁是目标？）〇〇〇2.学习目标维度2自评：请选出在如下角度对自己上完这节课后的评价。完全达到部分达到完全没达到能够正确推导出公式并使用基本假设〇〇〇能够将正确的数据代入公式相应位置〇〇〇能够解释模型结果的现实意义〇〇〇能够说出模型的局限性和适用性〇〇〇3.通过本节课对数学建模解决问题的基本步骤是否有初步理解？〇是，具有了初步理解〇否，完全无法理解4.和传统方式的做练习、讲练习型课堂的收获相比，数学建模式的课堂教学带给你的收获是什么？请简述。5.你认为你们小组中谁的表现最佳？请写下他/她的名字，可以自荐。（2）作业设计针对课上的建模问题，如果改变分