中考数学几何旋转经典例题(同名21669)

中考数学几何旋转综合题1.（2009年山东德州）23．(本题满分10分)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．FBADCEG第23题图①（3）将图①中△FBADCEG第23题图①FFBADCEG第23题图②FBFBACE第23题图③D解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．…………1分同理，在Rt△DEF中，EG=FD．………………2分∴CG=EG．…3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．FBADCEGMNFBADCEGMNN图②（一）∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．FBADCEGM图FBADCEGM图②（二）证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……4分在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………5分∴．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE．∴．…………………6分FBADCE图③G∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋FBADCE图③G∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴．………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分2.(2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F(1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；图23－4(a)(2)如图23－4(b)，当＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；由AM＜AC可得．3.(2009湖南常德)如图23－8(a)，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．图23－8(1)当把△ADE绕A点旋转到图23－8(b)的位置时，D，E，B三点共线，CD＝BE是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；(2)当△ADE绕A点旋转到图23－8(c)的位置时，D，E，B三点不共线，△AMN是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．解(1)如图23－8(b)CD＝BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAC＝60°．∵∠BAE＝∠BAC－∠EAC，∠DAC＝∠EAD－∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ACD．∴CD＝BF．(2)如图23－8(c)，△AMN是等边三角形，理由如下：同理可证△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC．∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠BAC＝60°．∴△AMN是等边三角形．设AD＝a，则AB＝2a．∵AD＝AE＝DE，AB＝AC，∴CE＝DE．∵△ADE为等边三角形，∴∠DEC＝120°，∠ADE＝60°．∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，AD＝a，∠ACD＝30°，∵N为DC的中点，∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN＝∶4.(2009宁波)如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′，直线B′C′分别与直线BC相交于点P，Q．图23－9(1)四边形OABC的形状是______，当＝90°时，的值是______；(2)①如图23－9(b)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时，求的值；②如图23－9(c)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0°＜≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析(1)矩形(或长方形)，；(2)①先证△COP∽△A′OB′，再证△B′CQ∽△B′C′O，并求出CQ，BQ的长，从而可得的值；②易证△OCP≌△B′A′P，∴OP＝B′P，CP＝A′P，设B′P＝x，在Rt△OCP中，根据勾股定理解出x的值，得到S△OPB′；(3)先假设存在这样的点P和点Q，使，再根据已知条件分类讨论求解．解(1)矩形(长方形)，．(2)①∵∠POC＝∠B′OA′，∠PCO＝∠OA′B′＝90°，∴△COP∽△A′OB′，即同理，△B′CQ∽△B′C′O，在Rt△A′OB′中，∴CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11．②在△OCP和△B′A′P中，∴△OCP≌△B′A′P．∴OP＝B′P，CP＝A′P．设B′P＝x，在Rt△OCP中，CP＝A′P＝OA′－OP＝8－x．(8－x)2＋62＝x2，解答∴S△OPB′(3)存在这样的点P和点Q，使点P的坐标是对于第(3)题，我们提供如下详细解答：过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，∵S△POQ＝，S△POQ，∴PQ＝OP．设BP＝x，∵∴BQ＝2x．①如图23－9(d)，当点P在点B的左侧时，OP＝PQ＝BQ＋BP＝3x，在Rt△PCO中，(8＋x)2＋62＝(3x)2．解得(舍去)．图23－9②如图23－9(e)，当点P在点B的右侧时，OP＝PQ＝BQ－BP＝x，PC＝8－x．在Rt△PCO中，(8－x)2＋62＝x2解得综上可知，存在点，使5.图1是边长分别为4EQ\R(,3)和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠ACC′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；E′D′图2图3D′E′图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段E′D′图2图3D′E′图4C/（C/）（C/）解：（1）BE=AD证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°CA=CB，CE=CD∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ATS∴TS（2）如图在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQT=60° ∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ∴QT=QC=x∴RT=3－x∵∠RTS＋∠R=90°∴∠RST=90°∴y=×32－(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)（3）C′N·E′M的值不变证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°∵∠CNC′＋∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′∴△E′MC∽△C′CN∴∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=6将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。（1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.D解：（1）证明：过点作CA的垂线，垂足为D易知：△CD为等腰直角三角形，△DA是直角三角形，且∠A＝30°，D所以故（2）解：过点作C的垂线，垂足为E易知：△E为等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠CA＝45°）△CE是直角三角形，且∠1＝30°，所以故（3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到，易证：△≌△，于是∠＝∠＝45°，故⊥AB.7.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH（图4）（图5）（图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，∴BC=5cm，∴平移的距离为5cm．（2分）（2）∵∠，∴∠，∠D=30°．∴∠．（1分）在RtEFD中，ED=10cm，∵FD=，（1分）∵cm．（2分）（3）△AHE与△中，∵，（1分）∵，，∴，即．（1分）又∵，∴△≌△（AAS）（1分）．∴．（1分）8.如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG轴于点G，若线段MGAG＝12，求点M，N的坐标．DODOBAxyCy=kx+1图（9）-1EFMNGOBAxy图（9）-2Q（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线得 1分整理得 ………………2分解得………………3分∴抛物线的解析式为 4分（2）令解得∴B点坐标为（4，0）又∵D点坐标为（0，）∴AB∥CD∴四边形ABCD是梯形．DOBAxyCBCy=kx+1DOBAxyCBCy=kx+1图(9)-1HT设直线与x轴的交点为H，与CD的交点为T，则H（，0），T（，） 6分∵直线将四边形ABCD面积二等分∴S梯形AHTD＝S梯形ABCD＝４EFMNGEFMNGOBAxy图(9)-2∴ 8分（3）∵MG轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2∴设M（m，）， 9分∵点M在抛物线上∴解得（舍去） 10分∴M点坐标为（3，） 11分根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，∴N点坐标为（1，） 12分9.（09年湖南常德）26．如图9，若和为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，是等边三角形．（1）当把绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当绕A点旋转到图11的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，与的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）图9 图10图11图9 图10图11图8（09年湖南常德26题解析）解：（1）CD=BE．理由如下: 1分∵和为等边三角形图11CNDABME∴AB=AC，AE=AD图11CNDABME∵∠BAE=∠BAC－∠EAC=60o－∠EAC，∠DAC=∠DAE－∠EAC=60o－∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴3分