专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用

专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．解：略．【思想方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．【中考变形】1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b (B)图Z7－1A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称轴直线x＞1，∴－eq\f(b,2a)＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故选B.2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是 (A)A．4 B．6C．8 D．10【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2b＋c＝6，,1≤－\f(b,2×1)≤3，))解得6≤c≤.3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时x2＞eq\r(5)－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.【解析】由A(－1，0)，B(0，－2)，得b＝a－2，∵开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴右侧，∴－eq\f(b,2a)＞0，∴－eq\f(a－2,2a)＞0，a＜2，∴0＜a＜2，①正确；∵抛物线与y轴交于点B(0，－2)，∴c＝－2，③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A(－1，0)，∴a－b－2＝0，b＝a－2，∵0＜a＜2，∴－2＜b＜0，②错误；∵|a|＝|b|，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝eq\f(1,2)，∴x2＝2＞eq\r(5)－1，④正确．故答案为①④.图Z7－2图Z7－34．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)【解析】由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．图Z7－4解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴对称轴为x＝2，∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)；(2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5，整理，得y＝ax(x－4)－5.∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)．②这两个点连线为y＝－5，将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x＝2时，y＝2或－2.当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝eq\f(7,4)；当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝eq\f(3,4).∴a＝eq\f(7,4)或eq\f(3,4).7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．解：(1)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－3)(x－1)，C(0，3)，∴A(1，0)，B(3，0)．设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,3k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3，))∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；中考变形7答图(2)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－2)2－1，∴抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－1)．∵y1＝y2，∴x1＋x2＝4.令y＝－1，代入y＝－x＋3，得x＝4.∵x1＜x2＜x3(如答图)，∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8.8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A(eq\r(3)，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．图Z7－5中考变形8答图解：(1)∵抛物线顶点为A(eq\r(3)，1)，∴设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a(x－eq\r(3))2＋1.将原点坐标(0，0)代入，得a＝－eq\f(1,3)，∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x；(2)证明：将y＝0代入y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x中，得B(2eq\r(3)，0)．设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，将A(eq\r(3)，1)代入，得k＝eq\f(\r(3),3)，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝eq\f(\r(3),3)x.∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝eq\f(\r(3),3)x＋b，将B(2eq\r(3)，0)代入，得b＝－2，∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝eq\f(\r(3),3)x－2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x－2，,y＝－\f(1,3)x2＋\f(2\r(3),3)x，))得交点D的坐标为(－eq\r(3)，－3)，将x＝0代入y＝eq\f(\r(3),3)x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，∴OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2eq\r(3)＝OD，在△OCD与△OAB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OA，,CD＝AB，,OD＝OB，))∴△OCD≌△OAB(SSS)；(3)如答图，点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，连结C′D，则C′D与x轴的交点即为点P，此时△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，则PO∥DQ.∴△C′PO∽△C′DQ，∴eq\f(PO,DQ)＝eq\f(C′O,C′Q)，即eq\f(PO,\r(3))＝eq\f(2,5)，解得PO＝eq\f(2\r(3),5)，∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),5)，0)).【中考预测】设抛物线y＝mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)．(1)若a＝－1，求m，b的值；(2)若2m＋n＝3，求证：抛物线的顶点在直线y＝mx＋n上；(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小．解：(1)当a＝－1时，把(－1，0)代入y＝mx2－2mx＋3，解得m＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－